新高考数学二轮复习解答题提优训练专题1.9 圆锥曲线（双曲线）（2份，原卷版+解析版）

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1．解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆、双曲线知识的考查，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养.
2．直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：
(1)过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．
(2)将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．
(3)它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.
3．解决中点弦问题的两种方法：
(1)根与系数的关系法：联立直线与曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．
1．（2023·浙江·校联考三模）设双曲线的右焦点为，右焦点到双曲线的渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若，点在线段上（不含端点），过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为．连接，并过的中点分别作双曲线两支的切线，切点分别为，求面积的最小值．
【解题思路】（1）由焦点坐标、右焦点到渐近线的距离和双曲线关系可直接求得双曲线方程；
（2）设，与双曲线方程联立，由可求得；由，可整理得到，同理可得，进而确定方程，利用点差法可证得，结合弦长公式和点到直线距离公式可表示出，设，可将表示为关于的函数，利用导数可求得最小值.
【解答过程】（1）双曲线的右焦点为，；
右焦点到双曲线的渐近线的距离为，双曲线的渐近线方程为，
，解得：，，
双曲线的方程为：.
（2）设，切线，
由得：，
，解得：，
，
，，，，即，
同理可得：直线；
直线与直线交于点，，，
点满足方程，即直线，
同理可得：直线，即，
点在直线上，，即点在直线上，
，，，，
，即，
直线，
由得：，
，
点到直线的距离为，，
令，，，则，
，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，.
2．（2023·全国·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在C上，且．
(1)求C的标准方程；
(2)设点P关于坐标原点的对称点为Q，不过点P且斜率为的直线与C相交于M，N两点，直线PM与QN交于点，求的值．
【解题思路】（1）根据题意结合双曲线的定义的应用列方程组，解得与即可得出答案；
（2）设，，直线MN的方程为，联立方程消去得，根据韦达定理得出，根据已知得出，由题意知，，当直线PM，QN的斜率均存在时，设出方程联立得，，即可比出答案，当直线PM的斜率不存在时，易求，，所以，当直线QN的斜率不存在时，易求，，所以，综上，即可得出答案.
【解答过程】（1）由题意可知，，
解得，，
所以的标准方程为：．
（2）设，，直线MN的方程为，
由得，
直线MN与C相交于M，N两点，
，则．
由题意知，，当直线PM，QN的斜率均存在时，
，，
所以直线PM的方程为，
直线QN的方程为．
两方程联立得，，显然，
又，
所以，
当直线PM的斜率不存在时，易求得直线PM的方程为，直线QN的方程为，则，，所以．
当直线QN的斜率不存在时，易求得直线QN的方程为，直线PM的方程为，则，，所以．
综上，.
3．（2023·重庆·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左顶点为，点M为双曲线上一动点，且的最小值为18，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)如图，已知直线与x轴的正半轴交于点T，过点T的直线交双曲线C右支于点B，D，直线AB，AD分别交直线l于点P，Q，若O，A，P，Q四点共圆，求实数m的值．
【解题思路】（1）根据双曲线的方程可得，根据题意结合双曲线的定义，运算求解即可得结果；
（2）设直线，根据题意求的坐标，由圆的性质可得，结合韦达定理运算求解.
【解答过程】（1）设，不妨设M为双曲线右支上一动点，则，
则，即，
可得，
注意到，则，
由题意可得：，即，
则，
∵的对称轴为，则在上单调递增，
故，
则，解得或（舍去），
可得，
故双曲线C的标准方程为.
（2）由题意可得，设直线，
联立方程，消去y得，
则，
直线，令，则，
即点，
同理可得点，
若O，A，P，Q四点共圆，则，
∵，
注意到，，且点P，Q位于同一象限，即，
可得，
故，
整理得，
则，
整理得，解得或（舍去），
故实数m的值为.
4．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线的焦距为10，且经过点．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．
(1)求双曲线E的标准方程．
(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【解题思路】（1）方法一：将代入方程，结合求得得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得得双曲线方程.
