中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题14解直角三角形中的背靠背模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题14解直角三角形中的背靠背模型(原卷版+解析)，共37页。
【题型演练】
一、单选题
1．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )
A．海里B．海里C．120海里D．60海里
2．如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（ ）
A．60mB．40mC．30mD．60m
二、填空题
3．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．
4．4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为，B处的俯角为．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是____________米．
5．如图所示，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时海里的速度沿南偏西方向匀速航行，小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是______海里(结果精确到个位，参考数据：，，)
6．如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为__海里（精确到1海里，参考数据≈1.414，≈1.732）．
7．某拦水坝的横截面为梯形， 迎水坡的坡角为，且， 背水坡的坡度为是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，坝面宽，坝高则坝底宽__________．
三、解答题
8．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7）
9．已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：．
（1）如图1，若，求b的值；
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池中建一座小型景观桥（如图2所示），若米，米，，求景观桥的长度．
10．为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角∠ADF=45°，条幅底端E点的俯角为∠FDE=30°，DF⊥AB，若甲、乙两楼的水平距离BC为21米，求条幅的长AE约是多少米？（，结果精确到0.1米）
11．如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房的楼顶，测量对面的乙栋楼房的高度，已知甲栋楼房与乙栋楼房的水平距离米，小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是，底部C点的俯角是，求乙栋楼房的高度（结果保留根号）．
12．如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条笔直的公路．点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东方向与包装公司北偏西方向的交点，住宅小区在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参考数据：，）
13．如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在中，测得，，米，求河宽（即点A到边的距离）（结果精确到0.1米）．
（参考数据：，，，）
14．在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离AB为20m，求塑像的高度CF．（结果保留根号）
15．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B位于A地北偏东67°方向，距离A地520 km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）参考数据：（sin67°≈；cs67°≈；tan67°≈；≈1.73）
16．某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）
17．一滑板运动场斜坡上的点处竖直立着一个旗杆，旗杆在其点处折断，旗杆顶部落在斜坡上的点处，米，折断部分与斜坡的夹角为75°，斜坡与水平地面的夹角为30°，求旗杆的高度．
（, ，精确到1米）．
18．一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向上．
（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD是多少海里？（结果保留根号）
（2）当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处，求轮船每小时航行多少海里？（结果保留根号）
19．如图，在东西方向的海面线MN上，有A，B两艘巡逻船，两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号，测得渔船分别在巡逻船A，B的北偏西30°和北偏东45°方向，巡逻船A和渔船C相距120海里．（结果取整数，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
（1）求巡逻船B与渔船C间的距离；
（2）已知在A，B两艘巡逻船间有一观测点D（A，B，D在直线MN上），测得渔船C在观测点D的北偏东15°方向，观测点D的45海里范围内有暗礁．若巡逻船B沿BC方向去营救渔船C，问有没有触礁的危险？并说明理由．
20．如图，某野外生态考察小组早晨7点整从A营地出发，准备前往正东方向的B营地，由于一条南北向河流的阻挡（图中阴影部分），他们需要从C处过桥．经过测量得知，A、B之间的距离为13 km，∠A和∠B的度数分别是37°和53°，桥CD的长度是0.5 km，图中的区域CDFE近似看做一个矩形区域．
（1）求CE的长；
（2）该考察小组希望到达B营地的时间不迟于中午12点，则他们的行进速度至少是多少？（结果保留1位小数）（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
21．一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：）
（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
22．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、、，测得，，千米，求、两点间的距离．（参考数据：，，结果精确到1千米）．
23．共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图，两地向地新建，两条笔直的污水收集管道，现测得地在地北偏东方向上，在地北偏西方向上，的距离为，求新建管道的总长度．（结果精确到，，，，）
24．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cs67°≈0.39，tan67°≈2.36）
25．今年由于防控疫情，师生居家隔离线上学习，AB和CD是社区两栋邻楼的示意图，小华站在自家阳台的C点，测得对面楼顶点A的仰角为30°，地面点E的俯角为45°．点E在线段BD上．测得B，E间距离为8.7米．楼AB高12米．求小华家阳台距地面高度CD的长（结果精确到1米，1.41，1.73）
26．小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=6.5m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）
27．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东66.1°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长（结果取整数）．参考数据：sin66.1°≈0.91，cs66.1°≈0.41，tan64°≈2.26，取1.414．
特点
通过在三角形内作高AC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边AC是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCA中，AC为公共边，DC+CB=DB.
