中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题28二次函数图象中由动点引起的分类讨论问题(学生版+解析)

这是一份中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题28二次函数图象中由动点引起的分类讨论问题(学生版+解析)，共70页。
一、单选题
1．如图，二次函数的图象与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且满足，则点的坐标是（ ）
A．B．C．或D．或
2．如图，在中，，动点M、N分别从A、C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长的速度移动．设运动的时间为t，点M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系D．一次函数关系，二次函数关系
3．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a＝﹣1，则b＝4；
③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2；
④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，
其中真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．已知点是二次函数（a≠0）的图象上一个定点，而（m，n）是二次函数图象上动点，若对任意的实数m，都有，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（ ）
A．4B．C．D．
6．如图，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于点A，O，过线段AO上一动点E作直线EF⊥轴交抛物线于点F，则线段EF的最大值为( )
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，1）D．（，3）
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4B．2＋2C．2D．
9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
10．已知二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．下列说法正确的是（ ）
①线段的长度为；②抛物线的对称轴为直线；③P是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P点坐标为时，的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如果以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有4个．
A．①②B．①②③C．①②④D．③④
二、填空题
11．一动点在二次函数的图像上自由滑动，若以点为圆心，1为半径的圆与坐标轴相切，则点的坐标为______．
12．“一切为了U”是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌．已知线段，对于坐标平面内的一个动点P，如果满足，则称点P为线段的“U点”，如图，二次函数与x轴交于点A和点B．（1）线段的长度为__________；（2）若线段的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标为_________．
13．如图，二次函数与x轴交于AB两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，若点D坐标为（0，2），以D点为圆心，R为半径作圆，P为⊙D上一动点，当△APC面积最小为5时，则R＝______．
14．如图，设定点A（1，﹣），点P是二次函数图象上的动点，将点P绕着点A顺时针旋转60°，得到一个新的点P′.已知点B（2，0）、C（3，0）.
(1)若点P为（-5，），求旋转后得到的点P′的坐标为 ________ ．
(2)求△BCP′的面积最小值为_________ ．
三、解答题
15．在平面直角坐标系中，二次函数 与直线 交于 、 两点，其中点 的坐标为 ，抛物线的顶点 在 轴上．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点 为线段 上的一个动点（点 不与 、两点重合），过点
作 轴交抛物线于点 ，设线段 的长为 ，点 的横坐标为 ，当 取何值时， 有最大值？最大值是多少？
(3)点 为直线 与对称轴 的交点，在线段 上是否存在一点 ，使得四边形 是平行四边形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．
(1)求二次函数的解析式．
(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接DC，DB，设的面积为S，求S的最大值．
18．二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．
(1)求这个二次函数的表达式：
(2)如图①，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标；
(3)如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为时，求点的坐标．
19．二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为E．
(1)求这个二次函数的表达式，并写出点的坐标；
(2)如图，点是图象对称轴右侧抛物线上的一个动点，连接，取中点，连接，当时，求点的坐标．
20．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）、B（，0），与y轴的正半轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，为半径的圆与直线BC相切，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
21．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
(3)在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图1，已知二次函数的图象的顶点为，且经过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)过点A的直线与二次函数图象的另一交点为B，与y轴交于点C，若的面积是的两倍，求直线AB的解析式；
(3)如图2，已知，是x轴上一动点（E，O不重合），过E的两条直线，与二次函数均只有一个交点，且直线，与y轴分别交于点M、N．对于任意的点E，在y轴上（点M、N上方）是否存在一点，使恒成立．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
23．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是抛物线的顶点．
(1)求二次函数的关系式；
(2)点P为线段MB上一个动点，过点P作轴于点D．若，的面积为S，试判断S有最大值或最小值？并说明理由；
(3)在MB上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
24．如图，若二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，连接．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，已知抛物线经过点，，三点，点是直线绕点逆时针旋转后与轴的交点，点是线段上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．
(1)求该抛物线所表示的二次函数的解析式；
(2)在点运动过程中，若存在以为直径的圆恰好与轴相切，求的值；
