河北省衡水市武强县衡水街关中学2024-2025学年高一下学期开学检测数学试题（含解析）

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这是一份河北省衡水市武强县衡水街关中学2024-2025学年高一下学期开学检测数学试题（含解析），共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共7小题，每小题5分，共45分．
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
2. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解.
【详解】因为函数在区间上单调递减，
所以，解得.
故选：D
3. 已知函数，则（）
A. 0B. 3C. 8D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】代入求解即可.
【详解】由题知.
故选：B.
4. 已知函数定义域为，则函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，
所以函数的定义域为，
则对于函数，需满足，
解得，即函数的定义域为.
故选：D
5. 已知幂函数在上是减函数，则的值为（）
A. -3B. 1C. 1或2D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的定义求得的值，再验证幂函数的单调性可得解.
【详解】由幂函数的定义可得，解得或，
当时，在上是减函数，符合题意；
当时，在上是减函数，符合题意.
所以或.
故选：C
6. 已知，，，则，，的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，借助0,1即可比较大小.
【详解】,,,
,
故选：A
【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了推理能力，属于中档题.
7. 若，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由配凑法和诱导公式二得到，再由同角的三角函数关系和二倍角的余弦公式计算可得；
【详解】，
故选：C．
二、多项选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．
8. 已知且，若恒成立，则实数可取（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】AB
【解析】
【分析】利用基本不等式单位“1”的应用，求出的最小值，从而可求解.
【详解】由题意知，，
所以，
当且仅当时取等号，所以，解得，所以A、B正确.
故选：AB
9. 已知关于的不等式的解集为，则（）
A. 的根为和
B. 函数零点为和
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）之间的关系，即可得出正确的选项.
【详解】关于的不等式的解集为，
，C选项正确；
且和是关于的方程的两根，
则，则，，故D不正确；
不等式解集的端点值就是函数的零点及方程的根，故A正确，B不正确.
故选：AC．
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共计10分．
10. 已知函数，且，则函数的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】令，可证得为奇函数；利用求得，进而求得.
【详解】令
为奇函数
又
本题正确结果：
【点睛】本题考查构造具有奇偶性的函数求解函数值的问题；关键是能够构造合适的函数，利用所构造函数的奇偶性得到所求函数值与已知函数值的关系.
11. 已知函数为奇函数，当时，，则时，_________．
【答案】
【解析】
【分析】当时，，将代入大于零时的表达式，再结合奇偶性化简即可求解.
【详解】当时，，则，因为函数为奇函数，
所以，.
所以当时，.
故答案为：
四、解答题：本题共2小题，共计33分．
12. 已知函数，且关于x的不等式的解集为．
（1）求实数b，m的值；
（2）当时，恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据韦达定理求解即可；
（2）转化为在上恒成立，利用均值不等式求的最小值即可.
【小问1详解】
由题意得：，1是方程的根，由韦达定理得，
所以，又，解得．
所以，．
【小问2详解】
由题意得，在上恒成立，令，只需即可，
由均值不等式得，当且仅当，即时等号成立．
所以，则的取值范围是．
13. 已知函数．
（1）若，且，求的值；
（2）求函数最小正周期，及函数的单调递减区间．
【答案】（1）
（2）最小正周期，，
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数关系得到，由余弦二倍角公式得到，从而得到；
（2）利用三角恒等变换得到，利用得到最小正周期，并利用整体法求出函数的单调递减区间.
【小问1详解】
因为，且，
所以，，
所以．
【小问2详解】
，
所以函数的最小正周期．
由，，
解得，．
所以函数的单调递减区间，．