结论
“背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高
专题14 解直角三角形中的背靠背模型
【模型展示】
【题型演练】
一、单选题
1．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )
A．海里B．海里C．120海里D．60海里
【答案】B
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，先解Rt△ACD，求出AD，CD，再根据BD=CD，即可解出AB．
【详解】如图，过点C作CD⊥AB于点D，
则∠ACD=30°，∠BCD=45°，
在Rt△ACD中，AD=CA=×60=30（海里），
CD=CA·cs∠ACD=60×=（海里），
∵∠BCD=45°，∠BDC=90°，
∴在Rt△BCD中，BD=CD，
∴AB=AD+BD=AD+CD=（30+）海里，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解一般三角形的问题，一般可以转化为解直角三角形的问题，解题的关键是作高线．
2．如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（ ）
A．60mB．40mC．30mD．60m
【答案】B
【分析】作AD⊥BC于D，由俯仰角得出∠ADB、∠CAD的值，则由AD的长及俯仰角的正切值得出BD、CD的长，BC的长即可求出．
【详解】过A作AD⊥BC，垂足为D在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝30m，
∴BD＝AD•tan30°＝3010（m），在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝30m，
∴CD＝AD•tan60°＝3030（m），∴BC＝BD+CD＝103040（m），
即这栋高楼高度是40m．
故选择：B．
【点睛】本题考查俯角与仰角的定义，要求学生能借助俯角与仰角构造直角三角形并会解直角三角形．
二、填空题
3．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．
【答案】20
【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．
【详解】如图，过点A作AC⊥BD，
依题意可得∠ABC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)
∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)
在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°
∴AD=2AC=20 (海里)
故答案为：20．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
4．4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为，B处的俯角为．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是____________米．
【答案】200（+1）
【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．
【详解】∵∠CDA=∠CDB=90°，∠A=30°，∠B=45°，
∴AD=CD=200，BD=CD=200，
∴AB=AD+BD=200（+1）（米）
考点：解直角三角形的应用.
5．如图所示，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时海里的速度沿南偏西方向匀速航行，小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是______海里(结果精确到个位，参考数据：，，)
【答案】24
【分析】作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．
【详解】∠CBA=25°+50°=75°，
作BD⊥AC于点D，
则∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，
∠ABD=30°，
∴∠CBD=75°﹣30°=45°，
在直角△ABD中，BD=AB•sin∠CAB=20×sin60°=20×=10，
在直角△BCD中，∠CBD=45°，
则BC=BD=10×=10≈10×2.4=24（海里），
故答案是：24．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确求得∠CBD以及∠CAB的度数是解决本题的关键．
6．如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为__海里（精确到1海里，参考数据≈1.414，≈1.732）．
【答案】38．
【分析】作CD⊥AB于点D，再求得AB、∠ACD、∠BCD的值，然后根据锐角三角函数求出CD的长即可解答．
【详解】解：如图，作CD⊥AB于点D，
根据题意可知：
AB＝30×（10﹣8）＝60（海里），∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，
在Rt△ACD中，CD＝AD，
在Rt△CBD中，BD＝AB﹣AD＝60﹣CD，
∴tan30°＝，
即＝，
解得CD≈38（海里）．
答：轮船在航行中离小岛最近的距离约为38海里．
故答案为38．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键．
7．某拦水坝的横截面为梯形， 迎水坡的坡角为，且， 背水坡的坡度为是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，坝面宽，坝高则坝底宽__________．
【答案】
【分析】添一条辅助线，作BFCD，AE=12m，根据，可得CF的长，根据背水坡AD的坡度，可得DE的长，且AB=EF，坝底CD=DE+EF+FC，可得出答案．
【详解】解：如图所示，添一条辅助线，作BFCD，
∵，且，而，∴m，
又∵背水坡AD的坡度，∴，故DE=30m，
且，坝底，
故答案为：49m．
【点睛】本题主要考查了用正切值求边长，坡度是坡角的正切，在直角三角形中，正切值为对边∶斜边，掌握定义就不会算错．
三、解答题
8．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7）
【答案】14.0千米