(3)连接，将绕平面内某点旋转后，得到，点、、的对应点分别是点、、，是否存在点使得旋转后得到的的两个顶点恰好落在抛物线上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为．点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
(1)求这个二次函数及直线的表达式．
(2)过点做轴交直线于点，求的最大值．
(3)点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．次函数的图象交x轴于点A（－1，0），B（4，0），两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BD，当时，求△DNB的面积；
(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标．
28．如图，已知抛物线经过点A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接AC，将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°，得到，点A、O、C的对应点分别是点、、、若的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点的横坐标．
29．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图像和x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C、D（0，﹣1）．
(1)求二次函数解析式；
(2)在线段AC上方的抛物线上有一动点P，直线PC与直线BD交于点Q，当△PAQ面积最大时，求点P的坐标及△PAQ面积的最大值；
(3)在（2）条件下，将抛物线y＝ax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，得到新二次函数y′＝ax2+bx+c，点R在新抛物线对称轴上，在直线y＝﹣x上有一点S，使得以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．
专题28 二次函数图象中由动点引起的分类讨论问题
【题型演练】
一、单选题
1．如图，二次函数的图象与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且满足，则点的坐标是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据抛物线的解析式，即可确定点A的坐标，由于OA是定长，根据△AOP的面积即可确定P点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标．
【详解】解：抛物线的解析式中，令y＝0，得：−x2−2x＝0，解得x＝0，x＝−2；
∴A（−2，0），OA＝2；
∵S△AOP＝OA•|yP|＝3，∴|yP|＝3；
当P点纵坐标为3时，−x2−2x＝3，x2＋2x＋3＝0，△＝4−12＜0，方程无解，此种情况不成立；
当P点纵坐标为−3时，−x2−2x＝−3，x2＋2x−3＝0，
解得x＝1，x＝−3；
∴P（1，−3）或（−3，−3）；
故选：C．
【点睛】能够根据三角形面积来确定P点的坐标，是解答此题的关键．
2．如图，在中，，动点M、N分别从A、C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长的速度移动．设运动的时间为t，点M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】求出y与t，S与t满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可．
【详解】解：由题意得，AM＝t，CN＝2t，
∴MC＝AC−AM＝5−t，
即y＝5−t，
∴S＝MC•CN＝5t−t2，
因此y是t的一次函数，S是t的二次函数，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出y与t，S与t的函数关系式是正确判断的关键．
3．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a＝﹣1，则b＝4；
③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2；
④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，
其中真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】①错误，由图象可知当a＜x＜b时，y＞0；②错误，当时，；③错误，△MCE的周长的最小值为22；④正确，函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，则y2＜y1．
【详解】解：①当a＜x＜b时，二次函数图象在轴上方，则y＞0，故①错误；
②1，
∴当a＝﹣1时，b＝3，故②错误；
③这是将军饮马问题，作E关于x轴的对称点，连接、，如图所示：
当m＝2时，C（0，3），E（2，3），
与E关于x轴对称，
∴（2，﹣3），
∴△MCE的周长的最小值就是三点共线时取到为＝2，
∴△MCE的周长的最小值为22，故③错误；
④设x1关于对称轴的对称点 ，
∴＝2﹣x1，
∵x1+x2＞2，
∴x2＞﹣x1+2，
∴x2＞，
∵x1＜1＜x2，
∴x1＜1＜＜x2，
∵函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，
∴y2＜y1，则④正确；
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，解题的关键是灵活掌握二次函数的有关性质，第四个结论的判断关键是利用对称点性质解决问题，所以中考压轴题．
4．已知点是二次函数（a≠0）的图象上一个定点，而（m，n）是二次函数图象上动点，若对任意的实数m，都有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对任的实数m，有，即当时，对任的实数m，；当时，对任的实数m，；综上可知为二次函数的顶点，再根据顶点的横坐标与对称轴的值相等，据此即可求解．
【详解】解：∵对任的实数m，有，
∴当时，对任的实数m，；
当时，对任的实数m，；
∴综上：为二次函数的顶点，
故，
故．
故选：D．
【点睛】此主考二次数的性质和图像，解题的关键是熟知二次函数的图形与性质，并据此判断出为二次函数的顶点．
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（ ）
A．4B．C．D．
【答案】A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，根据，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数的图像与x轴交于点，
∴b＝2，
∴二次函数的解析式为，令y＝0，-x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，y=3，
∴B（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，-1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
设，则,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DP+PJ的最小值为，
∴的最小值为4．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，是解题的关键．
6．如图，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于点A，O，过线段AO上一动点E作直线EF⊥轴交抛物线于点F，则线段EF的最大值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先联立二次函数和一次函数的解析式得出点A的坐标，再设点的坐标为，由二次函数的解析式可得点F的坐标为，从而可得EF的值和m的取值范围，然后根据二次函数的性质求解即可得．