（2）方法一：设CD的方程为，与双曲线联立，由A点与C点写出AC方程，求出，由B点与D点写出BD方程，求出，利用两个相等建立关系式，代入韦达定理可求得为定值.
方法二：设CD的方程为，与双曲线联立，由P点与A点写出AC方程，由P点与B点写出BD方程，将代入以上两方程，两式相比消去建立关系式，代入韦达定理可求得为定值.
【解答过程】（1）法一．由解得，∴双曲线E的标准方程为．
法二．左右焦点为，，
，
∴双曲线E的标准方程为．
（2）直线CD不可能水平，故设CD的方程为，
联立消去x得，
，，，
AC的方程为，令，得，
BD的方程为，令，得，


，
解得或，即或（舍去）或（舍去），
∴CD的方程为，∴直线CD过定点，定点坐标为．
方法二．直线CD不可能水平，设CD的方程为，
联立，消去x得，
，
AC的方程为，BD的方程为，
分别在AC和BD上，，
两式相除消去n得，
又，．
将代入上式，
得

．
整理得，解得或（舍去）．
∴CD的方程为，∴直线CD过定点，定点坐标为．
5．（2023·广东江门·统考一模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)已知是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线，的斜率之和为1，，求的面积.
【解题思路】（1）设动点，由题意知，，由题意，化简可得轨迹C的方程；
（2）设直线的倾斜角为，斜率为k，直线倾斜角为，则斜率为，，，由过点T直线与曲线C有两个交点确定的范围，由，解得，从而可得直线、的方程，与曲线C的方程联立解得的坐标，求出及点Q到直线的距离，即可求出的面积.
【解答过程】（1）设动点，由题意知M只能在直线与直线所夹的范围内活动.
， ，
动点在右侧，有，同理有，
∵四边形的面积为8，∴，即 ，
所以所求轨迹C方程为（）.
（2）如图，设直线的倾斜角为，斜率为k，直线倾斜角为，则斜率为，
，，在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，
则或，同时或，解得或.
，解得或（舍去）.
时，直线的方程为，
联立，消y得：，则或，得.
直线的方程为，
联立，消y得：，则或，得，
，
点Q到直线的距离 ，
.
方法二： ，
，
，则，
.
6．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知双曲线过点，且与的两个顶点连线的斜率之和为4．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与双曲线交于，两点（异于点）．设直线与轴垂直且交直线于点，若线段的中点为，证明：直线的斜率为定值，并求该定值．
【解题思路】（1）由与的两个顶点连线的斜率之和为4得出，再将代入的方程得出的方程；
（2）联立直线和双曲线方程结合韦达定理得出，再由点坐标得出，最后由结合证明直线的斜率为定值.
【解答过程】（1）双曲线的两顶点为，所以，，即，
将代入的方程可得，，故的方程为．
（2）依题意，可设直线，，．
与联立，整理得，
所以，，解得，且，
，，所以． （*）
又，所以的坐标为，
由可得，，
从而可得的纵坐标
，
将（*）式代入上式，得，即．
所以，，
将（*）式代入上式，得．
7．（2023·浙江·校联考模拟预测）设双曲线的右焦点为，F到其中一条渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线于点M，
（i）求的值；
（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：.
【解题思路】（1）结合点F到其中一条渐近线的距离为2和，即可求得本题答案；
（2）（i）设AB直线方程为，，得，直线方程与双曲线方程联立消，然后由韦达定理得，，把逐步化简，即可求得本题答案；（ii）把和的直线方程分别求出，联立可得到点的坐标，由此即可得到本题答案.
【解答过程】（1）因为双曲线其中一条渐近线方程为，又点到它的距离为2，
所以，又，得，
又因为，所以，
所以双曲线C的方程为.
