湖南省常德市津市市第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份湖南省常德市津市市第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．的值等于（ ）
A．B．C．D．
3．若函数与的图象的任意连续三个交点均构成钝角三角形，则正实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
4．已知，则取得最小值时的的值为（ ）
A．B．C．D．
5．为了得到函数的图象，只需将图象上所有点（ ）
A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
B．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度
C．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位长度
D．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度
6．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃，满足：)若常数，空气温度为℃，某物体的温度从℃下降到℃，大约需要的时间为（ ）（参考数据：）
A．39分钟B．41分钟C．43分钟D．45分钟
7．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
8．设，，，则（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题
9．可以作为的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在上无最大值
B．的图象的两条对称轴之间的最小距离为
C．
D．的图象关于点对称
11．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”，其中为实数集，为有理数集.则关于函数有如下四个命题，其中真命题是（ ）
A．
B．任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立
C．，，恒成立
D．不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形
三、填空题
12．若幂函数在上单调递增，则 ．
13．若，则 ．
14．在算式“”的两个中，分别填入两个正整数，使它们的倒数之和最小，则这两个数构成的数对应为
四、解答题
15．已知函数．
(1)求的最小正周期和图象的对称中心；
(2)当时，函数的最大值为11，最小值为3，求实数的值．
16．已知集合，．
(1)当时，求集合；
(2)当时，求实数的取值范围．
17．（1）已知，且，求；
（2）已知函数，若，求的值域.
18．如图所示，为积极开展“最美怀化”建设，我市某校中学现拟在边长为0.6千米的正方形地块上划出一片三角形地块建设小型生态园，点分别在边上.
（1）当点分别是边中点和靠近的三等分点时，求的正切值；
（2）实地勘察后发现，由于地形等原因，的周长必须为1.2千米，请研究是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由.
19．联合国教科文组织规定：一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的以上（含），该国家或地区就进入了老龄化社会，结合统计数据发现，某地区人口数在一段时间内可近似表示为（万），60岁以上的人口数可近似表示为（万）（x为年份，W，k为常数），根据第六次全国人口普查公报，2010年该地区人口共计105万．
(1)求W的值，判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万，并说明理由；
(2)已知该地区2013年恰好进入老龄化社会，请预测2040年该地区60岁以上人口数（精确到1万）．
参考数据：．
《湖南省常德市津市第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题》参考答案
1．B
【分析】通过画图即可直接判断.
【详解】因为函数与函数的图象有1个交点，
所以中有1个元素.
故选：B.
2．A
【分析】由即可求得.
【详解】.
故选：A.
【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式的应用，属基础题.
3．B
【分析】首先确定组成的三角形为等腰三角形，结合钝角三角形的限制条件可得答案.
【详解】如图，作出函数和的图象，

不妨以图中为研究对象，由对称性可得是以C为顶角的等腰三角形，
过C点作于M，则，得，
由，得，则，
所以，
要使为钝角三角形，只需即可，
由，整理得．
故选：B.
4．D
【分析】由题意，根据可得，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】由，得，
，
当且仅当即即时，等号成立.
故选：D
5．D
【分析】首先将函数化成正弦型函数，再通过伸缩变换和平移变换求解即可.
【详解】由诱导公式可得，，
对于选项A：通过伸缩变换以及平移变换得，，
故A错误；
对于选项B：通过伸缩变换以及平移变换得，，
故B错误；
对于选项C：通过伸缩变换以及平移变换得，，
故C错误；
对于选项D：通过伸缩变换以及平移变换得，，
故D正确.
故选：D.
6．B
【分析】将已知数据代入模型，解之可得答案.
【详解】由题知，，，
，
，
，
，
.
故选：B.
7．B
【分析】判断每一个函数的奇偶性和单调性得解.
【详解】A. ,是奇函数不是偶函数，所以该选项错误；
B. ,所以函数是偶函数，由于函数在区间上是增函数，所以函数在区间上单调递增，所以该选项是正确的；
C. 不是偶函数，所以该选项是错误的；
D. ，所以函数是偶函数，由于函数在区间上是增函数，在上是减函数，所以函数在上是减函数，所以该选项错误.
故选B
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．A
【分析】根据函数单调性分别比较与0,1的大小关系得到答案.
【详解】，，，故
故选
【点睛】本题考查数值的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的应用.
9．AC
【分析】先解不等式，然后判断充分不必要条件.
【详解】，
，
，解得或.
所以可以作为的一个充分不必要条件是或.
故选：AC
10．BC
【分析】由正弦型函数的图象与性质逐项判断即可.
