新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题29 数列放缩四大题型汇总（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc148027256" 题型1先求和后放缩 PAGEREF _Tc148027256 \h 1
\l "_Tc148027257" 题型2先放缩后裂项 PAGEREF _Tc148027257 \h 10
\l "_Tc148027258" 题型3放缩成等比型 PAGEREF _Tc148027258 \h 24
\l "_Tc148027259" 题型4放缩成错位相减型 PAGEREF _Tc148027259 \h 30
题型1先求和后放缩
【例题1】（2023秋·广西·高三统考阶段练习）已知数列的前项和为，，数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式与；
(2)设数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)，．
(2)证明见解析
【分析】（1）由的关系得出，进而由公式法得出；
（2）由，结合错位相减法得出，进而由不等式的性质证明.
【详解】（1）解：．
当时，．
当时，，则．
因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以．
故，．
（2）证明：．
记的前项和为，
则，
，
两式相减得
．
所以，所以．
【变式1-1】1. （2023·浙江·模拟预测）已知数列满足
(1)若，求数列的通项；
(2)记为数列的前项之和，若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）应用,结合累加法可得通项；
（2）应用等差数列求和后,再应用裂项相消求和结合已知不等式求解即可.
【详解】（1）当,①,
②,
①②可得,左右同时乘以可以得出:
,即得
当时,
应用累加法可得:
,
当时,,
,且,
（2）由（1）,
,
,
若，则,
或.
【变式1-1】2. （2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知数列是等差数列，，公差为，其前项和为，且成等比数列.数列的解项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见详解
【分析】（1）由等比中项可得，解得，可求得的通项公式；又由，得到，两式相减得到，结合等比数列的定义，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）知，结合乘公比错位相减法求和，求得，即可得到结论.
【详解】（1）因为成等比数列，则，即，
整理得，解得或（舍去），
所以；
可得，则，
两式相减可得：，所以，即，
令，可得，所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，可得，
故数列的通项公式为，数列的通项公式为.
（2）由（1）可知：，
设，
则，
，
两式相减可得
，
所以，
又因为，所以，即．
【变式1-1】3. （2023秋·甘肃白银·高三校考阶段练习）已知数列，满足．记为的前n项和．
(1)若为等比数列，其公比，求；
(2)为等差数列，其公差，证明：
【答案】(1)；
(2)详见解析；
【分析】（1）根据为等比数列，其公比，且，得到，从而是以为公比，以1为首项的等比数列求解；
（2）根据为等差数列，且，得到，从而得到，再利用累乘法得到，然后利用裂项相消法求解.
【详解】（1）解：因为为等比数列，其公比，且，
所以，则是以为公比，以1为首项的等比数列，
所以；
（2）因为为等差数列，且，
所以，则，
所以，
当时，，
则，
，
，
又适合上式，
所以，
所以，
，
.
【变式1-1】4. （2023·河南·校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)当数列的公差不为0时，记数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）列方程求解等差数列基本量即可；
（2）等差数列求和，代入化简，再由裂项相消法数列求和.
【详解】（1）设数列的公差为d，
由，，成等比数列，得，
即，
即，解得或.
当时，；
当时，.
综上所述，或.
（2）由（1）可知，当数列的公差不为0时，，
，则，
，
所以
，
又，所以.
【变式1-1】5.（2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且
(1)求的通项公式，
(2)设，且的前项和为，证明，.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及前n项和公式，列方程求解首项和公差，即得答案；
（2）由（1）结论可得的表达式，利用裂项求和可得表达式，即可证明结论.
【详解】（1）设的公差为，由得，，解得，
，即，
，结合，
；
（2）证明：由.
，
即，
又随着n的增大增大，
当时，取最小值为，
又时，，且无限趋近于0，故，
故.
【变式1-1】6.（2023秋·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知正项数列，其前项和满足，
(1)求的通项公式.
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由与的关系化简与累加法求解，
（2）由裂项相消法求和后证明．
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，则，
由累加法得，
，故，也满足该式
综上，
（2）
【变式1-1】7.（2023·天津·校联考一模）已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求；
(3)令，记数列的前项和为，求证：对任意的，都有.