（2）（2）设AB直线方程为，则，
代入双曲线方程整理得：，
设，则， ，
（i）
而
，
所以，，则，
所以 ；
（ii）过M平行于OA的直线方程为，
直线OB方程为与联立，
得，
即，
则，
所以，
由，两式相除得，
，则，
所以 ，
因为，所以，
故P为线段MQ的中点，所以.
8．（2023·江苏泰州·统考一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.
(1)求的方程；
(2)证明：以为直径的圆经过定点.
【解题思路】（1）根据题意，可得，，进而求解；
（2）设方程为，，联立直线和双曲线方程组，可得，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，进而得到，进而求解.
【解答过程】（1）当轴时，两点的横坐标均为，
代入双曲线方程，可得，，即，
由题意，可得，解得，，，
双曲线的方程为：；
（2）方法一：设方程为，，
以为直径的圆的方程为，
由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，令，可得
，
而，
，
对恒成立，，
以为直径的圆经过定点；
方法二：设方程为，
由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点.
设以为直径的圆过，
，
而
，
，
，即对恒成立，
，即以为直径的圆经过定点.
9．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，点关于轴对称的点为.当时，.
(1)求双曲线的方程；
(2)若的外心为，求的取值范围.
【解题思路】(1)设双曲线的半焦距为，由条件列关于的方程，解方程求可得双曲线方程；
(2)设直线的方程为，利用设而不求法求点的坐标，利用表示，再求其范围.
【解答过程】（1）设双曲线的半焦距为，
因为双曲线的右焦点为，所以，
因为点和点关于轴对称，
所以当时，直线的方程为，
联立可得，又，
所以，又，
所以，
故双曲线方程为；
（2）若直线的斜率为0，则直线与双曲线右支只有一个交点，与已知矛盾，
所以可设直线的方程为，
联立，消，得，
方程的判别式，
设，
则，
，
由已知，所以，
所以线段的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为，
又线段的垂直平分线方程为，
所以点的坐标为，
所以，
所以，
所以，，
因为，所以，
所以，
所以
所以的取值范围为.
10．（2023·山西大同·校联考模拟预测）已知双曲线过点，且焦距为10．
(1)求C的方程；
(2)已知点，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：．
【解题思路】（1）根据题意列方程组求出，即可得出C的方程；
（2）根据四点共线，要证即证，设出直线，，，联立直线方程与椭圆方程得出，将其代入，计算结果为零，即证出．
【解答过程】（1）由题意可得，故，所以C的方程为．
（2）设，，
当时，即，解得，则，
双曲线的渐近线方程为，
故当直线与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，
此时直线方程为，
令，则，故．
则直线．
由得，
所以，．
．
所以，所以
即．
11．（2023·吉林·统考二模）在平面内，动点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和它到定直线的距离比是常数2.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若直线与动点的轨迹交于P，Q两点，且（为坐标原点），求的最小值.
【解题思路】(1)根据题意列出等式化简即可；
(2) 设直线OP的方程为，直线OQ的方程为，联立直线OP的方程与的方程，可得，同理可得，进而可得，，再利用基本不等式求解即可.
【解答过程】（1）解：由已知可得：，整理化简可得：，
即,
所以动点的轨迹方程为：；
（2）解：由可设直线OP的方程为，直线OQ的方程为，
由，可得，
所以，
同理可得，
又由且，可得，
所以，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为6.
12．（2023·重庆沙坪坝·校考模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，双曲线的左顶点为，过斜率为的直线和双曲线仅有一个公共点，双曲线的离心率是椭圆离心率的3倍.
(1)求双曲线和椭圆的标准方程；
(2)椭圆上存在一点，过的直线与双曲线的左支相交于与不重合的另一点，若以为直径的圆经过双曲线的右顶点，求直线的方程.
【解题思路】(1)根据题意得出，求出双曲线方程，得到，再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的3倍，得，进而求出椭圆方程；
(2)设出直线方程为，.将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出点坐标，进而得到，然后结合题意和向量的数量积即可求解.
【解答过程】（1）由题意，，可得双曲线方程为，此时，
由双曲线的离心率是椭圆离心率的3倍，得，可得，
故椭圆方程为.