【详解】选项A：由，得，当，即时，取得最大值2024，A错误．
选项B：设的最小正周期为，则的图象的两条对称轴之间的最小距离为，B正确．
选项C：，，因为，且在上单调递减，所以，所以，C正确．
选项D：令，解得，令，解得，矛盾，所以的图象不关于点对称，D错误．（另解：因为，所以的图象不关于点对称）
故选：BC
11．ABD
【分析】直接由解析式计算可判断A；分和两种情况讨论可判断B；举反例取，，可判断C；分中有两个是有理数，一个是无理数或者两个是无理数，一个是有理数讨论，每种情况再分角为直角三种情况讨论可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A，，所以，故选项A正确；
对于B，任取一个不为零的有理数，若，则，满足；若，则，满足，故选项B正确；
对于C，取，，则，而，所以，故选项C错误；
对于D，当均为有理数或均为无理数时，三点在一条直线上，不能构成三角形，所以中有两个是有理数，一个是无理数或者两个是无理数，一个是有理数，不妨设是有理数，是无理数，则，，，因为为等腰直角三角形，所以若角是直角，则，与是无理数矛盾，若角是直角，则，与是无理数矛盾，若角是直角，因为，所以，与是无理数矛盾，所以此时不可能为等腰直角三角形，当中有两个无理数一个是有理数时，不妨设是无理数，是有理数，则，，，因为为等腰直角三角形，所以若角是直角，则，与是有理数矛盾，若角是直角，则，与是有理数矛盾，若角是直角，因为，所以，且是有理数，只能是两个互为相反数的无理数，即，即，又因为为等腰直角三角形，所以，，或，与是无理数矛盾，所以不可能为等腰直角三角形，综上所述：不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D正确；
故选：ABD.
12．
【解析】利用幂函数的定义求出或，再利用单调性检验即可.
【详解】因为是幂函数，
所以，
解得或，
时在上单调递减，不合题意；
时在上单调递增，符合题意，
所以，
故答案为：.
13．
【分析】首先将弦化切，求出，再利用二倍角余弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；
【详解】解：因为，所以，解得，
所以
故答案为：
14．
【分析】
根据题意，设中填入的正整数分别为、，则有，进而有它们的倒数和为，由基本不等式的性质分析可得当且仅当时取得最小值，此时有且，解可得、的值，即可得答案．
【详解】
设中填入的正整数分别为、，则有，它们的倒数和为，
则有，
当且仅当时等号成立，此时且，
解可得，，
则两个数构成的数对应为；
故答案为：
15．(1)，对称中心是
(2)或
【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形可得，然后利用周期公式可求出周期，由可求出对称中心的横坐标，从而可求出对称中心，
（2）求得，，得，然后分和两种情况讨论可求得结果.
【详解】（1）函数
，
所以的最小正周期．
由得，
所以函数的对称中心是．
（2），
由，得，
则．
当时，的最大值为，最小值为，
所以解得
当时，的最大值为，最小值为，
所以解得
综上所述，或．
16．(1)或
(2)
【分析】（1）直接解一元二次不等式结合补集的概念即可得解.
（2）由题意得，由此即可得解.
【详解】（1）由题意当时，，
所以或.
（2）由题意，
而方程的两根分别为，
因为，所以，
若时，则，
解不等式组得，所以实数的取值范围为.
17．（1）；（2）
【分析】（1）利用诱导公式及对数的性质求出，再利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用诱导公式化简，即可得解;
（2）根据的范围求出的取值范围，即可求出的取值范围，从而得到的值域.
【详解】解：（1）
，，
，，
，，
（2）且，
，，
故函数的值域为.
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，及正弦型函数的值域，属于基础题.
18．（1）1；（2）是，.
【分析】（1）依题意可得，再利用两角和的正切公式求出，即可得解；
（2）设，在利用勾股定理即可得到，在由锐角三角函数表示，，利用两角和的正切公式得到，即可得证；
【详解】（1）由题意可知，
所以，
由题意可知，所以，
所以.故.
（2）设，所以
在直角三角形中，
所以，
整理得
因为，
所以
将代入上式可得，
所以，
所以为定值.
19．(1)142；不可能突破，理由见解析；
(2)20万.
【分析】(1)根据所给的公式，将有关数据代入计算即可；
(2)利用公式 将年份代入计算即可.
【详解】（1）年该地区人口共计105万，
，，
，
， ，
未来该地区的人口总数不可能突破142万；
（2）该地区2013年恰好进入老龄化社会，
，
，
， 万
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
D
D
B
B
A
AC
BC
题号
11









答案
ABD