【详解】由二次函数的图象可知，
联立，解得或
则点A的坐标为
设点的坐标为，则，点F的坐标为
此二次函数的增减性为：当时，EF随m的增大而增大；当，EF随m的增大而减小
则当时，EF取得最大值，最大值为
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（增减性）等知识点，依据题意求出EF的表达式和m的取值范围是解题关键．
7．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，1）D．（，3）
【答案】A
【分析】利用待定系数法求出二次函数和直线AC的解析式，过点P作PGy轴交AC于点G，设P（t，），则G（t，t＋2），求出PG＝，可得，进而可得当t＝时，有最大值，问题得解．
【详解】解：将点A（−3，0），B（1，0）代入中，得，
解得：，
∴二次函数解析式为，
令x＝0，则，
∴C（0，2），
设直线AC的解析式为y＝mx＋n，
代入A（−3，0），C（0，2）得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x＋2，
过点P作PGy轴交AC于点G，
设P（t，），则G（t，t＋2），
∴PG＝，
∴，
∴当t＝时，有最大值，此时P（，），
故选：A．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，求出函数解析式，表示出PG的长是解答本题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4B．2＋2C．2D．
【答案】A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（0，-3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
设，则,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DP+PJ的最小值为，
∴的最小值为4．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，过点P作PD⊥BC于D，过点Q作QH⊥BC于H．根据，可得的最小值为的长，即可解决问题．
【详解】如图，连接，过点P作PD⊥BC于D，过点Q作QH⊥BC于H．
由，令，则，
解得，
，
令，解得，
，
，
，
，
，
，
当为与轴交点时最小，最小值为的长，
Q（0，2）,，
，
设，则,
∵，
∴，
∴，
∴，
则的最小值是．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
10．已知二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．下列说法正确的是（ ）
①线段的长度为；②抛物线的对称轴为直线；③P是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P点坐标为时，的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如果以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有4个．
A．①②B．①②③C．①②④D．③④
【答案】C
【分析】①求出抛物线与坐标轴的交点A，C的坐标，利用两点间距离求出AC；②根据抛物线对称轴的求法即可求出对称轴；③延长AC，与直线交于点P，求出AC的表达式，可得点P坐标；④结合图像画出符合条件的平行四边形，从而判断点P的个数．
【详解】解：在中，
令x=0，则y=2，
令y=0，则，
解得x=或2，
∴A（，0），C（0，2），
∴AC=，①正确；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，②正确；
延长AC，与对称轴交于点P，此时的值最大，
∵A（，0），C（0，2），设直线AC的表达式为：y=mx+n，
则，解得：，
∴直线AC的表达式为y=4x+2，
令，则y=5，
∴当点P的坐标为（，5）时，的值最大，③错误；
如图，若以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
当AC为边时，有ACM1N1，ACM2N2，ACM3N3，共3个平行四边形，
当AC为对角线时，有AMCN1，共1个平行四边形，
∴符合条件的点M有4个，④正确，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，平行四边形的性质，最短路径问题，知识点较多，综合性较强，解题的关键是从图像出发，利用数形结合的思想解决问题．
二、填空题
11．一动点在二次函数的图像上自由滑动，若以点为圆心，1为半径的圆与坐标轴相切，则点的坐标为______．
【答案】或或
【分析】根据题意可分两种情况讨论：①当与x轴相切时，则点P的纵坐标为1，则得一元二次方程，解方程即可；②当与y轴相切时，点P的横坐标为1或-1，则可得点P的坐标，综上即可求解．
【详解】解：如图所示：
则可分两种情况：
①当与x轴相切时，则点P的纵坐标为1，令，
解得，，
此时点P的坐标为：或，
②当与y轴相切时，点P的横坐标为1或-1，则此时点P的坐标为：或，
综上所述：点P的坐标为：或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质和圆的切线的应用，掌握切线的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
12．“一切为了U”是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌．已知线段，对于坐标平面内的一个动点P，如果满足，则称点P为线段的“U点”，如图，二次函数与x轴交于点A和点B．（1）线段的长度为__________；（2）若线段的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标为_________．
【答案】 ； 或
【分析】令，得到，求得两点坐标，即可求得的长度，以为边，向上作等边三角形，再以为圆心，以为半径画弧，交轴于点，求得点坐标，设，根据求解即可．
【详解】解：令，得到
解得，，即，
∴，
以为边，向上作等边三角形，再以为圆心，以为半径画弧，交轴于点，如下图：
设原点为，由圆周角定理可知，，
由题意可得：
作OD⊥AB，则，，
，，
设，则，
化简可得，
解得，
即，，
故答案为：；或，
【点睛】此题考查了二次函数与坐标的轴的交点问题，圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是掌握并灵活利用相关性质进行求解．
13．如图，二次函数与x轴交于AB两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，若点D坐标为（0，2），以D点为圆心，R为半径作圆，P为⊙D上一动点，当△APC面积最小为5时，则R＝______．
【答案】
【分析】如图，作所在直线，垂足为点H．AC为定值，因此当PH取最小值时，△APC面积取最小值，连接PD，可知当P，H，D共线时，△APC面积最小，根据△APC面积最小为5求出PH，利用求出DH，则．
【详解】解：如图，作所在直线，垂足为点H．AC为定值，因此当PH取最小值时，△APC面积取最小值，连接PD，可知当P，H，D共线时，△APC面积最小．
∵二次函数与x轴交于AB两点（点A在点B左边），
∴令，得，
解得或，
∴，．
令，得，
∴，
∴，，
∴．
∵△APC面积最小为5，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
即，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查求二次函数与坐标轴的交点，勾股定理，三角形的面积，圆的基本知识，解直角三角形等，解题的关键确定△APC面积最小时点P的位置．
14．如图，设定点A（1，﹣），点P是二次函数图象上的动点，将点P绕着点A顺时针旋转60°，得到一个新的点P′.已知点B（2，0）、C（3，0）.
