中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题17最值问题中的将军饮马模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题17最值问题中的将军饮马模型(原卷版+解析)，共49页。
【模型证明】
【题型演练】
一、单选题
1．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（ ）
A．4B．4.5C．5.5D．5
2．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．4B．C．D．5
3．如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（ ）
A．B．3C．2D．4
5．已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（ ）．
A．B．
C．D．
6．如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
7．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A．B．2C．2D．3
8．如图，凸四边形中，，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（ ）
A．B．C．6D．3
二、填空题
9．在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”中，如图所示，点在上，且，若为边上一动点，当的周长最小时，则的值为______．
10．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．
11．如图，等边的边长为4，点是边的中点，点是的中线上的动点，则的最小值是_____．
12．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是______．
13．如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________．
14．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′分别对应点A，B给出下列结论：
①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形；
②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为50；
③A′C﹣B′C的最大值为15；
④A′C+B′C的最小值为9．
其中正确结论的序号是______________
16．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是____________．
17．如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当 PB＋PM 的值最小时，PM的长是________．
三、解答题
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；
（2）求PD+PQ+QE的最小值．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．
(1)求直线AB的解析式；
(2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值；
(3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．
(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．
(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．
21．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2
(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
22．在中，，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
（1）如图1，当时，则_______°；
（2）当时，
①如图2，连接AD，判断的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足．P为直线CF上一动点．当的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_______，并证明．
23．已知如图，在中，点是边上一点，连接，点是上一动点，连接．
（1）如图1，当时，连接，延长交于点，求证：；
（2）如图2，以为直角边作等腰，连接，若，当点在运动过程中，求周长的最小值．
特点
传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传。
实际问题：应该怎样走才能使路程最短?
作图问题：在直线l上求作一点C,
使AC+BC最短问题.
结论
AC+BC最短
解决方案
(1)现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
AC+BC最短（两点之间线段最短）
(2)现在假设点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
所作的AC +BC最短吗？请说明理由？
【证明】
如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC +BC= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴AC +BC＜AC′+BC′．
即AC +BC 最短．
专题17 最值问题中的将军饮马模型
【模型展示】
【模型证明】
【题型演练】
一、单选题
1．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（ ）
A．4B．4.5C．5.5D．5
【答案】D
【分析】连接BE，交AC于点N'，连接DN'，N'即为所求的点，则BE的长即为DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的长即可．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
连接BE，交AC于点N'，连接DN'，
∴DN'=BN'，
DN'+EN'=BN'+ EN'BD，
则BE的长即为DP+PE的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CE=CD-DE=4-1=3，
在Rt△BCE中，
BE2=CE2+BC2=25，
∵BE＞0，
∴BE=5，
即DP+PE的最小值为5，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知识，将PE+PD的最小值转化为BE的长是解题的关键．
2．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．4B．C．D．5
【答案】D
【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
∴DN=BN，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，
∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CD=4，DM=1
∴CM=CD-DM=4-1=3，
在Rt△BCM中，BM=
故DN+MN的最小值是5．
