江西省上饶市广丰洋口中学2024-2025学年高一上学期十一月 数学测试题（含解析）

这是一份江西省上饶市广丰洋口中学2024-2025学年高一上学期十一月 数学测试题（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合是2和3的公倍数，是24和60的公约数，则（ ）
A．B．
C．D．
2．“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．或D．
3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
5．按复利计算利息的一种储蓄，本息和y（单位：万元）与储存时间x（单位：月）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若本金为6万元，在第26个月时本息和为24万元，则在第39个月时本息和是（ ）
A．30万元B．36万元C．48万元D．60万元
6．函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，且，则的最小值为（ ）
A．13B．16C．D．28
7．已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（ ）
A．13B．C．D．8
8．已知函数在R上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．2,4C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下面命题正确的是（ ）
A．若且，，至少有一个大于1
B．命题“若，则”的否定是“存在，则”
C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
10．函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上也有最小值
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
11．已知，且，则（ ）
A．若，则
B．若，则的最大值为
C．若，则
D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若函数为增函数，则实数的取值范围为 ．
13．化简：= .
14．已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15．（13分）已知，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
16．（15分）已知 是奇函数，且 .
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明．
17．（17分）已知定义在上函数，其中．
(1)判断函数在上的单调性，并用定义法进行证明；
(2)解不等式；
(3)设，若的定义域为时，值域为，则求正实数的取值范围．
18．（15分）已知指数函数的图象过点，函数.
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)若不等式对恒成立，求t的取值范围.
19．（17分）已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有.
(1)证明函数在上单调递增；
(2)解不等式；
(3)若对所有，，恒成立，求实数的取值范围.
高一数学参考答案
1．C
【分析】先求出集合，再利用集合的运算，即可求解.
【详解】因为是24和60的公约数，所以，
又集合是2和3的公倍数，所以，
故选：C.
2．D
【分析】求出不等式的解，逐个选项判断，即可得答案.
【详解】解，即，即，
即，解得或，
由于，均推不出或，故A，B选项不合题意；
C中条件和“”等价，不合题意，
时，一定有或成立，反之不成立，
故是“”的一个充分不必要条件，
故选：D
3．D
【分析】根据定义域满足的不等式关系，即可列不等式组求解.
【详解】由于函数的定义域为，所以的定义域需要满足：
，解得或，
故定义域为：
故选：D
4．B
【分析】利用换元法令，求解析式即可．
【详解】令，则，且，则，
可得，
所以.
故选：B.
5．C
【分析】根据题意可得，得到，再将代入即可得解.
【详解】由题意得，，即，，
所以当时，.
即第39个月时本息和是48万元.
故选：C.
6．B
【分析】由函数图像过定点得，则有，由，利用基本不等式可得最小值.
【详解】函数的图像恒过定点，
点A在直线上，有，又，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为16.
故选：B.
7．C
【分析】先得出，再由基本不等式得出答案.
【详解】当时，，即
因为在直线上，所以
当且仅当时，取等号，即的最小值为.
故选：C
8．B
【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合二次函数及对数函数单调性列出不等式组，求解即得.
【详解】由函数在R上单调递增，得，解得，
所以的取值范围是2,4.
故选：B
9．ABD
【分析】根据命题的否定和充分条件必要条件判断即可．
【详解】A选项：该命题的否定为：若且，则，都不大于1，
即，，则，所以该命题的否定为假命题，原命题为真命题，故A正确；
B选项：命题“若，则”的否定为“存在，则”，故B正确；
C选项：则，，则，，则成立，满足充分性，
故C错；
D选项：当时，不一定不等于零，当时，一定不等于零，
所以“”是”的必要不充分条件，故D正确．
故选：ABD．
10．AD
【分析】根据奇函数的定义并取特值即可判定A；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得在上有最大值，进而判定B；
利用奇函数的单调性性质判定C；利用奇函数的定义根据时的解析式求得时的解析式，进而判定D.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，故，A正确；
当时，，且存在使得，
则时，，，且当有，
在上有最大值为，故B不正确；
若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，
则在上为增函数，故C错误；
若时，，
则时，，，故D正确.