(1)若点P为（-5，），求旋转后得到的点P′的坐标为 ________ ．
(2)求△BCP′的面积最小值为_________ ．
【答案】
【分析】（1）由函数关系式求出点P坐标，过点P作PD//x轴，过点B作BD⊥PD于点D，求出，故可知在BD的延长线上，且,故可得结论；
（2）连接AB，AC，将B，C绕点A逆时针旋转60°得B′，C′，作AH⊥x轴于点H，证明△C′AO≌△CAB（SAS），利用待定系数法求出OC′的函数表达式为：y=x，设过P且与B′C′平行的直线l解析式为y=x+b，由于S△BCP′=S△B′C′P，当直线l与抛物线相切时取最小值，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：（1）∵
∴抛物线的顶点坐标为（-5，）
∴点P为抛物线的顶点，
过点P作PD//x轴，过点B作BD⊥PD于点D，如图，
∵P（-5，），A（1，﹣），
∴
∴，
又
∴
∴
∵是等边三角形，
∴在BD的延长线上，且,
∴
∴
故答案为：
（2）如图，连接AB，AC，将B，C绕点A逆时针旋转60°得B′，C′，作AH⊥x轴于点H
∵A（1，-），B（2，0），C（3，0），
∴OH=BH=1，BC=1，
∴OA=AB=OB=2，
∴△OAB为等边三角形，此时B′与O重合，即B′（0，0），
连接C′O，
∵∠CAC′=∠BAB′=60°，
∴∠CAB=∠C′AB′，
在△C′AO和△CAB中，
，
∴△C′AO≌△CAB（SAS），
∴C′O=CB=1，∠C′OA=∠CBA=120°，
∴作C′G⊥y轴于G，
在Rt△C′GO中，∠C′OG=90°-∠C′B′C=30°，
∴C′G=OC′=，
∴OG=，
∴C′（，），此时OC′的函数表达式为：y=x，
设过P且与B′C′平行的直线l解析式为y=x+b，
∵S△BCP′=S△B′C′P，
∴当直线l与抛物线相切时取最小值，
则 ，
即
∴
当Δ=0时，即
解得b=，
∴，
设l与y轴交于点T，连接C′T，
∵S△B′C′T=S△BCP′，
∴S△BCP′=×B′T×C′G=×．
故答案为：
【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，全等三角形判定和性质，等边三角形性质等知识，熟练掌握一次函数、二次函数的图象和性质，全等三角形判定和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想是解题关键．
三、解答题
15．在平面直角坐标系中，二次函数 与直线 交于 、 两点，其中点 的坐标为 ，抛物线的顶点 在 轴上．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点 为线段 上的一个动点（点 不与 、两点重合），过点
作 轴交抛物线于点 ，设线段 的长为 ，点 的横坐标为 ，当 取何值时， 有最大值？最大值是多少？
(3)点 为直线 与对称轴 的交点，在线段 上是否存在一点 ，使得四边形 是平行四边形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当 为 时，的最大值为
(3)存在，
【分析】（1）根据交点在二次函数上，将交点坐标代入二次函数表达式中即可求解；
（2）根据二次函数与一次函数有交点，先确定动点 横坐标 的移动的范围，即 ，在根据点 在一次函数图像上，点 在二次函数图像上，由此用含 的式子表示 的长度，根据二次函数的最值即可求出答案；
（3）由直线 的表达式与对称轴 的交点即可求出点 的坐标，根据二次函数的表达式可以求出点 的坐标，从而求出 的长度，且 轴，根据平行四边形的性质可知，只需证明 ，由此确定等量关系，即可求出答案．
（1）
解：将点 代入函数解析式 ，
∴ ，解得 ，
∴二次函数的表达式为 ；
故答案是：．
（2）
解：根据题意，点 移动的范围是在点 、之间，
令 ，解得 或 ，
∴ ，且 的横坐标为 （ ），点 在一次函数上，点 在二次函数 上，
∴ ， ，
∴ ，
∴当 为 时，的最大值为 ，
故答案是：当 为 时，的最大值为．
（3）
解：存在，理由如下：
∵抛物线的顶点为 ，点 为直线 与对称轴 的交点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
若四边形 是平行四边形，则只需 ，
由（2）知， ，
∴ ，解得 （舍）或 ，
∴ ，
故存在一点 ，使得四边形是平行四边形，此时．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像性质与动点结合的知识，理解和掌握二次函数图像性质，点坐标的特点是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．
(1)求二次函数的解析式．
(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当t＝时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为
(3)存在，M(，)
【分析】（1）将点A（4，0），点B（-1，0）代入，得，进行计算即可得；
（2）由（1）得：抛物线表达式为，当时，，即C（0，4），即可得△OAC是等腰直角三角形，即∠BAC＝45°，由点P的运动可知：AP＝t，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，则，即是等腰直角三角形，根据勾股定理得进行计算得，即，即H（4-t，0），d又Q（-1+t，0），即可得＝，根据二次函数的性质得当x=时，的面积有最小值，根据当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，即，AB＝5，所以，即可得；
（3）假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP，根据角之间的关系的，根据等量代换得，利用AAS可证明，即，，即可得，根据得点M的坐标为（4-2t，5-t），根据点M在抛物线上得，进行计算即可得．
（1）
解：将点A（4，0），点B（-1，0）代入，得
解得，，
∴二次函数的解析式为：．
（2）
解：由（1）得：抛物线表达式为，当时，，
即C（0，4），
∴，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
由点P的运动可知：AP＝t，
如图所示，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，

∴，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴
∴，
即H（4-t，0），
又Q（-1+t，0），
∴
＝
＝
当x=时，的面积有最小值，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
，AB＝5，
∴，
∴当时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为；
（3）
存在．理由如下：
解：假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，
如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP，
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴（AAS），
∴，，
