江西省新余市实验中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份江西省新余市实验中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题5分，共40分）
1. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式集合，再由交集定义运算．
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【点睛】本题考查集合的交集运算，确定集合中的元素是解题关键．
2. 若幂函数的图像不经过原点，则的值为（ ）
A. 2B. -3C. 3D. -3或2
【答案】A
【解析】
【分析】先根据幂函数的定义求出的值，再根据函数不过原点，确定的值.
【详解】由幂函数的定义得，
所以或.
当时，，函数的图象不过原点；
当时，，函数的图象过原点，与已知不相符.所以舍去.
故选A
【点睛】本题主要考查幂函数的定义及图象性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3. 已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定P的坐标．
【详解】令x+1＝0，解得x＝﹣1，此时f（﹣1）＝1﹣3＝﹣2．
∴点P的坐标为（﹣1，﹣2），
故选B．
【点睛】本题主要考查指数函数过定点的性质，直接让幂指数等于0即可求出定点的横坐标，比较基础．
4. 已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. .C. .D. .
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果
【详解】因为，
，
所以，
故选：A.
【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用
5. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点存在性定理，结合即可得解.
【详解】因为单调递增，且，，所以的零点所在的区间是.
【点睛】本题主要考查了零点存在性定理的应用，属于基础题.
6. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合函数的性质，可求出函数的定义域，并判断函数的正负性，可选出答案.
【详解】函数的定义域为，可排除选项C和D；
当时，；当时，，即选项A符合题意.
故选：A.
【点睛】本题考查函数的图象性质，考查学生的推理能力，考查数形结合的数学思想，属于基础题.
7. 设均为不等于的正实数，则“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
首先通过对数运算可判断出时，，得到充分条件成立；当时，可根据对数运算求出或或，得到必要条件不成立，从而可得结果.
【详解】由，可得：，则，即
可知“”是“”的充分条件
由可知，则
或
或或
可知“”是“”的不必要条件
综上所述：“”是“”的充分不必要条件
本题正确选项：
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，关键是能够通过对数运算来进行判断.
8. 已知正数a，b，满足，则的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. 16D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】将分式化简，根据“1”的妙用可求出最值.
【详解】因为，，
所以，
因为a，b均为正数，所以，也为正数，
则，
当且仅当即时，等号成立，此时的最小值为16.
故选：C.
二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分）
9. 某地一年之内12个月的月降水量分别为：46，51， 48，53，56， 53，56，64，58，56，66，71，则下列说法正确的是（ ）
A. 该地区的月降水量20%分位数为51
B. 该地区的月降水量50%分位数为53
C. 该地区的月降水量75%分位数为61
D. 该地区的月降水量80%分位数为64
【答案】ACD
【解析】
【分析】把12个月的月降水量数据从小到大排列，利用百分位数的定义求解即得.
【详解】12个月的月降水量数据从小到大排列为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64， 66，71，
由，该地区的月降水量20%分位数为51，A正确；
由，该地区的月降水量50%分位数为，B错误；
由，该地区的月降水量75%分位数为，C正确；
由，该地区的月降水量80%分位数为64，D正确.
故选：ACD
10. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用对数运算法则计算可得AB正确，根据分数指数幂运算法则可得CD错误.
【详解】对于A，由对数运算法则可得：
，所以A正确；
对于B，易知，即B正确；
对于C，因为，所以，即C错误；
对于D，易知，只有当时，才成立，即D错误；
故选：AB
11. 已知定义域为，值域为的函数满足，，．当时，，则（ ）
A.
B. 为偶函数
C. 在上单调递减
D. 不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】令，求得判断A，赋值根据偶函数定义判断B，根据单调性定义判断C，根据单调性解不等式判断D.
【详解】令，得，解得或，
因为的值域为，所以，A正确；
令，得，
则，故为奇函数，B错误；
任取，，且，则，
由题意可得，
因为，所以，
又因为的值域为，所以，，
所以，则，即，
所以在上单调递减，C正确；
不等式转化为，
根据的单调性可得，解得，D正确.
故选：ACD
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 若幂函数在上是减函数，则m=________．
【答案】
【解析】
【分析】由幂函数定义算出，由函数单调性舍去错误答案即可得.
【详解】又为幂函数，则有，解得或，
当时，，在上单调递增，不符，故舍去，
当时，，在上是减函数，符合.