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D关于直线AC的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键．
3．如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．由PM垂直平分线段DE，推出PD=PE，推出PC+PD=PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．
【详解】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．
∵四边形ABC都是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6，
∵S△PAB=S△PCD，
∴×4×x=××4×（6-x），
∴x=2，
∴AM=2，DM=EM=4，
在Rt△ECD中，EC==4，
∵PM垂直平分线段DE，
∴PD=PE，
∴PC+PD=PC+PE≥EC，
∴PD+PC≥4，
∴PD+PC的最小值为4．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
4．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（ ）
A．B．3C．2D．4
【答案】C
【分析】连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，此时EM＋CM的值最小，求出BE即可．
【详解】解：连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴B点与C点关于AD对称，
∴BM＝CM，
∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此时EM＋CM的值最小，
∵AC＝6，AE＝2，
∴EC＝4，
在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，
∴FC＝2，EF＝2，
在Rt△BEF中，BF＝4，
∴BE＝2，
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题的关键．
5．已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题．
【详解】解：∵点A，B在直线l的同侧，
∴作B点关于l的对称点B'，连接AB'与l的交点为P，由对称性可知BP=B'P，
∴PA+PB=PB′+PA=AB′为最小
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，掌握两点在直线同侧时，在直线上找一点到两点距离最短的方法是解题的关键．
6．如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【分析】连接AM、AC，AM交BD于P，此时PM+PC最小，连接CP，由菱形的性质可知C和A关于BD对称，AP=CP，由条件易证△ABC是等边三角形，根据三线合一可知AM⊥BC，再根据勾股定理可求AM的值，即可求解．
【详解】解：连接AM、AC，AM交BD于P，
此时PM+PC最小，连接CP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，AC⊥BD，
∴C和A关于BD对称，
∴AP=PC，
∵∠A=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
∴∠BAM=30°，
∴BM=1，
∴AM=，
∴PM+PC=AM=．
故选B．
【点睛】本题考查了将军饮马类型的求最小值问题，涉及菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确找到P的位置．
7．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A．B．2C．2D．3
【答案】A
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【详解】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
8．如图，凸四边形中，，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（ ）
A．B．C．6D．3
【答案】C
【分析】由轴对称知识作出对称点，连接两对称点，由两点之间线段最短证明最短，多次用勾股定理求出相关线段的长度，平角的定义及角的和差求出角度的大小，最后计算出的周长最小值为6．
【详解】解：作点关于、的对称点分别为点和点，
连接交和于点和点，，连接、；
再和上分别取一动点和（不同于点和，
连接，，和，如图1所示：
，
，，
，
又，
，，
，
时周长最小；
连接，过点作于的延长线于点，
如图示2所示：
在中，，，
，
，
，，
又，
，
，，
，
，
又，
，
，，
在△中，由勾股定理得：
．
，
故选：C．
【点睛】本题综合考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，平角的定义和两点之间线段最短等相关知识点，解题的关键是掌握轴对称最短路线问题，难点是构建直角三角形求两点之间的长度．
二、填空题
9．在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”中，如图所示，点在上，且，若为边上一动点，当的周长最小时，则的值为______．
【答案】
【分析】先设出矩形的边长，将AQ和CQ表示出来，再通过作对称点确定△AGQ的周长最小时的G点位置后，利用平行线分线段成比例的基本事实的推论建立等式求解即可．
【详解】解：设DC=，DQ=AD=x，
∴
∵矩形ABCD，
∴∠D=∠DCB=∠B=90°，，
∴，
如图，作Q点关于BC的对称点E，连接AE交BC于点M，
∴GQ＝GE，CQ=CE=
∴AQ+QG+AG=，
∴当A、G、E三点共线时，△AGQ的周长最小，
此时G点应位于图中的M点处；
∵矩形ABCD中，∠QCG=90°，
∴E点位于QC的延长线上，
∴CE∥AB，
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、最短路径、平行线分线段成比例的基本事实的推论等内容，解题关键是能正确找到满足题意的G点位置，同时要牢记平行线分线段成比例的推论，即平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
10．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．
【答案】3
【分析】根据“将军饮马”模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”可找到周长的最小的位置，作出图示，充分利用对称性以及，对线段长度进行等量转化即可．
【详解】
解：如图所示，过点P分别作P点关于OB、OA边的对称点、，连接、、、、，其中分别交OB、OA于点N、M，根据“两点之间线段最短”可知，此时点M、N的位置是使得周长的最小的位置．
由对称性可知：，
，
为等边三角形
的周长===3
故答案为：3
【点睛】本题是典型的的最短路径问题，考查了最短路径中的“将军饮马”模型，能够熟练利用其原理“两点之间线段最短”作出最短路径示意图是解决本题的关键．
11．如图，等边的边长为4，点是边的中点，点是的中线上的动点，则的最小值是_____．
【答案】
【分析】当连接BE，交AD于点P时，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值．
【详解】解：连接BE
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点C关于AD的对应点为点B，