∴，
∵，
∴点M的坐标为（4-2t，5-t），
∵点M在抛物线上，
∴，
，
解得：t＝或（舍），
∴M点的坐标为（，）．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接DC，DB，设的面积为S，求S的最大值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据直线求出点B、C的坐标，再根据B、C的坐标即可求出二次函数的表达式；
（2）添加辅助线，将分解为和，设点，计算出线段MD的长度，从而得到的面积表达式，最后通过配方法求出最值即可．
（1）
解：在直线上，当时，，当时，，
∴，，
∵二次函数经过点B、C，
∴ ，
解方程得，，
∴二次函数的表达式为；
（2）
如下图所示，过点D作轴，交直线BC与点M，过点C作，垂足为P，设点,
∵点M在直线上，
∴当M的坐标为，
∵点D在抛物线上，
∴当M的坐标为，
∵点D在BC下方，
∴MD的长度为，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴S是以t为自变量的二次函数，且开口向下，顶点为
∴当时，最大，且，
故S的最大值为4．
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，并将三角形面积的最大值问题转换为二次函数最大值的问题．
18．二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．
(1)求这个二次函数的表达式：
(2)如图①，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标；
(3)如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）由于二次函数的图象与轴交于、两点，把，两点坐标代入，计算出和b的值即可求出抛物线解析式；
（2）由线段垂直平分线的性质可得出，设，由勾股定理可得解方程可得出答案；
（3）设交抛物线的对称轴于点，设直线的解析式为，由，求出的坐标，再由面积公式可求出的值．则可得出答案．
（1）
解：将，代入，得，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）
如图，图，连接，，由点在线段的垂直平分线上，得．

设，
，
∴OC＝3，
由两点间的距离可得：．
解得．
满足条件的点的坐标为或；
（3）
如图，设交抛物线的对称轴于点，

设点，
∵的中点为点，
∴由中点坐标公式得到点，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为：，
当时，，
，．
，
，
解得或，
当时，＝8，
∴，
当时，＝24，
∴．
综合以上可得，满足条件的点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键．
19．二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为E．
(1)求这个二次函数的表达式，并写出点的坐标；
(2)如图，点是图象对称轴右侧抛物线上的一个动点，连接，取中点，连接，当时，求点的坐标．
【答案】(1)，（4，-1）
(2)（10，8）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，过点E作EH⊥y轴于H，先求出点C的坐标，再求出点H的坐标，即可得到CH=HE=4，，∠HCE=∠HEC=45°，求出直线CE的解析式为；过点Q作交y轴于G，过点C作CF⊥GQ于F，证明CF=GF，再由△CEQ的面积为12，求出，则，得到直线QG的解析式为，设点Q的坐标为（t，-t+9），则点P的坐标为（2t，-2t+18），即可建立方程，据此求解即可．
（1）
解：把代入二次函数解析式中得：
解得，
∴抛物线解析式为，
∴点E的坐标为（4，-1）；
（2）
解：如图所示，过点E作EH⊥y轴于H，
令，则，
∴点C的坐标为（0，3），
∵点E的坐标为（4，-1），
∴点H的坐标为（0，-1），
∴CH=HE=4，
∴，∠HCE=∠HEC=45°，
设直线CE的解析式为，
∴，
∴，
∴直线CE的解析式为；
过点Q作交y轴于G，过点C作CF⊥GQ于F，
∴，
∴，
∴CF=GF，
∵△CEQ的面积为12，
∴，
∴，
∴，
∴点G的坐标为（0，9），
∴直线QG的解析式为，
设点Q的坐标为（t，-t+9），则点P的坐标为（2t，-2t+18），
又∵点P在二次函数图象上，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点P的坐标为（10，8）；
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，二次函数综合，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的间间距相等等等，熟知相关知识正确作出辅助线是解题的关键．
20．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）、B（，0），与y轴的正半轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，为半径的圆与直线BC相切，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点D坐标为（-2，0）或（-1，0）
(3)存在，点P坐标为(-1，4)或(-2，3)或()或()
【分析】（1）将A、B坐标代入二次函数解析式求解即可；
（2）求得C点坐标，从而得到BC解析式，由此可知∠CEF=45°，因此可分∠CFE=90°、∠ECF=90°两种情况讨论；
（3）过点P作PG⊥BC，过点P作PH∥BC，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，交x轴于点M，求出PH的解析式，联立直线PH和二次函数解析式，求解即可．
（1）
解：将点代入，得：
，
解得：，
∴二次函数解析式为．
（2）
解：∵二次函数解析式为
∴点C的坐标为（0，3），
∴直线BC的解析式为．
① 当∠CFE=90°时，CF∥OB
∴点C，F关于抛物线对称轴直线对称，
∴点F（-2，3），
此时点D坐标为（-2，0）
②当∠ECF=90°时，作FG⊥y轴于G，
由OB=OC，∠BOC=90°，可知∠BCO=45°
∵CF⊥CB，
∴∠FCG=45°，
∴△CFG是等腰直角三角形，
设CG=a，则点F坐标为(-a,a+3)，
代入得：
解得，（舍去）
点F（-1，4），
此时点D坐标为（-1，0）．
综上所述：存在这样的点D，点D坐标为（-2，0）或（-1，0）
（3）
解：① 当点P在BC上方时，过点P作PG⊥BC于点G，作PM⊥x轴，交BC于点N ，过点P 作直线PH∥BC．
则是等腰直角三角形，
∵PG=，
∴PN=2，
∵PM⊥x轴，
∴直线PH由直线BC向上平移两个单位长度得到，
∴直线PH的解析式为．
联立直线PH和抛物线的解析式，得：
，
解得：或．
∴点P坐标为(-1，4)或(-2，3) ．
② 当点P在BC下方时，同理可得直线PH由直线BC向下平移两个单位长度得到，
∴直线PH的解析式为．
，
解得： 或 ．
∴点P坐标为()或()．
综上所述：点P坐标为(-1，4)或(-2，3)或()或()．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，圆的切线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解，难度适中．
