新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练素养拓展37 圆锥曲线中的存在性和探索性问题（精讲+精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练素养拓展37 圆锥曲线中的存在性和探索性问题（精讲+精练）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练素养拓展37圆锥曲线中的存在性和探索性问题精讲+精练原卷版doc、新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练素养拓展37圆锥曲线中的存在性和探索性问题精讲+精练解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。

一、圆锥曲线中的存在性问题
1.存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化．
一般步骤为：
①假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,
②用待定系数法设出,
③列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
注：反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．
【一般策略】
求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.
二、圆锥曲线中的探索性性问题
1.对于探索性问题,一般先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在．
要注意：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；
(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．
二、题型精讲精练
【典例1】已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设，，，联立直线l与双曲线E的方程，消去y，得，根据已知直线l与双曲线E相交于A、B两点，得且，即且，由韦达定理，得，
则，，联立消去k，得，再根据的范围得出的范围，即可得出答案；
（2）设，，根据双曲线E的渐近线方程与直线l的方程联立即可得出，，则，即线段AB的中点M也是线段CD的中点，若A，B为线段CD的两个三等分点，则，结合弦长公式列式得，即可化简代入得出，即可解出答案.
【详解】（1）设，，，联立直线l与双曲线E的方程，得，
消去y，得．由且，得且．
由韦达定理，得．所以，．
由消去k，得．
由且，得或．所以，点M的轨迹方程为，其中或．
（2）双曲线E的渐近线方程为．
设，，联立得，同理可得，
因为，所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．
若A，B为线段CD的两个三等分点，则．即，．
而，．
所以，，解得，
所以，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．
【典例2】在平面直角坐标系中,动点,满足,记点的轨迹为．
（1）请说明是什么曲线,并写出它的方程；
（2）设不过原点且斜率为的直线与交于不同的两点,,线段的中点为,直线与交于两点,,请判断与的关系,并证明你的结论．
【解析】（1）设,,则因为,满足,即动点表示以点,为左、右焦点,长轴长为4,焦距为的椭圆,其轨迹的方程为；
（2）可以判断出,
下面进行证明：设直线的方程为,,,
由方程组,得①,
方程①的判别式为,由,即,解得且．
由①得,,
所以点坐标为,直线方程为,
由方程组,得,,
所以．
又．
所以【题型训练-刷模拟】
1.存在性问题
一、解答题
1．双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由.
2．已知椭圆方程为，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)对于，是否存在实数k，使得直线分别交椭圆于点P，Q，且，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
3．已知椭圆：，点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与x轴重合）交椭圆于A，B两点．

(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若，求的面积；
(3)是否存在直线，使得点B在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
4．已知抛物线，直线垂直于轴，与交于两点，为坐标原点，过点且平行于轴的直线与直线交于点，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)点在直线上运动，过点作曲线的两条切线，切点分别为，在平面内是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．在直角坐标系中，抛物线与直线交于M，N两点．
(1)若M，N的横坐标分别为，4，求直线l的方程及MN的中垂线所在的直线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有?说明理由．
6．如图，为抛物线上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点，直线AN过点

(1)记A，B的纵坐标分别为，求；
(2)记直线AN，BM的斜率分别为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在说明理由
7．已知椭圆:过点，离心率为，斜率不为零的直线过右焦点交椭圆于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)在轴上是否存在定点，使得，如果存在，求出点坐标，如果不存在，说明理由.
8．已知离心率为的椭圆C的中心在原点O，对称轴为坐标轴，F1，F2为左右焦点，M为椭圆上的点，且．直线l过椭圆外一点，与椭圆交于，两点，满足．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)对于任意点P，是否总存在唯一的直线l，使得成立，若存在，求出点对应的直线l的斜率；否则说明理由．
9．已知椭圆过点，且上顶点与右顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线交椭圆于两点，轴上是否存在点使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是的左顶点，的离心率为2.设过的直线交的右支于、两点，其中在第一象限.