∴BE就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，
∴BE是△ABC的中线，
∴CE＝AC＝2，
∴
即EP+CP的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键．
12．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是______．
【答案】10
【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，
∴BN＝ND，
∴DN＋MN＝BN＋MN，
连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，
BN＋MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，
∴BM＝＝10，
∴DN＋MN的最小值是10．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
13．如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________．
【答案】8
【分析】连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接AD，AM，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，
∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，
∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，，
∴，
∴AD=6，
∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．
14．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
【答案】80
【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．
【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，
∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，
∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，
∴NA＝NA2，MA＝MA1，
∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，
∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，
∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）
＝130°﹣50°
＝80°，
故答案为：80．
【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′分别对应点A，B给出下列结论：
①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形；
②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为50；
③A′C﹣B′C的最大值为15；
④A′C+B′C的最小值为9．
其中正确结论的序号是______________
【答案】③④
【分析】①根据平行四边形的判定定理判断即可；②作点C关于直线AA′的对称点E，交直线AA′于点T，交直线BD于点O，则CE=4OC，利用等面积法求出OC即可；③根据，当线段AB平移至B′与D点重合，即：A′，B′，C三点共线时，即可判断；④作D关于直线AA′的对称点，连接交直线AA′于点J，过点作，交CD延长线于E点，连接，交直线AA′于点A′，此时满足A′C+B′C的值最小，即为的长度，结合相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：①由平移的性质可知：，，
由矩形的性质可知：，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
当点B'与D重合时，四边形不存在，
故①错误；
②如图1所示，作点C关于直线AA′的对称点E，交直线AA′于点T，交直线BD于点O，则CE=4OC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD=90°，CD=AB=15，
∴，
∵，
∴，
∴EC=4×12=48，故②错误；
③由三角形三边关系可知：，
如图2所示，当线段AB平移至B′与D点重合，即：A′，B′，C三点共线时，，
∴最大值为15，故③正确；
④如图2所示，由①可知，，
∴，
作D关于直线AA′的对称点，连接交直线AA′于点J，
过点作，交CD延长线于E点，连接，交直线AA′于点A′，
此时满足A′C+B′C的值最小，即为的长度，
由对称的性质可知：∠AJD=90°，
由平行的性质可知：∠BDJ=180°-∠AJD=90°，
即：∠ADJ+∠ADB=90°，
∵∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠ADJ，
∴△ABD∽△JDA，
∴，
即：，
∴DJ=12，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵∠E=∠BAD=90°，
∴，
∴，
即：，
∴，，
∴，
由勾股定理：，故④正确，
故答案为：③④．
【点睛】本题考查矩形的性质，平移的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，理解并掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定与性质，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题关键．
16．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是____________．
【答案】
【分析】根据题意，过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH，则OM+ON= NH+ON= NH+ NK≥HK，当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长．根据矩形性质及图形的对称性，易知，在中，运用勾股定理求得HK的长即可．
【详解】解：过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH，
∵OH∥BC，OH=MN=2，
∴四边形OMNH是平行四边形，
∴OM=NH，
∴OM+ON= NH+ON．
∵O点关于BC的对称点是点K，
∴ON=NK，
∴OM+ON= NH+ON= NH+ NK，
∵，
∴当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长．
∵OH∥BC，O点关于BC的对称点是点K，
∴．
∵O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，O点关于BC的对称点是点K，
∴OK=AB=8．
∵OH= 2，，
∴，
∴OM+ON的最小值是．
【点睛】本题考查了最短路径问题，矩形性质，勾股定理求直角三角形的边长，其中熟练画出OM+ON取最小值时所对应的线段，是解题的关键．
17．如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当 PB＋PM 的值最小时，PM的长是________．