21．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
(3)在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2＋2x＋3
(2)
(3)存在，(1，4)或(2，3)
【分析】(1)由二次函数顶点C(1，4)，抛物线经过B(3，0)，用待定系数法可得二次函数的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)在y＝﹣x2＋2x＋3中，可得D(0，3)，用待定系数法得直线BD解析式为y＝﹣x＋3，设P(m，﹣m＋3)，则M(m，﹣m2＋2m＋3)，PM＝﹣(m﹣)2＋，根据二次函数性质即得：当m＝时，PM取最大值，最大值为；
(3)过Q作QGy轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q(x，﹣x2＋2x＋3)，则G(x，﹣x＋3)，可得QG＝|﹣x2＋2x＋3﹣(﹣x＋3)|＝|﹣x2＋3x|，又OB＝OD，△BDQ中BD边上的高为时，可知QG＝2，即得﹣x2＋3x＝2，可解得点Q为(1，4)或(2，3)．
（1）
解：由二次函数顶点C(1，4)，设y＝a(x﹣1)2＋4，
将B(3，0)代入得：4a＋4＝0，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣(x﹣1)2＋4＝﹣x2＋2x＋3，
答：二次函数的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；
（2）
解：在y＝﹣x2＋2x＋3中，令x＝0得y＝3，
∴D(0，3)，
设直线BD解析式为y＝kx＋3，将B(3，0)代入得：
3k＋3＝0，
解得k＝﹣1，
∴直线BD解析式为y＝﹣x＋3，
设P(m，﹣m＋3)，则M(m，﹣m2＋2m＋3)，
∴PM＝﹣m2＋2m＋3＋m﹣3＝﹣m2＋3m＝﹣(m﹣)2＋，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，PM取最大值，最大值为；
（3）
解：存在点Q，使△BDQ中BD边上的高为，理由如下：
过Q作QGy轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，如图：
设Q(x，﹣x2＋2x＋3)，则G(x，﹣x＋3)，
∴QG＝|﹣x2＋2x＋3﹣(﹣x＋3)|＝|﹣x2＋3x|，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝45°，
∴∠BGE＝45°＝∠QGH，
∴△QGH是等腰直角三角形，
当△BDQ中BD边上的高为时，即QH＝HG＝，
∴QG＝2，
∵点Q在第一象限，QG＝|﹣x2＋3x|，
∴﹣x2＋3x＝2，
解得x＝1或x＝2，
∴Q(1，4)或(2，3)，
综上可知存在满足条件的点Q，坐标为(1，4)或(2，3)．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质及方程思想等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
22．如图1，已知二次函数的图象的顶点为，且经过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)过点A的直线与二次函数图象的另一交点为B，与y轴交于点C，若的面积是的两倍，求直线AB的解析式；
(3)如图2，已知，是x轴上一动点（E，O不重合），过E的两条直线，与二次函数均只有一个交点，且直线，与y轴分别交于点M、N．对于任意的点E，在y轴上（点M、N上方）是否存在一点，使恒成立．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，
【分析】（1）设出顶点式，利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据的面积是的两倍，得到的横坐标的绝对值是的两倍，根据在抛物线上，求出的坐标，待定系数法求直线解析式即可；
（3）根据过的直线与抛物线只有一个交点，设直线的解析式为：，利用E点坐标得出：，联立两个函数，根据，列出一元二次方程，根据根与系数的关系得到两条直线之间的关系式，设出和利用，对应边对应成比例，求解即可．
（1）
解：设抛物线的解析式为：，
∵抛物线的顶点为，
∴，
将点代入得：，
解得：，
∴；
（2）
解：设
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
当时：，
当时：，
设直线的解析式为：，
当时：
，解得：，
∴；
当时：
，解得：，
∴；
综上：或；
（3）
解：存在，
设过点的直线的解析式为：，
则：，
，
∴，
∵直线与抛物线只有一个交点：
∴，整理得：，
，
设的两个根为：，
∴，
设直线为：，则：，
设直线为：，则：，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵
，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴存在，当时，恒成立．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出二次函数的解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，难度较大，属于中考压轴题．
23．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是抛物线的顶点．
(1)求二次函数的关系式；
(2)点P为线段MB上一个动点，过点P作轴于点D．若，的面积为S，试判断S有最大值或最小值？并说明理由；
(3)在MB上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在最大值，最大值为
(3)或
【分析】（1）将、代入，列方程组求出、的值即可；
（2）先求所在直线的解析式，用含的代数式表示点的坐标及的面积，求出关于的函数关系式，用函数的性质判断并求出的最值；
（3）存在符合条件的点，分三种情况根据点的位置或勾股定理列方程求出的值及点的坐标．
（1）
解：把、代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）
解：有最大值．理由如下：
如图1，设直线的解析式为，
，
∴该抛物线的顶点坐标为，
把、代入，得，
解得，
∴，
，
∴；
由，
得；
∵当点与点重合时，不存在以、、为顶点的三角形，
∴，
∴不存在最小值；
，
∴当时，，
∴的最大值为．
（3）
解：存在，理由如下：
若，如图2，则轴，
∴，且在直线上，
∴，
解得，
∴；
若，如图3，则，
∴，
整理，得，
解得，（不符合题意，舍去）；
∴，；
若，则，
∴，
整理，得，
解得，
此时不存在以，，为顶点的三角形，
∴舍去．
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象和性质、勾股定理、用待定系数法求函数解析式、二次根式的化简等知识，解第（3）题时应分类讨论并进行必要的检验，求出所有符合条件的点的坐标．
