新高考数学一轮复习考点题型训练 6.1等差数列6大题型（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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【知识储备】
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
(2)等差中项
若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝eq \f(a＋b,2).
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(n(n－1),2)d或Sn＝eq \f(n(a1＋an),2).
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列．
【题型精讲】
【题型一 等差数列基本量的运算】
必备技巧 等差数列中的基本计算
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
例1 （2022·四川遂宁市高三期末）已知等差数列满足，则它的前8项的和（ ）
A．70B．C．D．105
【答案】C
【解析】设等差数列的首项为，公差为．由，得，解得，．
所以．故选：．
例2 （2022·全国高三模拟）已知等差数列的前项和为，若，则的通项公式为_____________
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
因为，
所以，解得，
所以，
故答案为：
例3 （2022·江西高三模拟）设等差数列的前项和为，，则（ ）
A．56B．63C．67D．72
【答案】B
【解析】设的公差为，则，所以，所以.故选：B
例4 （2022·山东高三模拟）在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为( )
A．2 B．10 C.eq \f(5,2) D.eq \f(5,4)
【答案】 C
【解析】 由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝eq \f(1,2)，所以数列{an}是首项为－2，公差为eq \f(1,2)的等差数列，
所以S10＝10×(－2)＋eq \f(10×10－1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).
【题型精练】
1. （2022·广东潮州·高三期末）等差数列的前n项和，若的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
根据，即可得出答案.
【解析】
解：因为，
所以.
故选：B.
2. （2022·江苏苏州·高三期末）记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用等差数列的前项和公式，将进行化简,可得，然后利用通项公式将展开，并将代入，化简可得答案.
【详解】
，
则，
故选：C．
3. （2022·河南高三模拟）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】由，得.又，所以.故选：B
4. （2022·广东汕头市·高三二模）已知数列中各项为非负数，，，若数列为等差数列，则（ ）
A．169B．144C．12D．13
【答案】B
【解析】由题意，，又因为数列是等差数列，
所以，且满足各项为非负数，则有，
可得故选：B
【题型二 等差数列的性质及应用】
必备技巧 等差数列的性质
1.在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq \f(d,2).
3．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
4．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an).
5．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(n,n＋1).
例5 （2022·黑龙江哈尔滨市模拟）是等差数列的前项和，，，则（ ）
A．9B．16C．20D．27
【答案】D
【解析】由得，则，
由得，则，
所以故选：D
例6 （2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．8B．12C．14D．20
【答案】D
【解析】等差数列的前n项和为，，
则，，，构成首项为2，公差为2的等差数列
则+()+ ()+ ()=2+4+6+8=20故选：D
例7 （2022·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设的公差为d，∵∴，
即{}为等差数列，公差为，由知，故故选：A﹒
例8 （2022·全国·高三专题练习）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．
【答案】
【解析】因为为等差数列，所以，所以.故答案为：
【题型精练】
1．（2022·山西临汾市一模）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．28B．34C．40D．44
【答案】D
【解析】因为，所以由，可得所以，
所以，故选：D
2. （2022·江苏高三专题练习）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵ 是等差数列的前项和，∴ ，即，
∵ 是等差数列的前项和，∴ ，即，
∴ ，故选：B.
3. （2022·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，.故选：C.
4. （2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，则数列公差为___________.
【答案】4
【解析】由等差数列性质可知，又，∴,
解得，故答案为：4
【题型三 等差数列的判定与证明】
必备技巧 判断等差数列的方法
(1)定义法
an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法
数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列．
例9 （2022·黑龙江大庆市）在数列中，，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
【答案】证明见解析，；
【解析】由题意知是1与的等差中项，可得，
可得，则，可得，
又由，可得，
所以数列是首项和公差均为1的等差数列，
可得，解得，
即的通项公式.
[题型精练]
1．（2022·湖北荆州·高三期末）在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．
(1)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an－1)))是等差数列，并求eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式；
(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,n2an)))的前n项和Sn.
【解析】 (1)∵an是1与anan＋1的等差中项，∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝eq \f(2an－1,an)，
∴an＋1－1＝eq \f(2an－1,an)－1＝eq \f(an－1,an)，∴eq \f(1,an＋1－1)＝eq \f(an,an－1)＝1＋eq \f(1,an－1)，
∵eq \f(1,a1－1)＝1，∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an－1)))是首项为1，公差为1的等差数列，
∴eq \f(1,an－1)＝1＋(n－1)＝n，∴an＝eq \f(n＋1,n).
(2)由(1)得eq \f(1,n2an)＝eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，
∴Sn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq \f(1,n＋1)＝eq \f(n,n＋1).
2. （2022·江苏南通市）已知数列的前项和为，且满足，数列满足且，求证：数列成等差数列，并求和的通项公式；
【答案】（1）证明见解析，，
【解析】因，则，
所以为首项为1，公差为2的等差数列，
有，；
又，则时，，相减得，，
则有，而，即，即为首项为-1，公比为2的等比数列，
所以.
3. （2022·河北路南·唐山一中月考）已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n，设bn＝eq \f(an－2n,3n)，求证：数列{bn}为等差数列，并求{an}的通项公式．
【解析】 因为bn＋1－bn＝eq \f(an＋1－2n＋1,3n＋1)－eq \f(an－2n,3n)＝eq \f(3an＋3n＋1－2n－2n＋1,3n＋1)－eq \f(3an－3·2n,3n＋1)＝1，
所以{bn}为等差数列，又b1＝eq \f(a1－2,3)＝0，所以bn＝n－1，所以an＝(n－1)·3n＋2n.
【题型四 等差数列的前n项和及其最值】
必备技巧 等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d0时，Sn有最小值；当d