【答案】
【分析】如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．当D、P、M共线时， 值最小，利用勾股定理求出DM，再利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】解：如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，B、D关于AC对称，
∴PB+PM=PD+PM
当D、P、M共线时，的值最小，
∵CM=BC=2
∵∠ABC=120°，
∴∠DBC=∠ABD=60°
∴△DBC是等边三角形，
∵BC=6，
∴CM=2，HM=1，DH= ，
在Rt△DMH中，
∵CM∥AD
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称一最短问题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、平行线线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；
（2）求PD+PQ+QE的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，再根据等边三角形的判定即可得证；
（2）连接，先根据等边三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可得，同样的方法可得，从而可得，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】证明：（1）在中，，
，
点是斜边的中点，
，
是等边三角形；
（2）如图，连接，
和都是等边三角形，
，，
，
垂直平分，
，
同理可得：垂直平分，
，
，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，
故的最小值为4．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．
(1)求直线AB的解析式；
(2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值；
(3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝2x+4
(2)
(3)存在以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10）
【分析】（1）设OB＝OC＝m，由S△ABC＝12，可得B（0，4），设直线AB解析式为y＝kx＋b，利用待定系数法即可求解；
（2）将直线AB向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x−2，可得E（0，−2），垂线l2的解析式为y＝−2，由B（0，4），C（4，0），得直线BC解析式为y＝−x＋4，从而可求得D（2，2），作D关于y轴的对称点D，作D关于直线y＝−2对称点D，连接DD交y轴于P，交直线y＝−2于Q，此时PD＋PQ＋DQ的最小，根据D（−2，2），D（2，−6），得直线DD解析式为y＝−2x−2，从而P（0，−2），Q（0，−2），故此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝，PD＋PQ＋DQ的最小值为4．
（3）设P（p，2p＋4），N（0，q），而A（−2，0），D（2，2），①以AD、MN为对角线，此时AD中点即为MN中点，根据中点公式得N（0，−2）；②以AM、DN为对角线，同理可得N（0，10）；③以AN、DM为对角线，同理可得N（0，−2）．
（1）
解：（1）设OB＝OC＝m，
∵OA＝2，
∴AC＝m+2，A（﹣2，0），
∵S△ABC＝12，
∴AC•OB＝12，即m•（m+2）＝12，
解得m＝4或m＝﹣6（舍去），
∴OB＝OC＝4，
∴B（0，4），
设直线AB解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB解析式为y＝2x+4；
（2）
将直线ABy＝2x+4向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x﹣2，
令x＝0得y＝﹣2，
∴E（0，﹣2），垂线l2的解析式为y＝﹣2，
∵B（0，4），C（4，0），
设直线BC解析式为y＝px+q，
∴，
解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，
由得：，
∴D（2，2），
作D关于y轴的对称点D'，作D关于直线y＝﹣2对称点D''，连接D'D''交y轴于P，交直线y＝﹣2于Q，此时PD+PQ+DQ的最小，如图：
∴D'（﹣2，2），D''（2，﹣6），
设直线D'D''解析式为y＝sx+t，
则，解得，
∴直线D'D'解析式为y＝﹣2x﹣2，
令x＝0得y＝﹣2，即P（0，﹣2），
令y＝﹣2得x＝0，即Q（0，﹣2），
∴此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝2，
∴PD+PQ+DQ的最小值为4．
（3）
存在，理由如下：
设P（p，2p+4），N（0，q），而A（﹣2，0），D（2，2），
①以AD、MN为对角线，如图：
此时AD中点即为MN中点，
∴，解得，
∴N（0，﹣2）；
②以AM、DN为对角线，如图：
同理可得：，解得，
∴N（0，10）；
③以AN、DM为对角线，如图：
同理可得，解得，
∴N（0，﹣2），
综上所述，以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10）．
【点睛】本题考查一次函数及应用，涉及待定系数法、一次函数图象上点坐标特征、线段和的最小值、平行四边形等知识，解题的关键是应用平行四边形对角线互相平分，列方程组解决问题．
20．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．
(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．
(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．
【答案】(1)直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；
(3)∠QAC的正弦值为
【分析】（1）根据定义证明△DBA∽△ABC即可得证；
（2）根据垂直平分线的性质可得，当点与重合时，,此时最小，设，则
根据，列出方程，解方程求解即可求得，进而即可求得的长，即最小值；
（3）过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点，根据已知条件求得，进而转化为，则当点落在上时，点与点重合，此时的值最小，最小值为，进而根据求解即可．
（1）
∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC = 108°
∴∠B =∠C =（180°-∠BAC）= 36°
∵DE垂直平分AB
∴AD = BD
∴∠B =∠BAD = 36°
∴∠C =∠BAD
又∵∠B =∠B
∴△DBA∽△ABC
∴直线AD是△ABC的自相似分割线．
（2）
如图，连接，，
垂直平分AB，
当点与重合时，,此时最小，
，
设，则
解得：
PA+PC=
当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；
（3）
如图，过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点，
，
由（2）知，
平分
点落在上时，点与点重合，
即此时的值最小，最小值为
∠QAC的正弦值为
