江西省上饶市第二中学2024−2025学年高一上学期十月测试 数学试题（含解析）

这是一份江西省上饶市第二中学2024−2025学年高一上学期十月测试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为
5．下列各图中,可表示函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，则（ ）
A．B．C．0D．1
7．若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在R上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．对于实数，下列命题为假命题的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若则
D．若，则
10．已知函数，则（ ）
A．的定义域是B．在上单调递减
C．是奇函数D．的值域是
11．已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．不等式的解集
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知不等式对任意恒成立，则正实数a的取值范围是 .
13．如图，是某个函数的图象，则该函数的解析式 ；
14．幂函数在上是单调递减函数，则的值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设集合，．
(1)当时，求与；
(2)当时，求实数的取值范围．
16．（1）设，证明：的充要条件是.
（2）已知都是正实数，且，试比较与的大小，并证明.
17．给定函数，，．
(1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式的解；
(3)，用表示，中的较大者，记为．例如，当时，．请分别用图象法和解析法表示函数．
18．已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，．
(1)求的值，并证明：当时，；
(2)判断的单调性，并证明你的结论；
(3)若，求不等式的解集.
19．已知函数.
(1)证明：函数是奇函数；
(2)用定义证明：函数在上是单调递增函数；
(3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据题意，利用集合并集的概念与运算，即可求解.
【详解】由集合，，
根据集合并集的概念及运算，可得.
故选B.
2．【答案】A
【分析】根据集合的包含关系即可判断.
【详解】因为，
所以是的充分不必要条件.
故选A.
3．【答案】C
【分析】用特殊值验证A是错误的；根据不等式的性质证明B是错误的；利用作差法验证CD是否正确.
【详解】对于A：例如，时，，但，故A错误；
对于B：若，则，故B错误；
对于C：，
，，，，
，，故C正确．
对于D：，
，，，
，，故D错误．
故选C.
4．【答案】D
【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项即可求解．
【详解】对于A：由已知可得开口向下，即，故A错误；
对于BCD：可知是方程的两个根，
所以，
所以，，
，故BC错误，D正确；
故选D．
5．【答案】D
【分析】根据题意，由函数的定义可知，每一个值对应唯一的值，分析所给图象的对应关系，可得出正确答案.
【详解】根据题意，一个变化过程中有两个变量，如果给定一个值，则有确定的唯一的值与之对应，则称是的函数，选项A,B,C均不符合一个值对应唯一的值.
故选D.
6．【答案】B
【分析】根据分段函数定义计算即可.
【详解】.
故选B.
7．【答案】C
【分析】根据“函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】由题意可知的定义域为，
又因为函数是“函数”，故其值域为；
而，则值域为；
当时，，
当时，，此时函数在上单调递增，则，
故由函数是“函数”可得，
解得，即实数的取值范围是.
故选C.
8．【答案】A
【分析】由题可得图象关于对称，且在上单调递减，据此可得答案.
【详解】令，则，因为，
则，则图象关于对称；
又对任意，都有，
则在上单调递减，又图象关于对称，
则在上单调递增，在上单调递减.
.
故选A.
9．【答案】ABD
【分析】利用特殊值可判断AB均为假命题；由作差法以及不等式性质可得C为真命题，D为假命题.
【详解】对于A：不妨取，则，即A为假命题；
对于B：若，当时，满足，即B为假命题；
对于C：由可得，易知，
所以，可得C为真命题；
对于D：由可得，
所以，因为的符号不确定，所以不一定正确，即D为假命题.
故选ABD.
10．【答案】ACD
【分析】对于A，求出函数的定义域判断；对于B，由反比例函数单调性判断；对于C，求出的解析式判断；对于D，由函数解析式求值域判断.
【详解】对于A：由，得，所以的定义域为，故A正确；
对于B：因为可以看成是函数向右平移1个单位得到，
所以在和上单调递减，故B错误；
对于C：因为，所以是奇函数，故C正确；
对于D：因为，所以的值域为，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】BCD
【分析】由二次函数图象可得，，，代入即可得A，B，C；D选项中可转化为，解出即可得.
【详解】由图象可知，该二次函数开口向上，故，
与轴的交点为，，
故，
即，，
对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：可化为，即，
即，其解集为，故D正确.
故选BCD.
12．【答案】
【分析】根据给定不等式分离参数，再利用基本不等式求出最大值即可.
【详解】依题意，对任意，不等式恒成立，
当时，，当且仅当时取等号，
所以，所以正实数a的取值范围是.
13．【答案】
【分析】根据分段函数图象，用待定系数法求解即可.
【详解】当时，设函数为，当时，解得；
当时，设函数为，
当时，时，解得，.
所以.
14．【答案】
【分析】由幂函数及其单调性即可求解.
【详解】由题意可得，解得,
所以.
15．【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）求出集合，当时，写出集合，利用交集和并集的定义可得出集合，；
（2）分，两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
又因为，
所以，.
（2）因为，分以下两种情况讨论：
当时，，解得；
当时，由可得，解得.
综上所述，实数的取值范围是或.
16．【答案】（1）证明见详解
（2），证明见详解
【分析】（1）分别证明充分性与必要性即可；
（2）利用作差法比较大小即可比较与的大小.
【详解】（1）证明：充分性：如果，
那么，
，
.
必要性：如果，
那么，
，
，，，
.
综上知，的充要条件是.
(2)证明：由
，
都是正实数，且，
即.
17．【答案】(1)图象见详解
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数，的解析式即可作出图象；
（2）（3）结合图象即可求得答案；
【详解】（1）画出函数，的图象如图：
（2）观察图象，可得不等式的解为；
（3）结合（1）可用图象法表示如图：
由可得或，
故.
18．【答案】(1)，证明见详解
(2)在上单调递减，证明见详解
(3)答案见详解
【分析】（1）利用赋值法求得，再利用反比例函数的性质得到，结合赋值法即可证得结论；
（2）利用赋值法与作差法，结合函数单调性的定义即可得证；
（3）利用的单调性可得，分类讨论可求不等式的解集.
【详解】（1）因为，都有，
所以令，得，则，
证明：因为时，，
所以当时，，则，
令，得，
所以，证毕.
（2）在上单调递减，证明如下：
不妨设，则，，
令，
则，所以，
即，所以在上单调递减；
（3）由，得，
又，所以，
由（2）知在上单调递减，
所以，所以，
所以，
当时，不等式为，所以不等式的解集为；
当时，不等式为，所以不等式的解集为；
当时，不等式为.
若时，则，所以不等式的解集为；
若时，则，所以不等式的解集为；
若时，则，所以不等式的解集为.
综上所述：时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为.
【思路导引】
1.对抽象函数求函数值的题型，主要是赋值法，
2.解含参数的不等式，通常是对参数分类讨论求得不等式的解集.
19．【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可得证；
（2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证；
（3）根据题意，得到函数为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为对于任意实数恒成立，分和，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数为定义域上的奇函数.
（2）证明：当时，，
任取，且，
可得
，
因为，且，可得，，
所以，即，
所以函数在上是单调递增函数.
（3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是单调递增函数，
所以函数在上也是单调递增函数，
又因为，所以函数在上是单调递增函数，
又由，可得，
因为不等式对于任意实数恒成立，
即不等式对于任意实数恒成立，
可得不等式对于任意实数恒成立，
即不等式对于任意实数恒成立，
当时，不等式即为恒成立，符合题意；
当时，则满足，解得，
综上可得，即实数的取值范围.