新高考数学一轮复习考点题型训练 9.1统计图表及数据特征（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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【知识必备】
1．简单随机抽样
抽签法和随机数法是比较常用的两种方法．
2．分层随机抽样
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
3．统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等．
(2)作频率分布直方图的步骤
①求极差；
②决定组距与组数；
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图．
4．百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
5．平均数、中位数和众数
(1)平均数：eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
6．方差和标准差
(1)方差：s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \x\t(x))2或eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)eq \\al(2,i)－eq \x\t(x)2.
(2)标准差：s＝eq \r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2).
7．总体(样本)方差和总体(样本)标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为eq \x\t(Y)，则总体方差S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,N, )(Yi－eq \x\t(Y))2.
(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq \x\t(Y))2.
常用结论
巧用三个有关的结论
(1)若x1，x2，…，xn的平均数为1，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a；
(2)数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变；
(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
【题型精讲】
【题型一 抽样方法】
必备技巧
(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取．
(2)在分层随机抽样中，抽样比＝eq \f(样本容量,总体容量)＝eq \f(各层样本容量,各层个体总量).
(3)在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为eq \x\t(x)；第二层的样本量为n，平均值为eq \x\t(y)，则样本的平均值为eq \f(m\x\t(x)＋n\x\t(y),m＋n).
例1 （2022·全国·高三专题练习）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ）
A．10B．09C．71D．20
【答案】B
【解析】从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，所以选出来的第4个个体的编号为09，故选：B
例2 （2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）某校为了了解高三学生平时的体育锻炼情况，从高三年级1045名同学中抽取50名同学进行调查．先用简单随机抽样从1045人中剔除45人，再按系统抽样方法从剩下的1000人中抽取50人，则在这1045人中，每个人被抽取的可能性（ ）
A．都相等，且为B．不全相等
C．都相等，且为D．都不相等
【答案】C
【解析】由随机抽样的特性知，每个个体不被剔除的概率，
从剩下的1000人中抽取50人，每个个体被抽到的概率，
所以在这1045人中，每个人被抽取的可能性为.
故选：C
【跟踪精练】
1. （2022·青岛高三月考）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
3221183429 7864540732 5242064438 1223435677 3578905642
8442125331 3457860736 2530073286 2345788907 2368960804
3256780843 6789535577 3489948375 2253557832 4577892345
A．623B．328C．253D．007
【答案】A
【解析】从第5行第6列开始向又读取数据，
第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，
下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，
第四个是007，第五个是328，第六个是623.
故选：A.
2. （2022·济南高三期末）某乡政府对甲、乙、丙三个村的扶贫对象进行抽样调查，其中甲村30人，乙村25人，丙村40人，用分层抽样的方法抽取19人，则从甲、丙两村共抽取的人数为（ ）
A．8B．11C．13D．14
【答案】D
【解析】设甲、丙两村抽取的人数分别为、.
依题意得，解得，，所以.故选：D.
3. （2022·全国·高三专题练习） 年月日，搭载问天实验舱的长征五号遥三运载火箭，在我国文昌航天发射场成功发射，我国的航天事业又上了一个新的台阶.某校现有高一学生人，高二学生人，高三学生人，为了调查该校学生对我国航天事业的了解程度，现从三个年级中采用分层抽样的方式抽取人填写问卷调查，则高三年级有多少人被抽中（ ）
A．16B．18C．20D．24
【答案】D
【解析】由分层抽样原则可知：高三年级应抽取人.
故选：D.