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列，等比数列的通项公式可得到结果；
（2）可转化为等差乘等比类型，利用错位相减法可解；
（3）数列的前项和可利用裂项相消，然后用放缩可证.
【详解】（1）设的公差为，的公比为，则，.
由题意知，，
所以，解之得，，
当时，，则，，即与矛盾，故舍去；
当时，，则，，
所以,，满足题意；
所以，.
（2）设，
，
设，
则，，
两式相减得，
所以，即.
（3）证明：，
，
，
因为，易知随着的增大而增大，
所以，，
所以.
【点睛】方法点睛：
求数列前项和常见的方法：
公式法：适用于等差数列、等比数列以及其他特殊数列.
分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.
错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.
裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
；
；
；
；
.
通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
题型2先放缩后裂项
【例题2】（2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知数列满足，.
(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)数列成等比数列，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）推导出，得到结论；
（2）先得到，，从而得到，令，得到函数单调递增，且由特殊点函数值得到，，求出，当时，利用裂项相消法求和，得到.
【详解】（1）数列成等比数列，证明如下：
根据得，
；
，，，即数列成等比数列.
（2）由（1）得，，，
故
，
由，得.
令，
当时，单调递增，且，
故，，，
，，
当时，
，
综上，知
【变式2-1】1. （2023秋·山东泰安·高三统考阶段练习）记为数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)令，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由结合可得及，两式相减并整理可得答案；
（2）由（1）结合，可得 ，即可得答案.
【详解】（1）由题意得：，
所以，即.
又，所以，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，即，
所以，两式相减得，即，
所以，
因此的通项公式为.
（2）由（1）可得：，.
因为.
则 ，
所以
.
【点睛】关键点睛：对于同时出现与的问题，常利用进行处理；对于数列中的不等式证明问题，常利用放缩手段将不能求和数列转化为可以求和数列，从而简化问题.
【变式2-1】2. （2023·河北唐山·模拟预测）已知和是公差相等的等差数列，且公差的首项，记为数列的前项和，．
(1)求和；
(2)若的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式列方程求得，进而写出通项公式；
（2）应用放缩有 ，由裂项相消法求和即可证结论.
【详解】（1）由已知得，即，解得，
故．
（2）由（1）得 ，
则
，得证．
【变式2-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，
(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)是，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意求出数列的递推关系式，再由等比数列的定义可证;
（2）由条件，得，再由函数在上单调递增，，求出，从而，而利用可得证.
【详解】（1）数列成等比数列.
根据
得；
，，，
即数列成等比数列.
（2）由（1）得，，，
故
由，得.
显然，，单调递增，且，
故，，.
，，,
当时，,
综上，知.
【点睛】本题的关键是的适当放缩，从而利用裂项相消法求前项的和.
【变式2-1】4. （2023秋·湖南常德·高三临澧县第一中学校考阶段练习）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，.
(1)求，的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和；
(3)求证：.
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的项求公差，即可求数列的通项公式，代入条件求等比数列的项，即可求通项公式；
（2）分为奇数和偶数，求数列的通项公式，再根据列项相消法和错位相减法求和；
（3），再进行放缩，利用列项相消法求和，证明不等式.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，得，所以，
由，.得，
所以，，故，所以.
（2）当是奇数时，，
当是偶数时，，
则①
②
①-②得：
即
化简得：.
所以.
（3），
当时，，
因为，所以；
当时，也成立.故.
【点睛】关键点点睛：本题考查等差和等比数列，以及求和，不等式和放缩法的综合应用，第二位问的关键是当为偶数时，列项相消法求和，第三问的关键放缩后进行求和.
【变式2-1】5.（2023秋·重庆·高三重庆一中校考开学考试）正项数列的前n项的积为，的前n项的积为，已知是公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项的和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据题意得，再由是等差数列，求出其通项公式，进而求出的通项公式；
（2）先求出，进而求出，从而求出，然后利用裂项相消法求出即可证明.