（2）由过的直线与双曲线的左支相交于与不重合的另一点，
设直线方程为，.
联立直线和双曲线可得，
由韦达定理知，，解得
可得，
以为直径的圆经过双曲线的右顶点，可得，
即，
将代入得.
将点坐标代入椭圆可得：，解得，故，
故直线的方程为：.
13．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设，是双曲线右支上不同的两点，线段AB的垂直平分线交AB于，点的横坐标为2，则是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）设双曲线的右焦点，利用焦点到渐近线的距离求出，再根据渐近线方程及，求出，，即可得解；
（2）先利用“点差法”写出直线的方程，再写出的中垂线的方程，求出所过的定点即为圆的圆心，然后写出圆的方程即可.
【解答过程】（1）解：设双曲线的右焦点，则点到渐近线的距离为，
即，解得，
又渐近线方程为，即，且，解得，，
所以双曲线方程为.
（2）解：设，AB的中点为
因为，是上不同的两点，中点的横坐标为2．
所以 ，
得，
当存在时，，
因为AB的中垂线为直线l，所以，即，
所以过定点，
当不存在时，，关于轴对称，的中线为轴，此时也过，
所以存在定圆：，使得被圆截得的弦长为定值．
14．（2023·安徽马鞍山·统考一模）平面直角坐标系中，是双曲线（，）上一点，，分别是双曲线的左，右顶点，直线，的斜率之积为3.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)设点关于轴的对称点为，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，垂足为，求证：直线与双曲线只有一个公共点.
【解题思路】（1）根据斜率公式，结合点满足，即可求双曲线的渐近线方程；
（2）首先利用点的坐标设直线的直线方程，并联立求交点的坐标，并求直线的方程，与双曲线方程联立，证明.
【解答过程】（1）由题意，，，满足，即.
于是，，
所以双曲线的渐近线方程为.
（2）由题，，，直线，直线.
联立直线与直线方程，解得，故.
由（1）知双曲线，故，
于是直线，即，即，与双曲线联立得：，即，即，因为，所以直线与双曲线只有一个公共点.
15．（2023·上海·统考模拟预测）已知椭圆．
(1)若，求椭圆的离心率；
(2)设为椭圆的左右顶点，若椭圆上一点E的纵坐标为1，且，求m的值；
(3)若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线与双曲线仅有一个公共点，求m的取值范围．
【解题思路】（1）由椭圆的离心率定义即可得出答案；
（2）设，求出E点的坐标，表示出，由数量积的定义求出，即可求出m的值；
（3）设该直线为，直线与双曲线仅有一个公共点，讨论直线与双曲线的渐近线平行和直线与双曲线的渐近线不平行结合P为椭圆上一点即可得出答案.
【解答过程】（1）当时，椭圆，焦点在上，
则，则.
（2）因为为椭圆的左右顶点，所以，
令中，则，
若，，
，
解得：.
若，，
，
解得：.
（3）若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线，
设该直线为，直线与双曲线仅有一个公共点，
①直线与双曲线的渐近线平行时，
则双曲线的渐近线为：，所以.
因为P为椭圆上一点，所以，所以不满足题意.
②直线与双曲线的渐近线不平行时，
，则，
则，解得：，
解得：，因为，所以.
又因为P为椭圆上一点，所以，则，
则，解得：，
所以，所以，综上所述：.
则m的取值范围为：.
16．（2023·辽宁盘锦·校考一模）已知双曲线的右焦点为F，点 分别为双曲线C的左、右顶点，过点F的直线l交双曲线的右支于 两点，设直线的斜率分别为，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)当点P在第一象限，且时，求直线l的方程.
【解题思路】（1）设点，根据，结合点P是双曲线上的点，化简求得，即得答案.
（2）设，利用两角和的正切公式化简可得，设直线，并联立双曲线方程，可得根与系数的关系，化简求得m的值，即得答案.
【解答过程】（1）由题意得 ，设点.
则.