【题型二 统计图表】
例3 (1)(2022·蚌埠质检)自中华人民共和国成立以来，我国共进行了七次全国人口普査，下图为我国历次全国人口普査人口性别构成及总人口性别比(以女性为100，男性对女性的比例)统计图，则下列说法错误的是( )
A．近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势
B．我国历次全国人口普查总人口数呈逐次递增
C．第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破12亿
D．第七次人口普查时，我国总人口性别比最高
【答案】D
【解析】由统计图知，近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势，A正确；总人口数逐次增加，B正确；第五次全国人口普查时，我国总人口数男女均超过6亿，总人口数已经突破12亿，C正确；全国总人口性别比最高是第一次人口普查，D错误．
(2)(多选)(2022·宁德模拟)调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列选项中正确的是( )
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980－1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A．互联网行业中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
【答案】ABC
【解析】对于A，互联网行业中仅90后从事技术和运营岗位的人数占总数的56%×(39.6%＋17%)＝31.696%>30%，故A正确；
对于B，互联网行业中仅90后从事技术岗位的人数占总人数的56%×39.6%＝22.176%>20%，故B正确；
对于C，互联网行业中90后从事运营岗位的人数占总人数的56%×17%＝9.52%，而80前从事互联网行业的人数占总人数的3%，故C正确；
对于D，由于80后中从事技术岗位的人数所占比例不确定，所以无法比较，故D不正确．
例4（2022·山东日照高三模拟）构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三(1)、(2)班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图(得分越高，说明该项教育越好)．下列说法正确的是( )
A．高三(2)班五项评价得分的极差为1.5
B．除体育外，高三(1)班的各项评价得分均高于高三(2)班对应的得分
C．高三(1)班五项评价得分的平均数比高三(2)班五项评价得分的平均数要高
D．各项评价得分中，这两个班的体育得分相差最大
【答案】C
【解析】对于A，高三(2)班德智体美劳各项得分依次为9.5，9,9.5,9,8.5，
所以极差为9.5－8.5＝1，A错误；
对于B，两班的德育分相等，B错误；
对于C，高三(1)班的平均数为
eq \f(9.5＋9.25＋9.5＋9＋9.5,5)＝9.35，
高三(2)班的平均数为
eq \f(9.5＋8.5＋9＋9.5＋9,5)＝9.1，故C正确；
对于D，两班的体育分相差9.5－9＝0.5，
而两班的劳育得分相差9.25－8.5＝0.75，两个班的劳育得分相差最大，D错误．
【跟踪精练】
1. （2022·黑龙江·佳木斯一中三模）如图1为某省2019年1~4月份快递业务量统计图，图2为该省2019年1~4月份快递业务收入统计图，对统计图理解不正确的是（ ）
A．2019年1~4月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件
B．从1~4月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长
C．从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务收入变化高度一致
D．2019年1~4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，和春节后网购迎来喷涨有关
【答案】B
【解析】从图（1）的柱形图可得2019年1~4月份快递业务量3月份最高，2月份最低，
3月份比2月份高4397-2411=1986，差值接近2000万件，故A正确.
从1~4月份来看，业务量与业务收入有波动，结合图（1）（2）中的柱形图可得业务量与业务收入在2月份和4月份均下降，故B错误.
从两图中柱状图可得业务量与业务收入变化高度一致，但业务量2月份同比增长，而业务收入2月份同比增长，因此增量与增长速度并不完全一致，故C正确.
从图（1）中可得2019年1~4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，这的确和春节后网购迎来喷涨有关，故D正确.
故选：B.
2. (2022·湖北九师联盟模拟)某企业2021年12个月的收入与支出数据的折线图如图，
已知：利润＝收入－支出，根据该折线图，下列说法正确的是( )
A．该企业2021年1月至6月的总利润低于2021年7月至12月的总利润
B．该企业2021年1月至6月的平均收入低于2021年7月至12月的平均收入
C．该企业2021年8月至12月的支出持续增长
D．该企业2021年11月份的月利润最大
【答案】ABC
【解析】因为图中的实线与虚线的相对高度表示当月利润．由折线统计图可知1月至6月的相对高度的总量要比7月至12月的相对高度总量少，故A正确；由折线统计图可知1月至6月的收入都普遍低于7月至12月的收入，故B正确；由折线统计图可知2021年8月至12月的虚线是上升的，所以支出持续增长，故C正确；由折线统计图可知11月的相对高度比7月、8月都要小，故D错误．
【题型三 频率分布直方图】
方法技巧 频率分布直方图的相关结论
(1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.
(2)频率分布直方图中纵轴表示eq \f(频率,组距)，故每组样本的频率为组距×eq \f(频率,组距)，即矩形的面积．
(3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数．
例5 （2022·全国高三专题练习）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )
A．6 B．8 C．12 D．18
【答案】C
【解析】志愿者的总人数为eq \f(20,（0.16＋0.24）×1)＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.
例6 （2022·广东深圳市·高三二模）随着新冠肺炎疫情的稳定，各地的经济均呈现缓慢的恢复趋势，为了更进一步做好疫情的防控工作，避免疫情的再度爆发，A地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将A地区20000个居民一周的口罩使用个数统计如下表所示，其中每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有14000人.
(1)求m，n的值；
(2)根据表中数据，完善上面的频率分布直方图；
(3)计算A地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差.