故答案为：.
13. 甲和乙两射手射击同一目标，命中的概率分别为0.7和0.8，两人各射击一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中目标的概率为________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用独立事件的乘法公式分别求出“仅有一人命中目标”的概率和“两人同时命中目标”的概率，即可得出结果.
详解】根据题意可知“至少一人命中目标”包括“仅有一人命中目标”和“两人同时命中目标”两个基本事件；
可得“仅有一人命中目标”的概率为；
“两人同时命中目标”的概率为；
所以至少一人命中目标的概率为.
故答案为：
14. 函数的值域为，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】由题可知，是函数的值域的子集，利用即可解得或.
【详解】根据题意可知，函数的值域应取遍内的所有实数，
即需满足，解得或；
所以a的取值范围是.
故答案为：
四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知集合或，.
（1）若，求，；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】（1）或，
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据交集，并集，补集的概念进行求解；
（2）根据题目条件得到是的真子集，分与两种情况，得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
时，，故或，
，或，
故；
【小问2详解】
由题意得是的真子集，
若，则，解得，
若，则或，
解得，
故的取值范围是或
16. 网购是目前很流行也很实用的购物方式.某购物网站的销售商为了提升顾客购物的满意度，随机抽取100名顾客进行问卷调查，根据顾客对该购物网站评分的分数（满分：100分），按分成5组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）估计顾客对该购物网站的评分的中位数（结果保留整数）；
（2）若采用分层抽样的方法从对该购物网站的评分在和内的顾客中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人中恰有1人对该购物网站的评分在内的概率.
【答案】（1）中位数为72
（2）
【解析】
【分析】（1）根据中位数左边的直方图面积为0.5求解即可；
（2）利用列举法，结合古典概型的方法求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以顾客对该购物网站的评分的中位数在内.
设顾客对该购物网站的评分的中位数为，则，
解得，即估计顾客对该购物网站的评分的中位数为72.
【小问2详解】
由频率分布直方图可知顾客评分在和内的频率分别是和，则采用分层抽样的方法抽取的6人中，对该购物网站的评分在内的有4人，记为，对该购物网站的评分在,内的有2人，记为.
从这6人中随机抽取2人的情况有，共15种.
其中符合条件的情况有，共8种，
故所求概率.
17. 已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）求函数的值域；
（3）当时，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函数是奇函数求解即可．
（2）利用指数函数的值域以及不等式的性质求解即可．
（3）利用函数恒成立，参变分离，利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可．
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，
所以，解得，
当时，，此时，
所以时，是奇函数.
所以；
【小问2详解】
由（1）可得，
因为，可得，所以，
所以，
所以，
所以函数的值域为；
小问3详解】
由可得，
即，可得对于恒成立，
令，
则，
函数在区间单调递增，
所以，
所以，
所以实数m的取值范围为．
【点睛】求不等式恒成立问题常用分离参数法
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求最值即可.
18. 某企业生产某种电子设备的年固定成本为500（万元），每生产x台，需另投入成本（万元），当年产量不足60台时，（万元）；当年产量不小于60台时，，若每台售价为100（万元）时，该厂当年生产的该电子设备能全部销售完.
（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；
（2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
【答案】（1）；（2）年产量为70台时，该企业的设备的生产中所获得利润最大为1300（万元）
【解析】
【分析】（1）根据年利润的定义，销售收入减固定成本为500（万元）减每生产x台，投入成本（万元）求解。
（2）根据（1）的结果，求每一段的最大值，取最大的为分段函数的最大值.
【详解】（1）当时，有
当时，有，
∴；
（2）由（1）可得：当时，有，
∴时，y取得最大值为1100（万元），
当时，有（当且仅当时取等号）
即当时y取得最大值为1300（万元）
综上可得：年产量为70台时，该企业的设备的生产中所获得利润最大为1300（万元）.
【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，还考查了数学建模和解模的能力，属于中档题.
19. 已知定义在上的函数满足且，.
（1）求的解析式；
（2）若不等式恒成立，求实数取值范围；
（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据列方程，求解即可；
（2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可；
（3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可.
小问1详解】
由题意知，，
即，所以，
故
【小问2详解】
由（1）知，，
所以在上单调递增，
所以不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时，等号成立
所以，
故实数的取值范围是
【小问3详解】
因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数的取值范围是
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.