第17讲 全等三角形-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc186551570" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc186551571" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc186551572" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc186551573" 考点一 全等三角形的概念及性质
\l "_Tc186551574" 考点二 全等三角形的判定
\l "_Tc186551575" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc186551576" 命题点一 全等三角形的性质与判定
\l "_Tc186551577" ►题型01 利用全等三角形的性质求解
\l "_Tc186551578" ►题型02 添加一个条件使两个三角形全等
\l "_Tc186551579" ►题型03 结合尺规作图的全等问题
\l "_Tc186551580" ►题型04 以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程
\l "_Tc186551581" ►题型05 补全全等三角形的证明过程
\l "_Tc186551582" ►题型06 全等三角形证明方法的合理选择
\l "_Tc186551583" ►题型07 利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc186551584" 命题点二 与全等三角形有关的基础模型
\l "_Tc186551585" ►题型01 平移模型
\l "_Tc186551586" ►题型02 对称模型
\l "_Tc186551587" ►题型03 旋转模型
\l "_Tc186551588" ►题型04 一线三等角
\l "_Tc186551589" ►题型05 手拉手模型
\l "_Tc186551590" 命题点三 添加辅助线证明两个三角形全等
\l "_Tc186551591" ►题型01 倍长中线法
\l "_Tc186551592" ►题型02 截长补短法
\l "_Tc186551593" ►题型03 构造平行线
\l "_Tc186551594" ►题型04 构造垂线
\l "_Tc186551595" 命题点四 全等三角形的应用
\l "_Tc186551596" ►题型01 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题
\l "_Tc186551597" ►题型02 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题
\l "_Tc186551598" ►题型03 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
\l "_Tc186269138" 03考点突破·考法探究
考点一 全等三角形的概念及性质
一、全等三角形的概念及表示
全等图形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形.
特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等.
全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
【补充】
1）全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关.
2）形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形.
全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”.
【补充】书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换.
常见的全等变换：平移变换、翻折变换、旋转变换，即过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形.
二、全等三角形的性质
性质：1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.
2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等．
3）全等三角形的周长相等，面积相等（但周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）.
1．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知如图，△ABC≌△DCB，其中的：对应边 与 ， 与 ， 与 ，对应角： 与 ， 与 ， 与 ．
2．（2024·江苏南通·模拟预测）下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是（ ）
A．圆柱B．正方体C．三棱柱D．圆锥
3．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知△ABC≌△DEC,∠A=60°,∠B=40°，则∠DCE的度数为（ ）．
A．40°B．60°C．80°D．100°
4．（2020·山东淄博·中考真题）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
5．（2023·四川成都·中考真题）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC=8，CE=5，则CF的长为 ．

考点二 全等三角形的判定
1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
【易错】
①只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等；
例:
②在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.
3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
5）斜边、直角边：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
【总结】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路.
1．（2023·四川凉山·中考真题）如图，点E、F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）

A．∠A=∠DB．∠AFB=∠DECC．AB=DCD．AF=DE
2．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，AB与CD相交于点O，AC ∥ BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是( )

A．∠A=∠DB．AO=BOC．AC=BOD．AB=CD
3．（2023·吉林长春·中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D．两点之间线段最短
4．（2023·福建·中考真题）阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC,OD，使OC=OD；
②分别以C,D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM,DM，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）