因为点P是双曲线上的点，则，∴.，∴，
则双曲线C的方程为
（2）设，点P在第一象限，
则，
又，
故，
同理可得，即，
则直线l的斜率大于0，
由（1）可知 ，设直线，联立 ，
化简得 ，
则，
故,
，代入韦达定理得 ，
所以 ，解得或（舍去），
所以直线l的方程为 .
17．（2023·全国·模拟预测）已知分别为双曲线左、右焦点，在双曲线上，且．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若双曲线的虚轴端点分别为（在轴正半轴上），点在双曲线上，且，，试求直线的方程．
【解题思路】（1）根据平面向量数量积坐标运算和点在双曲线上，可构造方程组求得的值，由此可得双曲线方程；
（2）由三点共线可设，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，利用向量垂直的坐标表示，代入韦达定理结论可解方程求得的值，由此可得直线方程.
【解答过程】（1）设，，则，，
，解得：，；
又在双曲线上，则，，，
双曲线的方程为：.
（2）由（1）得：，，
，三点共线，
直线斜率显然存在，可设，，，
由得：，
，即且，
，，
，，又，，
，
解得：，满足且，
直线方程为：或.
18．（2023·江苏徐州·校考一模）已知双曲线的实轴长为4，左､右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方.当轴时，
(1)设直线的斜率分别为，求的值；
(2)若，求的面积.
【解题思路】（1）法一：根据实轴长，求得a值，根据题意，求得，可得b值，即可得曲线C方程，设直线方程为，与双曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，代入，化简整理，即可得答案.
法二：由题意，求得a，b的值，即可得曲线C方程，设方程为，与双曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，代入，化简整理，即可得答案.
（2）法一：因为，根据二倍角的正切公式，结合及，化简计算，可得，进而可得方程，与曲线C联立，可得M点坐标，即可得直线的方程，根据面积公式，即可得答案.
法二：设，由，结合二倍角正切公式，可得的值，进而可得直线方程，与曲线C联立，可得，同理可得，代入面积公式，即可得答案.
【解答过程】（1）法一：
因为，所以，令得，
所以，解得，
所以的方程为
显然直线与轴不垂直，设其方程为，
联立直线与的方程，消去得，
当时，，
设，则.
因为，
所以 .
法二：
由题意得，解得，
双曲线的方程为.
设方程为，
联立，可得，
，，
，
.
（2）法一：
因为，
所以，
又因为，
所以，即，（※）
将代入（※）得，
因为在轴上方，所以，所以直线方程为，
联立与直线方程，消去得，，
解得或（舍），所以，
代入，得，所以直线方程为，
联立与直线方程，消去得，，
解得或，
所以的面积为.
法二：
设，由，可得，
，解得，
方程，
联立，可得，解得，
同理联立，解得，
.
19．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，右顶点为，点，，.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程.
【解题思路】（1）由题意得，求解即可；
（2）设：，联立，由根与系数的关系结合三角形面积求解即可
【解答过程】（1）由题意，得，
解得，，，
所以双曲线的方程为.
（2）由题意可知，直线的斜率不为0，
设：，
联立，消，得，
由，解得.
设，，则.
所以，
所以的面积，
由，
化简，得，
解得，，，，
所以直的方程为或或或.
20．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，，P是直线上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于A，B两点，斜率为的直线与双曲线交于C，D两点．
(1)求的值；
(2)若直线，，，的斜率分别为，，，，问是否存在点P，满足，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）设出，然后计算即可得；
（2）假设存在，设设，写出直线方程，设，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得，代入到式子中，同理设，直线方程代入双曲线方程，应用韦达定理，代入计算，然后由条件求得得定点坐标．
【解答过程】（1）由已知，，设，，
∴，，；
（2）设，（），∴，
∴直线的方程是，设，，
代入双曲线方程得，
即，
，，
，
同理的方程为，设，，
仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：
，
，，
∴
．
由得，
整理得，∵，∴，
∴存在或满足题意．