【分析】首先过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x，即可表示出AC，BC的长，进而求出x的值，再利用锐角三角函数关系得出AD，BD的长，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x．
在Rt△ACD中，sin∠A＝，AC＝＝2x，
在Rt△BCD中，sin∠B＝，BC＝＝x，
∵AC+BC＝2x+x＝68，
∴x＝，
在Rt△ACD中，tan∠A＝，AD＝，
在Rt△BCD中，tan∠B＝，BD＝＝20，
AB＝20+20≈54，
AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.0（km）．
答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，准确分析计算是解题的关键．
9．已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：．
（1）如图1，若，求b的值；
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池中建一座小型景观桥（如图2所示），若米，米，，求景观桥的长度．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）过C作于点D，解直角三角形即可；
（2）由已知条件可知，求得，勾股定理求得， 解即可求得的长
【详解】（1）如图，过C作于点D
,
即

（2），，,
在中，设，则
在中，
即:
解得：（不符题意，舍）
【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
10．为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角∠ADF=45°，条幅底端E点的俯角为∠FDE=30°，DF⊥AB，若甲、乙两楼的水平距离BC为21米，求条幅的长AE约是多少米？（，结果精确到0.1米）
【答案】33.1米
【分析】根据题意及解直角三角形的应用直接列式求解即可．
【详解】解：
过点D作DF⊥AB，如图所示：
在Rt△ADF中，DF=BC=21米，∠ADF=45°
∴AF=DF=21米
在Rt△EDF中，DF=21米，∠EDF=30°
∴EF=DF×tan30°=米
∴AE=AF+BF=+21≈33.1米．
答：条幅的长AE约是33.1米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，关键是根据题意及利用三角函数求出线段的长．
11．如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房的楼顶，测量对面的乙栋楼房的高度，已知甲栋楼房与乙栋楼房的水平距离米，小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是，底部C点的俯角是，求乙栋楼房的高度（结果保留根号）．
【答案】18(+1)m
【分析】根据仰角与俯角的定义得到AB=BE=AC,再根据三角函数的定义即可求解．
【详解】如图，依题意可得∠BCA=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=CE=
∵∠DBE=30°
∴DE=BE×tan30°=18
∴的高度为CE+ED=18(+1)m．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．
12．如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条笔直的公路．点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东方向与包装公司北偏西方向的交点，住宅小区在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参考数据：，）
【答案】不会
【分析】过点P作于D，根据角的正切值表示出MD和ND的长，然后列方程求解PD的长度，从而做出判断．
【详解】解：如图，过点P作于D．
由题意得．
∴在Rt△PMD中，，即
在Rt△PND中，，即
∵，
即，
∴．
答：这条公路不会穿越这个住宅小区．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
13．如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在中，测得，，米，求河宽（即点A到边的距离）（结果精确到0.1米）．
（参考数据：，，，）
【答案】河宽约为33.6米
【分析】过A作AD⊥BC于D，并设AD=x米，则由已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到河的宽度．
【详解】解：如图，过A作AD⊥BC于D，并设AD=x米，
∵ ∠C=45°，∴∠DAC=90°-45°=45°，
∴CD=AD=x，
∵∠B=64°，
∴BD=，
∵BC=50 米，∴，
解之得：x≈33.6，
答：河宽约33.6米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义并结合方程思想求解是解题关键．
14．在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离AB为20m，求塑像的高度CF．（结果保留根号）
【答案】()米．
【分析】在和中，求出公共边的长度，然后可求得．
【详解】解：，
，
在中，
，
，
在中，
，，
，
则．
即．
．
由题意知：
答：塑像的高为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
15．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B位于A地北偏东67°方向，距离A地520 km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）参考数据：（sin67°≈；cs67°≈；tan67°≈；≈1.73）
【答案】地到地之间高铁线路的长约为．
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．
【详解】解：如解图，过点作于点，
∵地位于地北偏东方向，距离地，
∴，
∴，
．
∵地位于地南偏东方向，
∴，
∴，
∴．
答：地到地之间高铁线路的长约为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构造直角三角形．
16．某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）
【答案】这棵大树AB原来的高度约是9.2米．
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，解Rt△AED，求出DE及AE的长度，再解Rt△AEC，得出CE及AC的长，进而可得出结论．