【解析】(1)由已知，；
(2)频率分布直方图如下：
(3)由频率分布直方图得
一周内使用口罩的平均数为
，
方差为．
【题型精练】
1．（2022·全国·高三专题练习）某电子商务公司对10000名网络购物者2019年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间，内，其频率分布直方图如图所示．
（1）直方图中的 ．
（2）在这些购物者中，消费金额在区间，内的购物者的人数为 ．
【答案】（1）3 （2）6000
【解析】（1）由题意，根据直方图的性质得，解得
（2）由直方图得
2. （2022·全国·高三专题练习）山西运城王过酥梨是国家农产品地理标志保护产品，王过酥梨含有多种对人体有益的钙、铁、磷等微量营养元素，食后清火润肺，止咳化痰，能起到祛病养生之效，一致被人们作为逢年过节走亲访友，馈赠待客及日常生活的必备佳品.某水果批发商小李从事酥梨批发多年，他把去年年底客户采购酥梨在内的数量x（单位：箱）绘制成下表：
(1)根据表中的数据，补充完整这些数据的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上（含168箱）的客户数；
(2)若去年年底采购在内的酥梨数量约占小李去年年底酥梨总销售量的，估算小李去年年底总销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)在（2）的条件下，由于酥梨受到人们的青睐，小李做了一份市场调查以决定今年年底是否在网上出售酥梨，若没有在网上出售酥梨，则按去年的价格出售，每箱利润为14元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售酥梨，则需把每箱售价下调1至5元（网上、网下均下调），且每下调m元销售量可增加箱，试预计小李在今年年底销售酥梨总利润Y（单位：元）的最大值.
【解析】（1）对应的频率分别为，则对应的频率/组距为，故这些数据的频率分布直方图如下图所示：
由直方图可知，采购数在168箱以上（含168箱）的客户数为（人）
（2）由题意可知，去年年底客户采购酥梨在内的数量为（箱）
则小李去年年底总销售量为（箱）
（3）由题意可得
当时，（元）
【题型四 样本的数字特征和百分位数的估计】
方法技巧 计算一组n个数据第p百分位数的步骤
例7（2022·浙江高三专题练习）为了从甲､乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲､乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲､乙两人的平均成绩分别是，则下列说法正确的是（ ）
A．，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
B．，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
C．，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
D．，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
【答案】D
【解析】由茎叶图可知，甲的平均数是，
乙的平均数是，
所以乙的平均数大于甲的平均数，即，
从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，应选乙参加比赛.
故选:D.
例8 （2022·全国·高三专题练习）某歌手电视大奖赛中，七位评委对某选手打出如下分数：，则其百分位数为________．
【答案】
【解析】由题意可知，共有个数据并且已经按照从小到大的顺序排列，其百分位数即为这组数据的中位数，所以其百分位数是第个数据为.
故答案为：
例9 (多选)(2021·新高考全国Ⅰ)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c为非零常数，则( )
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【答案】CD
【解析】设样本数据x1，x2，…，xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为eq \x\t(x)，m，σ，t，依题意得，新样本数据y1，y2，…，yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为eq \x\t(x)＋c，m＋c，σ，t，因为c≠0，所以C，D正确．
【题型精练】
1. （2022·四川成都·高三月考）某校为增强学生垃圾分类的意识，举行了一场垃圾分类知识问答测试，满分为分.如图所示的茎叶图为某班名同学的测试成绩(单茎位：分).则这组数据的极差和众数分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【解析】由茎叶图中的数据可得：最高成绩为分，最底成绩为分，所以极差为，
又由数据的众数的概念，可得数据的众数为分.
故选：B.
2. （2022·山东青岛·二模）某学校调查了高三1000名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据直方图，以下结论不正确的是（ ）
A．估计这1000名学生中每周的自习时间不少于25小时的人数是300
B．估计这1000名学生每周的自习时间的众数是23.85
C．估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75
D．估计这1000名学生每周的自习时间的平均数是23.875
【答案】B
【解析】对于，每周的自习时间不小于25小时的频率为，
所以估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是0.3×1000=300，故选项正确.
对于B，在频率直方图中，众数即为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，
故估计这1000名学生每周的自习时间的众数是，故选项C错误；
对于C，在频率直方图中，中位数即为把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标，设中位数为，则有，解得，
所以估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75，故选项C正确；
对于D，在频率分布直方图中，平均数即为频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和，
所以估计这1000名学生每周的自习时间的平均数是，故选项D正确.
故选：B.
3. （2022·福建省漳州第一中学模拟预测）树人中学举办以“喜迎二十大､永远跟党走､奋进新征程”为主题的演讲比赛，其中9人比赛的成绩为：85，86，88，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这9人成绩的第80百分位数是___________.
【答案】94
【解析】，所以从小到大选取第8个数作为80百分位数，即94.
故答案为：94
4. （2022·广东佛山·高三阶段练习）已知一组数据的平均数是3，方差是2，则由这5个数据组成的新的一组数据的方差是（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】C
【解析】因为一组数据的平均数是3，方差是2，
所以，，
所以，，
所以的平均数为
，
所以的方差为
，
故选：C
口罩使用数量
频率
0.2
m
0.3
n
0.1
采购数x（单位：箱）
客户数
5
10
15
15
5