湖北省十堰市丹江口市第二中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试卷（含解析）

这是一份湖北省十堰市丹江口市第二中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了 函数的图象大致为， 式子， 已知，则的值为， 下列说法正确的是， 已知，，则等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解分式不等式求对应参数范围，结合充分、必要性定义判断条件间的关系.
【详解】由，则，
所以“”是“”必要不充分条件.
故选：B
2. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数的定义可求代数式的值.
【详解】因为终边过点，故，所以，
故选：B.
3. 若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指对数函数及正弦函数的性质判断大小关系即可.
【详解】由，即.
故选：A
4. 若一个扇形的弧长为4，面积为2，则这个扇形中心角的弧度数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用扇形的弧长及面积公式列方程求中心角弧度.
【详解】令扇形中心角为，半径为，则，可得.
故选：D
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值的大小可求得结果.
【详解】函数定义域为，关于原点对称，
因为，
则为奇函数，图象关于原点对称，排除A和B两个选项，
当时，，，则，
即当时，函数值，选项D符合题意.
故选：D.
6. 式子（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及换底公式计算即得.
详解】
.
故选：C.
7. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】∵
又∵
∴
故选C
8. 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC､直角边AB､AC，已知以直角边AC､AB为直径的半圆的面积之比为，记，则的值为（ ）
A. -1B. -2C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由圆的面积公式及半圆面积比可得，即有，将目标式由弦化切求值即可.
【详解】以直角边AC，AB为直径半圆的面积分别为：，，
由面积之比为，得：，即，
在中，，则，
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“，都有”的否定为“，使得”
B. 函数的定义域是
C. 函数（，且）的图象经过定点
D. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当时
【答案】ABD
【解析】
【分析】由全称命题的否定为特称命题写出命题的否定判断A；由分式、对数的性质求函数定义域判断B；根据指数的性质求函数所过的定点判断C；应用偶函数性质求函数解析式判断D.
【详解】A：由全称命题的否定为特称命题，则“，都有”的否定为“，使得”，对；
B：由解析式有或，故函数定义域为，对；
C：由，故函数的图象必过定点，错；
D：若，则，故，
又，所以，对.
故选：ABD
10. 已知，，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用平方关系求得的值，再结合诱导公式、商数关系逐项化简判断即可.
【详解】因为，，所以，
则，，
，，则A，C正确，B，D错误.
故选：AC.
11. 若、均为正实数，满足，则以下结论中正确的有（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断A选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断B选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项.
【详解】因为正实数、满足，
又因为，即，当且仅当时等号成立，
，故的最大值为，故A正确；
因为，
当且仅当 且 ，即时等号成立，故B错误；
因为，所以，
，
当且仅当且 ，即，时，等号成立，
又实数，，可知等号不成立，故C错误；
因为，
当，时，的最小值为，故D正确.
故选：AD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若幂函数在上单调递减，则实数________．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的性质及区间单调性列方程、不等式求参数值.
【详解】由题意.
故答案为：
13. 已知是钝角，，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据同角三角函数的关系得，应用诱导公式化简求值即可.
【详解】由是钝角，，则，
所以.
故答案为：
14. 已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是________．
【答案】或
【解析】
【分析】问题化为与恰有两个交点，根据分段函数解析式及二次函数、对数函数性质画出大致图象，数形结合确定参数范围.
【详解】函数恰有2个零点，即与恰有两个交点，
由函数解析式，可得其大致图象如下，
如上图，当或时，与恰有两个交点.
故答案为：或
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，．
（1）求；
（2）设集合，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求解指数不等式求集合，再由交运算求集合；
（2）集合并运算求集合，再由包含关系并讨论、列不等式求参数范围.
【小问1详解】
因为，所以，
因为，所以.
【小问2详解】
由，
当时，，解得，此时，
当时，要使，则，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
16. 化简求值：
（1）计算：；
（2）计算：．
（3）．
【答案】（1）0 （2）5
（3）1
【解析】
【分析】（1）先将带分数化为假分数，再根据指数运算法则计算即可；
（2）根据对数的运算法则可求得结果；
（3）根据诱导公式化简.
【小问1详解】
原式
；
【小问2详解】
原式
；
【小问3详解】
原式
.
17. 设函数，．，用表示，中的最大者，记为．已知关于的不等式的解集为．
（1）求实数，的值，并写出的解析式；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集求参数值，进而有，再由的定义求解析式；
（2）求出的最小值，根据不等式恒成立及对数函数的单调性列不等式求参数范围.
【小问1详解】
因为的解集为，所以是方程的两个根，
由根与系数的关系得，解得，所以，
由，得，即，解得或，
由，得，即，解得，
所以.
【小问2详解】
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述，的最小值为0，所以，
即，
所以，解得，或，
所以的取值范围是.
18. 已知．
（1）化简；
（2）若是第三象限角，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用同角三角函数的平方关系可得，然后结合诱导公式可解.
【小问1详解】
．
【小问2详解】
因为，，所以，
又因为是第三象限角，所以为第三象限角，
所以，
故．
19. 已知.
（1）化简，并求；
（2）若，求的值；
（3）求函数的值域.
【答案】（1），；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由诱导公式化简可得，进而可得；
（2）由平方关系和商数关系可转化条件为，即可得解；
（3）转化条件为，结合二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）由题意可得，
故；
（2）∵，
故
；
（3）因为，
所以，
因为，
所以当时，，当时，
所以的值域为.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用诱导公式、同角三角函数的关系对原式进行合理变形.