24．如图，若二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，连接．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为或
【分析】（1）将、代入，联立方程组，求出、的值，即可得出该二次函数的解析式；
（2）设，当时，过点作轴交点，过作轴交点，证明，得到，则，所以；当时，设与轴的交点为，与轴的交点为，过点作轴交点，过作轴交点，证明，则有，求得，则，可求，综合即可得出K点的坐标．
（1）
解：把、代入，
可得：，
解得：，
∴该二次函数的表达式为．
（2）
解：存在，理由如下：
设，
当时，如图1，
∵矩形是以为边，
∴，，，
过点作轴交点，过作轴交点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴；
当时，如图2，
∵矩形是以为边，
∴，，，
设与轴的交点为，与轴的交点为，
过点作轴交点，过作轴交点，
∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴；
综上所述，K点的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用矩形和等腰直角三角形的性质是解本题的关键．
25．如图，已知抛物线经过点，，三点，点是直线绕点逆时针旋转后与轴的交点，点是线段上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．
(1)求该抛物线所表示的二次函数的解析式；
(2)在点运动过程中，若存在以为直径的圆恰好与轴相切，求的值；
(3)连接，将绕平面内某点旋转后，得到，点、、的对应点分别是点、、，是否存在点使得旋转后得到的的两个顶点恰好落在抛物线上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)2
(3)或
【分析】（1）设（），待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）设，（）得出，则，根据以为直径的圆与轴相切，得出，解方程即可求解；
（3）设，由对称可得：，，，分情况讨论，①若、在抛物线上，②若、在抛物线上③由、横坐标相同，所以不可能都在抛物线上，即可求解．
（1）
设（），
将代入得：，
解得：，
，
即；
（2）
在中，，
，
由旋转可得：，
为等腰直角三角形，
，
，
：，
设，（），
，，
以为直径的圆与轴相切，
，即，
解得：，（舍），（舍），（舍），
；
（3）
设，∵，，，关于中心对称，
∴，，，
①若、在抛物线上，则、关于对称轴对称，
对称轴：，
，解得：，
，即，
解得：，
，
②若、在抛物线上，
，
解得：，
，
③、横坐标相同，所以不可能都在抛物线上，
综上，或．
【点睛】本题考查了二次函数与圆综合，切线的性质，综合运用二次函数与切线的性质是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为．点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
(1)求这个二次函数及直线的表达式．
(2)过点做轴交直线于点，求的最大值．
(3)点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)二次函数的表达式为，直线的表达式为；
(2)
(3)存在，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数和直线BC的解析式；
（2）设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，），PD＝，由二次函数的性质可得出答案；
（3）分情况讨论：①当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作NE⊥MF于点E，证明△MEN≌△OFM（AAS），可得OF＝EM＝1，设点M坐标为（1，a），可得NE＝MF＝a，则N（1-a，1+a），把点N坐标代入二次函数解析式求出a的值，可得此时点的坐标；②当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，③当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，④当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，同理可求点的坐标．
（1）
解：把点B，点C的坐标代入解析式中，
得：，
解得：，
∴二次函数得表达式为；
设BC的函数表达式为y=kx+b，
把点B，点C的坐标代入可得：，
解得：，
∴直线BC的函数表达式为：；
（2）
如图，∵轴，
∴点P和点D的横坐标相同，
设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，），
PD＝，
当x=时，PD有最大值；
（3）
分情况讨论：
①当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作NE⊥MF于点E，
∵为等腰直角三角形，且为直角，
∴NM＝MO，∠NMO＝90°，
∴∠NME＋∠OMF＝90°，
∵∠NME＋∠MNE＝90°，
∴∠MNE＝∠OMF，
又∵∠MEN＝∠OFM＝90°，
∴△MEN≌△OFM（AAS），
∴OF＝EM，MF＝NE，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴OF＝EM＝1，
设点M坐标为（1，a），则NE＝MF＝a，
∴N（1-a，1+a），
∵点N在抛物线上，
∴，
整理得：，
解得：，
∴N（，），
②当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，如图2，
同理可得：点N坐标为（，）；
③当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，如图3，
同理可得：点N坐标为（，）；
④当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，如图4，
同理可得：点N坐标为（，）；
综上，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及二次函数图象上点的坐标特征，其中第（3）问有一定难度，能够正确分类讨论是解题的关键．
27．次函数的图象交x轴于点A（－1，0），B（4，0），两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BD，当时，求△DNB的面积；
(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)P（1，－1）或（3，3）
【分析】（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式中，求出系数a与b即可；
（2）先求出BC的解析式，再将x=2代入和，得出D、N的坐标即可求出DN的值，再根据三角形的面积公式计算出答案即可；
（3）由BM的值得出M的坐标，因此设P（2t-1，m），由勾股定理可得，，根据题意PB=PC，所以，得出P的坐标为，再利用勾股定理列出方程，解得t=1或t=2，代入求值即得出答案．
（1）
解：将A(-1, 0)，B(4, 0)代入中，
得： ，
解得： ．
∴二次函数的表达式为．
（2）
解：连接BD，如图所示，
∵，
∴AM=3．
又∵，
∴．
设直线BC的表达式为，
