湖北省丹江口市第二中学2025_2026学年高二上学期开学考试数学试卷[含解析]

这是一份湖北省丹江口市第二中学2025_2026学年高二上学期开学考试数学试卷[含解析]，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由并集的运算直接求解．
【详解】因为，，则．
故选：A．
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由复数的除法运算化简得，再结合复数的概念与几何意义即可得答案.
【详解】复数，
在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A. 1B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标运算即可求解.
【详解】因为，，，
所以，则.
故选：B
4. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式与两角差的余弦公式即可求解.
【详解】
.
故选：A.
5. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间线面位置关系依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，若，，则或异面，故A选项错误；
对于B选项，若，，则，故B选项正确；
对于C选项，若，，则或或相交，故C选项错误；
对于D选项，若，，则或，故D选项错误；
故选：B
6. 已知为单位向量，且，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由求出，再利用向量的夹角公式可求得结果.
【详解】因为为单位向量，且，
所以，得，
所以，
因为，所以.
故选：C
7. 在三棱柱中，平面．若所有的棱长都是2，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可知，即为所求或所求角的补角，利用余弦定理即可求得结果.
【详解】如图，连接，∵//，
∴就是异面直线与所成的角．
在中，,,
∴．∴．
∴异面直线与所成的角的正弦值为．
故选：A．
【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，涉及余弦定理，属综合基础题.
8. 如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（ ）

A. 8B. 12C. 32D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可.
【详解】因为，所以，因为，所以，
因为三点共线，所以，，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值是32.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知，，则（）
A. B. 的共轭复数是
C. 的虚部是D. 是纯虚数
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据复数的加法运算及复数的模的计算公式求解即可；对于B，根据复数的减法运算及费轭复数的概念即可求解；对于C，根据复数的乘法运算即可求出，连而可求虚部；对于D，根据复数的除法运算即可求出，进而判断是不是纯虚数.
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B，，的共轭复数为，故B错误；
对于C，，的虚部为3，故C正确；
对于D，，故为纯虚数，故D正确.
故选：ACD
10. 已知向量，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 向量与夹角是D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，再由平面向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为向量，，则，
且，则，解得，故A错误；
因为，，则，故B正确；
因为，则，故C正确；
因为，则，故D正确；
故选：BCD
11. 如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列判断正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积是定值
B. 过，，三点的平面截正方体所得的截面是六边形
C. 存在唯一的点，使得
D. 与平面所成的角为定值
【答案】AC
【解析】
【分析】利用，结合的面积为定值，点到平面的距离为定值，可判断A；平面的基本性质作出面与的交点，利用正方体的性质及线线平行、线面平行、中位线性质判断B；当为中点时，可得，进而判断C；到平面的距离一定，而长度随运动会变化，结合线面角定义判断D.
【详解】因为是线段上的动点，而且，
所以的面积为定值，又点到平面的距离为定值，
，所以三棱锥的体积是定值，A正确；
过作分别交，的延长线于，，连接，，如图，
为，的交点，为，的交点，所以截面为五边形，B错误；
在上运动，当时，，而中点，
所以当为中点时，，故存在唯一的点使得，C正确；
由，平面，平面，则平面，
所以到平面的距离一定，而长度随运动会变化，
故与平面所成的角不为定值，D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题A选项解决的关键在于，利用线线平行得到点到的面积为定值，从而得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，若为纯虚数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据为纯虚数求出的值，再根据复数的模长公式求解即可.
【详解】因为为纯虚数，则，则.
.
故答案为：.
13. 已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意，分别计算出向量与的模及两者的数量积，代入公式即可求得两向量夹角的余弦，从而得出两向量的夹角．
【详解】，同理，
，，
由向量夹角的范围为，所以向量与的夹角为.
故答案为：
14. 如图，在三棱锥V-ABC中，，，，，且，，则二面角V-AB-C的余弦值是_________________
【答案】##
【解析】
【分析】取的中点，连接、，证明出，，可得出二面角的平面角为，计算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值.
【详解】取的中点，连接、，如下图所示：
，为中点，则，且，，，
因为，为的中点，可得，又因为所以，
则二面角的平面角为，
由余弦定理得，
因此，二面角的余弦值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设复数．
（1）若是实数，求；
（2）若是纯虚数，求．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得.
（2）利用复数除法及复数的分类求出即得.
【小问1详解】
由，得，而是实数，
于是，解得，
所以．
小问2详解】
依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以．
16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）连接，交于点，连接，即可证明，从而得证；
（2）依题意可得，再由线面垂直的性质得到，从而得到平面，证得，即可得证.
【小问1详解】

连接，交于点，连接，
∵是正方形对角线交点，∴为的中点，
由已知为线段的中点，∴，
又平面，平面，
∴平面；
【小问2详解】
，为线段的中点，，
∵平面，平面，，
在正方形中，，又，平面，
平面，又平面，
，又，平面，
平面；
17. 已知函数f（x）＝sinxcsxcs2x+1
（1）求f（x）最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x的集合；
（2）将f（x）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g（x）是偶函数，求φ的最小值.
【答案】（1）最小正周期为Tπ，f（x）取得最大值为2，此时x的集合为{x|x＝kπ，k∈Z}.（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）＝sin（2x）+1，由此可得最小正周期及最大值，由当且仅当2x2kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值，解出x的集合；
（2）通过平移变换可得g（x）=sin（2x+2φ）+1，若函数g（x）是偶函数，运用三角函数的诱导公式，令，k∈Z即可，从而得到φ的最小值．
【详解】（1）f（x）＝sinxcsxcs2x+1sin2xcs2x+1＝sin（2x）+1，
所以函数f（x）的最小正周期为Tπ，
当且仅当2x2kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值为2，
此时x的集合为{x|x＝kπ，k∈Z}.
（2）g（x）＝f（x+φ）＝sin（2x+2φ）+1，
因为g（x）是偶函数，
所以2φkπ，k∈Z，即φkπ，k∈Z，
所以φ的最小值为.
【点睛】本题主要考查了利用公式化简三角函数，求三角函数的周期、最值、极值点和三角函数的图像和性质等，需要特别注意集合的书写规范，属于基础题.
18. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
（1）求B；
（2）若的面积为，求c．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；
（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.
【小问1详解】
由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
【小问2详解】
由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知面积为，可得，
所以.
19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得.
（2）利用等体积法求出点到平面的距离.
【小问1详解】
由底面为正方形，得，又平面，
于是平面，而平面，则，同理，
又平面，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）得，点为的中点，在中，，点为的中点，同理，
在中，，因此，
在直角中，，
由（1）知平面，则平面，于是点到平面的距离为
设点到平面的距离为，由，得，解得，
所以点到平面的距离为.