(1)求的标准方程；
(2)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；否则，说明理由.
12．已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离之比为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)对，曲线上是否始终存在两点，关于直线对称？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
13．已知抛物线经过点，直线与交于，两点（异于坐标原点）．
(1)若，证明：直线过定点．
(2)已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交于，两点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
14．已知椭圆的焦距为2，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
15．已知双曲线：的左、右焦点为、，直线与双曲线交于，两点.
(1)已知过且垂直于，求；
(2)已知直线的斜率为，且直线不过点，设直线、的斜率分别为、，求的值；
(3)当直线过时，直线交轴于，直线交轴于.是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
2.探索性问题
一、解答题
1．已知椭圆:的左、右焦点分别为,,过点且斜率为k的直线与椭圆交于A,B两点.当A为椭圆E的上顶点时,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当时,试判断以AB为直径的圆是否经过点,并说明理由.
2．过抛物线焦点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)过焦点的直线，交抛物线于、两点，直线与的交点是否在一条直线上．若是，求出该直线的方程；否则，说明理由．
3．在以为圆心，6为半径的圆A内有一点，点P为圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP交于点M．
(1)判断点M的轨迹是什么曲线，并求其方程；
(2)记点M的轨迹为曲线，过点B的直线与曲线交于C、D两点，求的最大值；
(3)在圆上的任取一点Q，作曲线的两条切线，切点分别为E、F，试判断QE与QF是否垂直，并给出证明过程．
4．已知椭圆C：，短轴长为4，离心率为，直线l过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A、B两点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求面积的取值范围；
(3)若圆O以椭圆C的长轴为直径，直线l与圆O交于C、D两点，若动点满足，试判断直线MC与圆O的位置关系，并说明理由．
5．已知点E是圆上的任意一点，点，线段DE的垂直平分线与直线EF交于点C．
(1)求点C的轨迹方程；
(2)点关于原点O的对称点为B，与AB平行的直线l与点C的轨迹交于点M，N，直线AM与BN交于点P，试判断直线OP是否平分线段MN，并说明理由．
6．已知双曲线，其右焦点为，焦距为4，直线过点，且当直线的倾斜角为时，恰好与双曲线有一个交点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线交双曲线于两点，交轴于点，且满足，判断是否为常数，并给出理由.
7．已知椭圆的左、右顶点分别为，，椭圆E的离心率为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过作直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，其中l与x轴不重合，直线与直线交于点P，判断直线与DP的位置关系，并说明理由．
8．已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，点满足（其中为坐标原点），过点作一直线交椭圆于、两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值；
(3)设点为点关于轴的对称点，判断与的位置关系，并说明理由.
9．已知抛物线的焦点为为圆上一动点，且的最小值为.
(1)求的方程；
(2)在的准线上，过作直线的垂线交于两点，分别为线段的中点，试判断直线与的位置关系，并说明理由.
10．已知双曲线：，为的右顶点，若点到的一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若，是上异于的任意两点，且的垂心为，试问：点是否在定曲线上？若是，求出该定曲线的方程；若不是，请说明理由．
11．椭圆的左右焦点分别为，左右顶点为，为椭圆的上顶点，的延长线与椭圆相交于，的周长为，，为椭圆上一点．圆以原点为圆心且过椭圆上顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与圆切于，（位于第一象限），求使得面积最大时的直线的方程；
(3)若直线与轴的交点分别为，以为直径的圆与圆的一个交点为，判断直线是否平行于轴并证明你的结论．
12．已知动点T为平面内一点，O为坐标原点，T到点的距离比点T到y轴的距离大1．设点T的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设直线l：，过F的直线与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M且与y轴垂直的直线依次交直线OA，OB，l于点N，P，Q，直线OB与l交于点E．记的面积为，△的面积为，判断，的大小关系，并证明你的结论．
13．椭圆的焦点是一个等轴双曲线的顶点,其顶点是双曲线的焦点，椭圆与双曲线有一个交点P，的周长为．
(1)求椭圆与双曲线的标准方程；
(2)点M是双曲线上的任意不同于其顶点的动点，设直线，的斜率分别为，求的值；
(3)过点任作一动直线l交椭圆于A、B两点，记．若在线段AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定曲线上运动？若是，求出该定曲线的方程；若不是，请说明理由．