故选：AD
11．ACD
【分析】选项A，根据条件得到，利用的性质，即可求解；选项B，根据条件，利用基本不等式，即可求解；选项C，根据条件，得到，从而有，得到，即可求解；选项D，利用，得，即可求解.
【详解】对于选项A，由得，，又，可得，
所以，又，所以，故选项A正确；
对于选项B，易知，，所以，当且仅当时取等号，所以选项B错误；
对于选项C，由选项A知，所以，得到，
所以，所以，整理得，所以选项C正确；
对于选项D，由得到，，得，所以选项D正确.
故选：ACD.
12．
【分析】由分段函数的表达式中二次函数的单调性，对勾函数的单调性以及分段函数的函数值间关系解不等式组即可；
【详解】当时，由飘带函数的特性可知在恒增，
所以，解得；
当时，由对勾函数的特性可知在上单调递增，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：.
13．1
【分析】根据指数幂的运算法则计算即可.
【详解】解:由题意可知，
所以.
故答案为：1
14．
【分析】首先分析函数的奇偶性和单调性，再将不等式转化为，再将不等式，转化为，利用基本不等式求最值，即可求解.
【详解】因为的定义域为，
，
所以为奇函数.因为函数在上单调递增，
函数在上单调递增，
所以在上单调递增.
因为为R上的奇函数，所以在上单调递增，
因为，所以不等式即为，则.
因为，所以，即.
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数奇偶性和单调性，利用函数的单调性，解抽象不等式.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由子集定义得，解该不等式组即可得解.
（2）先由题意得，分和两种情况分析计算即可得解.
【详解】（1）因为，所以，故.
（2）若，则.
当即时，，符合题意.
当时，要使，则，无解.
综上，若，则实数的取值范围为.
16．(1)；
(2)在上单调递增，证明见解析.
【分析】（1）由奇函数有，进而得到恒等关系求b，由已知求参数a；
（2）利用函数单调性定义证明函数单调性即可.
【详解】（1）因为为奇函数，所以，即 恒成立，解得，
又，所以 ，所以.
（2）由（1），知，在上单调递增．
证明如下：
设，则
= .
由，则.
所以，即，故在上单调递增．
17．(1)在上单调递增；证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据单调性的定义法证明即可；
（2）根据单调性得到不等式组，求解即可；
（3）根据值域得到有关的一元二次函数方程，根据根的情况得到不等式组，求解即可.
【详解】（1）在0,+∞上单调递增；
证明：，且，
，
∵，，∴，，
∴，即，
∴在0,+∞上单调递增；
（2）∵在0,+∞上单调递增，，
∴，则解得，
∴；
（3）由（1）可知，在上单调递增，
又∵在上的值域为，
∴，
∴方程有两个实根，，即方程有两个不相等的正实根，
∴，∴．
18．(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据指数函数的定义及函数图象所过点求解；
（2）利用函数单调性的定义证明即可；
（3）根据函数单调性转化为恒成立，分离参数得解.
【详解】（1）设（，且），由，得，
所以.
（2）在上单调递增.
证明如下：
由题意得.
，，且，
则
.
由，得，，则，.
所以，即，
故在上单调递增.
（3）由题意得，所以是偶函数.
由，得，
易得，，
因为在上单调递增，
所以由，得.
当时，恒成立；
当时，.
因为，所以，
得，即t的取值范围为.
19．(1)证明见解析
(2)不等式的解集为
(3)实数的取值范围
【分析】（1）设且，再利用函数的奇偶性和已知的条件，结合单调性定义即可证得结论；
（2）利用函数的单调性解不等式即可得解；
（3）将已知变形为恒成立，设,对，恒成立，即,解不等式组求得的取值范围.
【详解】（1）且，
则，
因为，，
由已知可得，，
所以，所以，
所以函数在上单调递增；
（2）因为，又在上为增函数，
所以，解得，
所以不等式的解集为；
（3）由在上为增函数，所以，，
所以对所有，，恒成立，
等价于对任意恒成立，
设，对，恒成立，
所以，解得，
所以或或，
所以实数的取值范围.
【点睛】方法点睛：二次函数的“轴动区间定”求参数范围问题，可转化为关于参数的一次函数问题，借用一次函数的图象和性质去分析问题更简便.