A．∠1=∠2且CM=DMB．∠1=∠3且CM=DM
C．∠1=∠2且OD=DMD．∠2=∠3且OD=DM
5．（2024·山东德州·中考真题）如图，C是AB的中点，CD=BE，请添加一个条件 ，使△ACD≌△CBE．
6．（2024·云南·中考真题）如图，在△ABC和△AED中，AB=AE，∠BAE=∠CAD，AC=AD．
求证：△ABC≌△AED．
\l "_Tc186269142" 04题型精研·考向洞悉
命题点一 全等三角形的性质与判定
►题型01 利用全等三角形的性质求解
1．（2024·四川资阳·中考真题）第14届国际数学教育大会（JCME−14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH=1：3，则sin∠ABE=（ ）
A．55B．35C．45D．255
2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在△ABC中，点A的坐标为0,1，点B的坐标为4,1，点C的坐标为3,4，点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 ．
3．（2024·四川成都·中考真题）如图，△ABC≌△CDE，若∠D=35°，∠ACB=45°，则∠DCE的度数为 ．
4．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均为格点，△ABC≌△CDE，点B，C，D在同一直线上，则下列结论中正确的是 （选填序号）．
①∠BAC=∠ECD；②∠BAC+∠CED=90°；③AC⊥EC；④AC=CD．
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型02 添加一个条件使两个三角形全等
1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得AE=CE．（只添一种情况即可）
2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知AB=CD，点E，F在线段BD上，且AF=CE．
请从①BF=DE；②∠BAF=∠DCE；③AF=CF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明AE∥CF．
3．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，AE=BF．
若________，则AB=CD．
请从①CE∥DF；②CE=DF；③∠E=∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
4．（2024·广东阳江·一模）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①AB=AC，②DB=DC，③∠BAD=∠CAD，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究△ABD与△ACD全等．
问题解决：
(1)当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗？
_________（填“全等”或“不全等”），依据是_________；
(2)当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明△ABD≌△ACD，但补充一个条件例如_________也可以证明△ABD≌△ACD，请写出过程．
►题型03 结合尺规作图的全等问题
1．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（ ）

A．①②B．①③C．②③D．只有①
2．（2024·贵州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A．∠BDE=∠BACB．∠BAD=∠BC．DE=DCD．AE=AC
3．（2024·四川达州·中考真题）如图，线段AC、BD相交于点O．且AB∥CD，AE⊥BD于点E．
(1)尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为点F、连接AF、CE；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
(2)若AB=CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
4．（2023·河南·中考真题）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD=AB．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE=BE．
QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE ►题型04 以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程
1．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE，CD相交于点O，OB=OC．
求证：∠1=∠2．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°．
∵∠DOB=∠EOC，∴∠B=∠C．第一步又OA=OA，OB=OC，
∴△ABO≌△ACO第二步∴∠1=∠2第三步
(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
2．（2024·贵州遵义·三模）如图，点D，E分别在AB，AC上，BD=CE，AB=AC，BE，CD相交于点O．
求证：∠B=∠C．
小刚同学的证明过程如下：
(1)小刚同学的证明过程中，第______步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
3．（2024·山西阳泉·三模）如图，AB∥DE,AB=DE，点C,F在AD上，AF=DC．求证：∠B=∠E．
小虎同学的证明过程如下：
证明：
∵AB∥DE，
∴∠A=∠D， 第一步
在△ABC和△DEF中，AB=DE∠A=∠DAF=DC
∴△ABC≌△DEFSAS， 第二步
∴∠B=∠E． 第三步
任务一：
①以上证明过程中，第一步依据的定理是：______；
②从第______步出现错误；具体错误是______；
任务二：请写出正确的证明过程．
4．（2024·江苏南通·二模）如图，点P是∠AOB内一射线OC上一点，点M、N分别是边OA、OB上的点，连接PM，PN且PM=PN，∠PMO=∠PNO．
求证：OC是∠AOB的平分线．
小星的解答如下：
(1)小星的解答从第 步开始出现错误；
(2)请写出你认为正确的证明过程．
QUOTE ►题型05 补全全等三角形的证明过程
1．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A．∠1=∠3，AASB．∠1=∠3，ASA
C．∠2=∠3，AASD．∠2=∠3，ASA
2．（2021·广西柳州·中考真题）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．
证明：在△DEC和△ABC中，
CD=___________________CE=_______
∴△DEC≌△ABCSAS
∴____________
3．（2023·重庆潼南·模拟预测）如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE．
(1)尺规作图：在正方形内部作∠ADF，使∠ADF=∠BAE，边DF交线段AE于点G，交AB边于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)要探究AE，DF的位置关系和数量关系，请将下列过程补充完整．
解：AB=DE，AE⊥DF，理由如下．
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ①，∠DAF=∠B=90°，
在△DAF和△ABE中
∠DAF=∠BDA=ABㅤㅤ②
∴△DAF≌△ABE，
∴ ③
∠BAE+∠DAG=90°，∠BAE=∠ADF，
∴ ④
∠AGD=90°
∴ ⑤，
∴AE=DF，AE⊥DF．
4．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）学习了图形的旋转等相关知识后，小李同学进行了一次拓展性研究．他发现，若一个四边形有一组对角均为90°且这组对角中有一个直角的两边相等，则连接这组对角的顶点，此对角线平分另一个直角．他的解决思路是通过作一个角等于已知角等知识证明两个三角形全等得出的结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规作图：如图，以AD为边在四边形ABCD外部作∠DAE=∠BAC，AC=AE，连接DE．（保留作图痕迹）
(2)已知：如图，AC是四边形ABCD的对角线，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，AC=AE，∠BAC=∠DAE．
求证：∠ACB=∠ACD．
证明：∵∠BAD=∠BCD=90°
∴∠ABC+ =180°，
∵AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，
∴△ABC≌△ADESAS
∴∠ACB=∠AED，∠ABC=
∴ ∠ADC=180°
∴点C，D，E三点共线．
又AC=AE，
∴∠ACD=∠AED=∠ACB．
即∠ACB=∠ACD．
小李再进一步研究发现，线段CD，DE，AE存在一定的数量关系，请你根据以上信息，直接写出CD，DE，AE三者之间的数量关系 ．
►题型06 全等三角形证明方法的合理选择
全等三角形的判定法方法：
【易错点】
1）若△ABC≌ΔDEF，则前后对应关系确定；若△ABC与△DEF全等，则前后对应关系不确定.
2）在全等三角形判定中，有两种不能判定三角形全等的方法：SSA和AAA.
1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF=CE．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）
2．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在▱ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上，且AM∥CN，对角线BD分别交AM，CN于点E，F．求证BE=DF．
3．（2022·贵州遵义·中考真题）将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上．
(1)求证：△ADE≌△CDG；
(2)若AE=BE=2，求BF的长．
4．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠DCB的平分线交AD于点F，点G，H分别是AE和CF的中点．