【详解】过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90°．
∵在Rt△AED中，∠ADC＝37°，AD=5，
∴cs37°＝＝≈0.8，
∴DE≈4，
∵sin37°＝＝≈0.6，
∴AE≈3，
在Rt△AEC中，
∵∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE＝AE·tan∠CAE=AE＝，
∴AC＝2CE＝2，
∴AB＝AC+CE+ED＝2++4＝3+4≈9.2（米）．
答：这棵大树AB原来的高度约是9.2米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
17．一滑板运动场斜坡上的点处竖直立着一个旗杆，旗杆在其点处折断，旗杆顶部落在斜坡上的点处，米，折断部分与斜坡的夹角为75°，斜坡与水平地面的夹角为30°，求旗杆的高度．
（, ，精确到1米）．
【答案】旗杆的高度约为9米．
【分析】根据题意过点作于点，利用解直角三角形的方法进行分析即可求得答案．
【详解】解：过点作于点，
，，，，，
又，
，
，，，
答：旗杆的高度约为9米．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握并根据题意构造直角三角形进行分析是解题的关键．
18．一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向上．
（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD是多少海里？（结果保留根号）
（2）当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处，求轮船每小时航行多少海里？（结果保留根号）
【答案】（1）灯塔P到轮船航线的距离PD是（10+10）海里；（2）轮船每小时航行（60﹣20）海里
【分析】（1）作BC⊥AP于C，根据余弦的定义求出AC，根据等腰直角三角形的性质求出CP，得到AP的长，根据直角三角形的性质计算，得到答案；
（2）根据余弦的定义求出AD，得到BD的长，根据题意列出分式方程，解方程得到答案．
【详解】解：（1）作BC⊥AP于C，
在Rt△ABC中，∠PAB＝30°，
∴BC＝AB＝20，AC＝AB•cs∠PAB＝20，
∵∠NBP＝15°，
∴∠PBD＝75°，
∴∠CBP＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∴PC＝BC＝20，
∴AP＝AC+PC＝20+20，
在Rt△ADP中，∠A＝30°，
∴PD＝AP＝10+10，
答：灯塔P到轮船航线的距离PD是（10+10）海里；
（2）设轮船每小时航行x海里，
在Rt△ADP中，AD＝AP•csA＝10+30，
∴BD＝AD﹣AB＝10﹣10，
由题意得，＝，
解得，x＝60﹣20，
经检验，x＝60﹣20是原方程的解，
答：轮船每小时航行（60﹣20）海里．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题和分式方程的应用，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义、正确列出分式方程是解题的关键．
19．如图，在东西方向的海面线MN上，有A，B两艘巡逻船，两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号，测得渔船分别在巡逻船A，B的北偏西30°和北偏东45°方向，巡逻船A和渔船C相距120海里．（结果取整数，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
（1）求巡逻船B与渔船C间的距离；
（2）已知在A，B两艘巡逻船间有一观测点D（A，B，D在直线MN上），测得渔船C在观测点D的北偏东15°方向，观测点D的45海里范围内有暗礁．若巡逻船B沿BC方向去营救渔船C，问有没有触礁的危险？并说明理由．
【答案】（1）巡逻船B与渔船C间的距离为60海里；（2）没有触礁的危险，理由详见解析．
【分析】（1）作于，由直角三角形的性质得，，，证是等腰直角三角形，得出即可；
（2）作于，由，得出是等腰直角三角形，则海里，由，即可得出没有触礁的危险．
【详解】解：（1）作于，如图1所示：
则，，，，
，，是等腰直角三角形，
，，
答：巡逻船与渔船间的距离为海里；
（2）没有触礁的危险；理由如下：
由题意得：，
，
，
，
，
，即，
解得：，
（海里）；
作于，如图2所示：
，
是等腰直角三角形，
（海里），
，
没有触礁的危险．
【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含角直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
20．如图，某野外生态考察小组早晨7点整从A营地出发，准备前往正东方向的B营地，由于一条南北向河流的阻挡（图中阴影部分），他们需要从C处过桥．经过测量得知，A、B之间的距离为13 km，∠A和∠B的度数分别是37°和53°，桥CD的长度是0.5 km，图中的区域CDFE近似看做一个矩形区域．
（1）求CE的长；
（2）该考察小组希望到达B营地的时间不迟于中午12点，则他们的行进速度至少是多少？（结果保留1位小数）（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】（1）CE的长为；（2）他们的行进速度至少是．
【分析】（1）设，先根据矩形的性质可得，，，，再解直角三角形分别求出，，然后根据线段的和差列出等式，求解即可得；
（2）先根据题（1）的结论求出AE、BF、DF的长，再利用勾股定理分别求出AC、BD的长，然后根据速度的计算公式列出不等式，求解即可得．
【详解】（1）设
四边形CDFE是矩形
，，，
在中，，即
解得
在中，，，即
解得
又
解得
故CE的长为；
（2）由（1）可知，，，
则
设他们的行进速度为
由题意得：，即
解得
答：他们的行进速度至少是．
【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的实际应用、勾股定理等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．
21．一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：）
（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
【答案】（1）没有危险，理由见解析；（2）79.50海里
【分析】（1）过A点作于点D，在中求出AD与50海里比较即可得到答案；
（2）在中求出BD得到CD，再根据勾股定理求出AC.
