2023年高考数学 7.5 外接球（精讲）（提升版）（原卷版）

7.5 外接球（精讲）（提升版）

考点一 汉堡模型

【例1】（2022·陕西）已知底面边长为1，侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（      ）

A． B． C． D．

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）已知在三棱锥中，，，，平面，则三棱锥的外接球的表面积是（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）已知在三棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

3．（2023·山西大同·高三阶段练习）球内接直三棱柱，则球表面积为___________.

考点二 墙角模型

【例2】（2022·全国·高三专题练习）长方体的长，宽，高分别为3，，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（       ）

A． B． C． D．

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（       ）

A．3 B．2 C． D．1

2．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·海原县）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为___________.

考点三 斗笠模型

【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形，则球的表面积等于（       ）

A． B． C． D．

【一隅三反】

1（2022·全国·高三专题练习）已知圆台的母线长为2，母线与轴的夹角为60°，且上、下底面的面积之比为1：4，则该圆台外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正三棱锥体积的最大值为___________.

3．（2022·江西）正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

考点四 麻花模型

【例4】（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（       ）   

A． B． C． D．

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（       ）

A．12π B．13π C． D．

考点五 L模型

【例5】（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是（       ）

A． B． C． D．

【一隅三反】

1（2022·江西高三）在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，则三棱锥的外接球体积为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·四川雅安市）在四面体ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面积为 （    ）

A． B． C． D．

3．（2023·重庆九龙坡区）在三棱锥中，平面平面，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

考点六 怀表模型

【例6】（2022·全国·高三专题练习）在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（       ）

A．60π B．45π C．30π D．20π

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，二面角是150°，则三棱锥外接球的表面积是（       ）

A． B．

C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（       ）

A． B． C． D．

考点七 矩形模型

【例7】（2022·湖北襄阳市）若矩形ABCD的面积是4，沿对角线AC将矩形ABCD折成一个大小是60°的二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积最小值为（    ）

A． B． C． D．

【一隅三反】

1．（2022.江西）在矩形中，，沿对角线进行翻折，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·天津河）将长、宽分别为和的长方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·四川）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中，面，，若，，且顶点均在球上，则球的表面积为______.

考点八 内切球

【例8】（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（       ）

A． B． C． D．

【一隅三反】

1．（2022·江西·高三阶段练习（理））在正三棱锥中，，分别是，的中点，且，，则正三棱锥的内切球的表面积为（       ）

A． B．

C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

3.（2022黑龙江）如图，在四棱锥中，是正方形的中心，底面，，，则四棱锥内切球的体积为（    ）

A． B． C． D．