(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接EF．若EF=AF，请判断四边形GEHF的形状，并证明你的结论．
5．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点E在△ABC的边AC上，AE=BC，BC∥AD，∠CAB=∠ADE．
(1)求证：△ABC≌△DEA；
(2)若∠CAD=28°，求∠BCD的度数．
►题型07 利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题
1．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，以△ABC的边AB、AC为腰分别向外作等腰直角△ABE、△ACD，连结ED、BD、EC，过点A的直线l分别交线段DF、BC于点M、N，以下说法：①当AB=AC=BC时，∠AED=30°；②EC=BD；③若AB=3，AC=4，BC=6，则DE=23；④当直线l⊥BC时，点M为线段DE的中点．正确的有 ．(填序号)

2．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在Rt△ABC中，CA=CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．则下列结论中：①BF=CE；②∠AEM=∠DEM；③AE−CE=2ME；④DE2+DF2=2DM2；⑤若AE平分∠BAC，则EF:BF=2:1；⑥CF·DM=BM·DE，正确的有 ．（只填序号）
3．（2024·吉林长春·二模）如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连结MN，给出下面四个结论：①MN∥AB；②∠DPM=60°；③∠AEB=90°；④△ACM≌△DCN．上述结论中，一定正确的是 （填所有正确结论的序号）．
4．（2023·山东济南·三模）如图，现有边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点(不与点A点D重合）将正方形纸片沿EF折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，连结BP、BH，下列结论：
①BP=EF；②当P为AD中点时，△PAE三边之比为3:4:5；③∠APB=∠BPH；④△PDH周长等于8．其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）
5．（2023·湖北·中考真题）如图，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，点E在△ABC内，BE>AE，连接DF交AE于点G,DE交AB于点H，连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF．其中所有正确结论的序号是 ．
命题点二 与全等三角形有关的基础模型
►题型01 平移模型
1．（2024·四川内江·中考真题）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD=BE，AC=DF，BC=EF
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若∠A=55°，∠E=45°，求∠F的度数．
2．（2022·广西柳州·中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．

(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
►题型02 对称模型
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB．

(1)求证：△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB=70°，则∠CAB=__________°．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，分别以B，C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，AD，AD与BC交于点E．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)若BD=2，∠BDC=120°，求BC的长．
3．（2024·山东威海·中考真题）感悟
如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB=AE，BC=DE．求证：∠BAC=∠EAD．
应用
（1）如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD=∠BAC，且DE=BC（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE=∠BAC，且DE=AB（不写作法，保留作图痕迹）．
4．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB=DF，∠A=∠D，∠B=∠F．如图①，易证：BC+BE=BF．请解答下列问题：
(1)如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；
(2)请选择（1）中任意一种结论进行证明；
(3)若AB=6，CE=2，∠F=60°，S△ABC=123，则BC=______，BF=______．
QUOTE ►题型03 旋转模型
1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
(1)求证：△ODE≌△OBF；
(2)当EF⊥BD时，DE=15cm，分别连接BE，DF，求此时四边形BEDF的周长．
2．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F，BC=DE,AC=AE ，∠ACF+∠AED=180°．求证：AB=AD．