【详解】解：（1）过A点作于点D，
∴，
由题意可得，
∴在中，，
∴渔船在航行过程中没有触礁的危险；
（2）在中，，
∵，
∴，
在中，，
即A，C之间的距离为79.50海里.
【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形，将已知的线段和角度放在直角三角形中，利用锐角三角函数解决问题是解题的关键.
22．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、、，测得，，千米，求、两点间的距离．（参考数据：，，结果精确到1千米）．
【答案】、两点间的距离约为11千米．
【分析】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD的长，然后根据线段的和差即可得．
【详解】如图，过点C作于点D
在中，，千米
（千米），（千米）
在中，
是等腰直角三角形
千米
（千米）
答：、两点间的距离约为11千米．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
23．共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图，两地向地新建，两条笔直的污水收集管道，现测得地在地北偏东方向上，在地北偏西方向上，的距离为，求新建管道的总长度．（结果精确到，，，，）
【答案】新建管道的总长度约为．
【分析】如图（见解析），先根据方位角的定义求出，设，则，再在中，根据等腰直角三角形的判定与性质可得AC、CD的长，然后在中，解直角三角形可得x的值，从而可得AC、BC的长，由此即可得出答案．
【详解】如图，过点C作于点D
由题意得：，
设，则
是等腰直角三角形
在中，，即
解得
经检验，是所列分式方程的解
，
在中，，即
解得
则
答：新建管道的总长度约为．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、方位角的定义、解直角三角形等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．
24．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cs67°≈0.39，tan67°≈2.36）
【答案】45.8米
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分别求出EM，AN，进而计算出2号楼的高度DF即可．
【详解】解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，
由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，
∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，
在Rt△AEM中，
∵tan∠AEM＝，
∴EM＝＝≈16.9，
在Rt△AFN中，
∵tan∠AFN＝，
∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，
∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，
答：2号楼的高度约为45.8米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题关键．
25．今年由于防控疫情，师生居家隔离线上学习，AB和CD是社区两栋邻楼的示意图，小华站在自家阳台的C点，测得对面楼顶点A的仰角为30°，地面点E的俯角为45°．点E在线段BD上．测得B，E间距离为8.7米．楼AB高12米．求小华家阳台距地面高度CD的长（结果精确到1米，1.41，1.73）
【答案】10米
【分析】作CH⊥AB于H，得到 BD=CH，设CD=x米，根据正切的定义和等腰直角三角形的性质分别用x表示出HC、ED，然后列出方程，解方程即可．
【详解】解：作CH⊥AB于H，
则四边形HBDC为矩形，
∴BD=CH，
由题意得，∠ACH=30°，∠CED=45°，
设CD=x米，则AH=米，
在Rt△AHC中，HC=
则BD=CH=
∴ED=
在Rt△CDE中，CD=DE
即
解得：
答：立柱CD的高为10米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、仰角俯角的定义是解题的关键．
26．小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=6.5m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）
【答案】标语牌CD的长为6.3m．
【详解】分析：如图作AE⊥BD于E．分别求出BE、DE，可得BD的长，再根据CD=BD-BC计算即可；
详解：如图作AE⊥BD于E．
在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，
∴BE=AB=5（m），AE=5（m），
在Rt△ADE中，DE=AE•tan42°=7.79（m），
∴BD=DE+BE=12.79（m），
∴CD=BD-BC=12.79-6.5≈6.3（m），
答：标语牌CD的长为6.3m．
点睛：本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
27．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东66.1°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长（结果取整数）．参考数据：sin66.1°≈0.91，cs66.1°≈0.41，tan64°≈2.26，取1.414．
【答案】BP的长为154海里，BA的长为158海里．
【分析】如图作PC⊥AB于C．在Rt△APC中，求出PC、AC的长，在Rt△PCB中求出PB的长，从而可解决问题．
【详解】解：如图作PC⊥AB于C．
由题意∠A=66.1°，∠B=45°，PA=120，
在Rt△APC中，sinA=，csA=，
∴PC=PA•sinA=120•sin66.1°，
AC=PA•csA=120•cs66.1°，
在Rt△PCB中，∵∠B=45°，
∴PC=BC，
∴PB=≈154．
∴AB=AC+BC=120•cs66.1°+120•sin66.1°
≈120×0.41+120×0.91
≈158．
答：BP的长为154海里和BA的长为158海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
特点
通过在三角形内作高AC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边AC是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCA中，AC为公共边，DC+CB=DB.
结论
“背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高