将点C（0，2），B（4，0）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为：．
将x=2代入和，
得D(2，3)，N（2，1），
∴．
∴．
（3）
解：∵，
∴．
设P（2t-1，m），
则，．
∵PB=PC，
∴，
∴，
∴．
∵PC⊥PB，
∴，
将代入整理得：，
解得：t=1或t=2．
将t=1或t=2分别代入中，
∴P（1，－1）或（3，3）．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了待定系数法求二次函数表达式，根据点的坐标求平面内三角形的面积，以及根据等腰直角三角形求点的坐标，解题的关键是根据点的坐标求出函数解析式，同时根据解析式将点表示出来，列出方程进行计算．
28．如图，已知抛物线经过点A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接AC，将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°，得到，点A、O、C的对应点分别是点、、、若的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点的横坐标．
【答案】(1)
(2)存在，Q(3，2)或Q(-1，0)
(3)两个“和谐点”，的横坐标是1或
【分析】（1）把点A(1，0)、B(4，0)、C(0，3)三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；
（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM＝90°或∠MQB＝90°，即可求得Q点的坐标．
（3）两个和谐点，AO＝1，OC＝2，设(x，y)，则(x+2，y-1)，(x，y-1)，①当、在抛物线上时，的横坐标是1；当、在抛物线上时，的横坐标是2；
（1）
设抛物线解析式为，
将点A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2)代入解析式，得：，
解得：，
∴；
（2）
∵点C与点D关于x轴对称，
∴D(0，-2)．
设直线BD的解析式为．
∵将(4，0)代入得：4k-2＝0，
解得：k＝．
∴直线BD的解析式为y＝x-2．
当P点与A点重合时，△BQM是直角三角形，此时Q(-1，0)；
当BQ⊥BD时，△BQM是直角三角形，
则直线BQ的直线解析式为y＝-2x+8，
∴-2x+8＝-+x+2，
解得：x＝3或x＝4(舍)
∴x＝3．
∴Q(3，2)或Q(-1，0)；
（3）
AO＝1，OC＝2，
设A1(x，y)，则C1(x+2，y-1)，O1(x，y-1)，
分类讨论：①当A1、C1在抛物线上时，如图，
∴，
∴，
∴A1的横坐标是1；
②当O1、C1在抛物线上时，
，
∴，
∴A1的横坐标是；
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，直角三角形的性质，旋转的性质等，分类讨论思想的运用是解本题的关键．
29．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图像和x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C、D（0，﹣1）．
(1)求二次函数解析式；
(2)在线段AC上方的抛物线上有一动点P，直线PC与直线BD交于点Q，当△PAQ面积最大时，求点P的坐标及△PAQ面积的最大值；
(3)在（2）条件下，将抛物线y＝ax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，得到新二次函数y′＝ax2+bx+c，点R在新抛物线对称轴上，在直线y＝﹣x上有一点S，使得以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3
(2)△PAQ的最大值为，此时P（﹣，）
(3)点R的坐标为：（1，﹣）或（1，）或（1，）；过程见解析
【分析】（1）将A，B的坐标代入二次函数解析式，建立方程组，求解即可；
（2）分别求出直线AC，BD的解析式，可证AC∥BD，所以△ACQ的面积＝△ACD的面积，进而求△PAQ的面积最大可转化为求△PAC的面积最大；过点P作PE∥y轴交AC于点E，表达△PAC的面积，利用二次函数的性质求解即可；
（3）由平移的性质可知，抛物线y＝ax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，即向右平移2个单位，向上平移2个单位，由此可得出新抛物线的解析式，可得出点R的横坐标，根据平行四边形的性质，可分类讨论：当PD是平行四边形的边时，当PD是平行四边形的对角线时，分别求解即可．
（1）
解：∵二次函数y＝ax2+bx+3的图像和x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），
∴，
∴ ．
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）
解：∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，3），
∴直线AC的解析式为：y＝x+3；
∵B（1，0），D（0，﹣1），
∴直线BD的解析式为：y＝x﹣1；
∴AC∥BD，CD＝4，
∴S△ACQ＝S△ACD＝×4×3＝6．
∴S△APQ＝S△APC+S△ACQ＝S△APC+S△ACD＝S△APC+6．
过点P作PE∥y轴交AC于点E，如图，
设点P的横坐标为t，
则P（t，﹣t2﹣2t+3），E（t，t+3），
∴PE＝﹣t2﹣3t．
∴S△APQ＝S△APC+6
＝×3×（﹣t2﹣3t）+6
＝．
∵，
∴当t＝时，△PAQ的最大值为 ，此时P；
（3）
解：由平移的性质可知，抛物线y＝ax2+bx+3沿射线AC平移2 个单位长度，即向右平移2个单位，向上平移2个单位，
∵y′＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴当抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位后，平移后的抛物线为：y＝﹣（x﹣1）2+6＝﹣x2+2x+5．
∵R在新抛物线对称轴上，
∴R的横坐标为x＝1．
若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，根据题意，需要分以下两种情况：
①当PD为平行四边形的边时，xP﹣xD＝xR﹣xS或xP﹣xD＝xS﹣xR，
∴﹣0＝1﹣xS或﹣0＝xS﹣1，
解得xS＝或xS＝．
∴S 或．
∵yP﹣yD＝yR﹣yS或yP﹣yD＝yS﹣yR，
∴﹣（﹣1）＝yR﹣（）或﹣（﹣1）＝﹣yR，
∴yR＝或yR＝．
∴R（1，）或（1，）．
②当PD为平行四边形的对角线时，xP+xD＝xR+xS，
∴+0＝1+xS，
解得xS＝，
∴S（，），
∵yP+yD＝yR+yS，
∴+（﹣1）＝yR+，
∴yR＝．
∴R（1，）．
综上，若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，点R的坐标为：（1，）或（1，）或（1，）．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的图像和性质，与抛物线有关的动三角形的面积最值，平行四边形的存在性等问题，做题时注意分类讨论．