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键．
21．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2
(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)4
【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE；
（2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；
（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．
(1)
解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=8，
∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，
∴BQ=CQ=4，CE=2，
∴AB=CQ，
∵PQ=2，
∴BP=2，
∴BP=CE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP=QE；
(2)
如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6-x=2，
解得x=4，
∴BP=4；
(3)
如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，
∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，
∴PF=8，PH=8，
∴PF=PH，
又∵∠FPH=90°，
∴∠F=∠H=45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，
∴FT=TM=4，CN=CH=3，
∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．
22．在中，，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
（1）如图1，当时，则_______°；
（2）当时，
①如图2，连接AD，判断的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足．P为直线CF上一动点．当的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_______，并证明．
【答案】（1）80；（2）是等边三角形；（3）．
【分析】（1）根据垂直平分线性质可知，再结合等腰三角形性质可得，，利用平角定义和四边形内角和定理可得，由此求解即可；
（2）根据（1）的结论求出即可证明是等边三角形；
（3）根据利用对称和三角形两边之差小于第三边，找到当的值最大时的P点位置，再证明对称点与AD两点构成三角形为等边三角形，利用旋转全等模型即可证明，从而可知，再根据30°直角三角形性质可知即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点E为线段AC，CD的垂直平 分线的交点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）①结论：是等边三角形．
证明：∵在中，，，
∴，
由（1）得：，，
∴是等边三角形．
②结论：．
证明：如解图1，取D点关于直线AF的对称点，连接、；
∴，
∵，等号仅P、E、三点在一条直线上成立，
如解图2，P、E、三点在一条直线上，
由（1）得：，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∵点D、点是关于直线AF的对称点，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（SAS）
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形、等边三角形的性质和判定，全等三角形性质和判定等知识点，解题关键是利用对称将转化为三角形三边关系找到P的位置，并证明对称点与AD两点构成三角形为等边三角形．
23．已知如图，在中，点是边上一点，连接，点是上一动点，连接．
（1）如图1，当时，连接，延长交于点，求证：；
（2）如图2，以为直角边作等腰，连接，若，当点在运动过程中，求周长的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）通过证明△CEK≌△BEF及△KED≌△FED即可证明；
（2）延长CE到点P，使EP＝CE，先证明点G在过点P且与CE垂直的直线PN上运动，再作点E关于点P的对称点Q，连接BQ交PN于点G，此时△BEG的周长最小，求出此时GE+GB+BE的值即可．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠K＝∠ABE，
∵BF⊥AB，
∴∠ABF＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠EBF＝∠BFE，
∴∠K＝∠BFE，
∵BE＝CE，
∴△CEK≌△BEF（AAS），
∴CK＝BF，EK＝EF，
∵，
∴∠KED＝∠EBC，∠FED＝∠ECB，
∵BE＝CE，
∠EBC＝∠ECB，
∴∠KED＝∠FED，
∴ED＝ED，
∴△KED≌△FED（SAS），
∴DK＝DF，
（2）如图，作BN⊥BE，GN⊥BN于点N，延长NG交射线CE于点P，
则∠EBN＝∠FBG＝90°，
∴∠NBG＝∠EBF＝90°﹣∠GBE，
∵∠N＝∠BEF＝90°，BG＝BF，
∴△BNG≌△BEF（AAS），
∴BN＝BE；
∵∠EBN＝∠N＝∠BEP＝90°，
∴四边形BEPN是正方形，
∴PE＝BE＝CE，
∴当点F在CE上运动时，点G在PN上运动；
延长EP到点Q，使PQ＝PE，连接BQ交PN于点G，
∵PN垂直平分EQ，
∴点Q与点E关于直线PN对称，
∵两点之间，线段最短，
∴此时GE+GB＝GQ+GB＝BQ最小，
∵BE为定值，
∴此时GE+GB+BE最小，即△BEG的周长最小；
作DH⊥CE于点H，则∠DHE＝∠DHC＝90°，
∵∠ECB＝∠EBC＝45°，
∴∠HED＝∠ECB＝45°，
∴∠HDE＝45°＝∠HED，
∴DH＝EH，
∴DH2+EH2＝2DH2＝DE2＝，
∴DH＝EH＝1；
∴CH＝，
∴BE＝CE＝EH+CH＝1+2＝3，
∴EQ＝2PE＝2BE＝6，
∵∠BEQ＝90°，
∴BQ＝，
∴GE+GB+BE＝，
∴△BEG周长的最小值为．
【点睛】本题重点考查平行四边形的性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、以及运用轴对称的性质求线段和的最小值问题的求解等知识与方法，深入探究与挖掘题中的隐含条件并且正确地作出辅助线是解题的关键，此题综合性强，难度大，属于考试压轴题．
特点
传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传。
实际问题：应该怎样走才能使路程最短?
作图问题：在直线l上求作一点C,
使AC+BC最短问题.
结论
AC+BC最短
解决方案
(1)现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
AC+BC最短（两点之间线段最短）
(2)现在假设点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
所作的AC +BC最短吗？请说明理由？
【证明】
如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC +BC= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴AC +BC＜AC′+BC′．
即AC +BC 最短．