3．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE=90°，连接CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)若∠BAD=22.5°时，求BD的长．
4．（2024·江西·模拟预测）如图，四边形ABCD是正方形，M，N分别在CD、BC上，且∠MAN=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，点D与点B重合，得到△AEB，连接AM、AN、MN．
(1)求证： △AEB≌△ADM．
(2)如图，已知△ADM旋转90°得到△AEB，如果正方形的边长是4，求△CNM的周长．
►题型04 一线三等角
1．（2024·河南周口·三模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，B−1，−2，C−4，−1，将△ABC向右上方平移，使得点C与原点重合，则点A平移后的坐标为（ ）．
A．0，3B．1，2C．1，3D．4,3
2．（2023昆明模拟预测）如图，在△ABC中，AB=BC．
(1)如图1，直线NM过点B，AM⊥MN于点M，CN⊥MN于点N，且∠ABC=90°，求证：MN=AM+CN．
(2)如图2，直线NM过点B，AM交NM于点M，CN交NM于点N，且∠AMB=∠ABC=∠BNC，则MN=AM+CN是否成立？请说明理由！
3．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为________；
【类比探究】
（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若AC=BC=1，CD=2，请直接写出sin∠ECD的值．
4．（2024石家庄模拟预测）阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
(1)问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，则CD与BE的数量关系是______．
(2)问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD=2.5cm，DE=1.6cm，求BE的长；
(3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A−1.5,0，C1.5,3.5，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，求B点坐标．
►题型05 手拉手模型
1．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：
如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：BD=CE；
图1
(2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图2
2．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
3．（2022·山东烟台·中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．连接BD，CE．
①求BDCE的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
4．（2020·广东深圳·中考真题）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：
（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值．
命题点三 添加辅助线证明两个三角形全等
添加辅助线的基本作图方法：
►题型01 倍长中线法
模型介绍：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线（或类中线），使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移.
题目特征：有中点，有中线.
1．（2024·广西·一模）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM=AD，连接BM．
(1)【探究发现】图1中AC与BM的数量关系是___________，位置关系是___________；
(2)【初步应用】如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=12，AC=5，AD=6.5，判断△ABC的形状；
(3)【探究提升】如图3，在△ABC中，若AB=12，AC=8，D为BC边上的点，且BD=2CD，求AD的取值范围．
2．（2024山东省模拟预测）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM=AD，连接BM．
(1)【探究发现】图1中中AC与BM的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)【初步应用】如图2，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围；
(3)【探究提升】如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE=AB，AF=AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．
3．（2020·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180∘得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______；
（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．
4．（2024·山西·模拟预测）综合与实践
【问题情境】
如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DE，CD，BE，P为CD的中点，连接AP．
【数学思考】
（1）线段AP与BE的数量关系，说明理由．
【猜想证明】
（2）若把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由．
【深入探究】
（3）若把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若N是BE的中点，连接AN，若AN=1，直接写出CD的长．
►题型02 截长补短法
模型概述：该模型适用于求证线段的“和、差、倍、分”关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明.
解题方法：用截长补短的方法，将边长转化，构造全等.
1．（2024孝感市模拟）如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=12∠BAE．

(1)求证：CD=BC+DE；
(2)若∠B=75°，求∠E的度数．
∵CA平分∠BCD，
2．（2024长春市模拟）如图，已知：在△ABC中，∠B=60°，CE、AF是△ABC的角平分线，交于点O求证：AC=AE+CF．
3．（2020·湖南湘西·中考真题）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFC≌△BFE，可得出结论，他的结论就是_______________；
探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
QUOTE ►题型03 构造平行线
1．（2023贵州黔西模拟）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．1B．1.8C．2D．2.5
2．（2024齐齐哈尔模拟）如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED=EC．

(1)当点E为AB的中点时（如图1），则有AE______DB（填“>”“