【详解】（1）因为数列的前n项的积为，
所以，，
又因为是公差为1的等差数列，
所以，①
所以当时，，
，②
②①得，
又满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，所以，
所以，
当时，，
因为，，，
当时，
，
所以.
【变式2-1】6.（2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）正数数列满足，且成等差数列，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)；.
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，由等差中项与等比中项的性质列出方程，结合递推关系可得数列是以为首项，为公差的等差数列，再由数列的通项公式可得数列的通项公式；
（2）根据题意，由裂项相消法分，与分别证明，即可得到结果.
【详解】（1）成等差数列，成等比数列，
，，
数列为正数数列，，
当时，，，
，且，则，
，，，，
，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，，
当时，满足上式，，
当时，，
当时，满足上式，.
（2）证明：
当时，；
当时，；
当时，
.
综上所述，对一切正整数，有.
【变式2-1】7.（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；
(3)记，求证：.
【答案】(1)
(2)
(3)详见解析.
【分析】（1）根据和的关系即可求解；（2）根据等差数列前项和公式求出代入化简即可解决；（3）求出，进行适当放缩后用裂项相消求和解决.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
当时，有，则 ①
当时，，两式相减可得：，
整理得，可知，代入①可得，
所以等比数列的通项公式为（）.
（2）由已知在与之间插入个数，组成以为首项的等差数列，
所以，
则，
设，则是递增数列，
当为偶数时，恒成立，即，所以；
当为奇数时，恒成立，即，所以；
综上所述，的取值范围是.
（3）证明：由（1）得，
则有
.
,原不等式得证.
【变式2-1】8.（2022秋·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的等比数列，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，，求数列的前项和；
(3)设，记，证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式、前项和公式进行计算可求出结果；
（2）根据进行并项求和可求出结果；
（3）转化为证明，根据进行裂项求和可证明不等式成立.
【详解】（1）因为是公差为2的等差数列，且，
所以，解得，
所以；
设等比数列的公比为，
因为，，所以，即，
解得（舍去）或，
所以．
（2）由（1）得，
则
，
．
（3）由（1）可知：．又，，
所以要证明原不等式成立，只需证明：成立．
当时，左边=1，右边=1，左边=右边．
当时，因为
，
因为

，
所以，
因为
，
所以，
因为，所以，
所以 ，
即．
所以当时，有，
所以
即 ，
所以，
于是，当时，成立．
综上所述：当时，．
【点睛】关键点点睛：通过放缩得到，并利用它进行裂项求和是解题关键.
题型3放缩成等比型
【例题3】（2022秋·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）已知数列的前项和满足；数列满足，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)记数列，，求；
(3)记数列，求证：．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用与的关系求出通项；求出，再利用等差数列求出通项作答.
（2）由（1）求出，再利用等差数列、等比数列前n项和公式及错位相减法求和作答.
（3）由（1）求出，验证的情况，当时，借助放缩法及等比数列前n项和公式求和推理作答.
【详解】（1）数列中，，当时，，两式相减得，即，
而，解得，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，；
显然，由，得数列是等差数列，
公差，于是，
所以数列、的通项公式分别为，.
（2）由（1）知，，
因此
，
令，
于是，
两式相减得，
则，
所以.
（3）由（1）知，，，
，
当时，，当时，
，
因此，
所以.
【点睛】思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求.
【变式3-1】1. （2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【分析】（1）根据与的关系，结合已知等式，利用等比数列的定义进行证明即可；
（2）结合（1）的结论，利用放缩法、等比数列前项和公式进行运算证明即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，，
故数列为等比数列，首项为，公比为2；
（2）由（1）可知，所以，
所以．
【变式3-1】2. （2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列通项公式可求得，由与的关系推导得到，由此可知数列为等比数列，利用等比数列通项公式推导可得；
（2）由（1）可得，采用放缩法可得，结合等比数列求和公式可证得结论.
【详解】（1），，即；
当且时，，
即，，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，则.
（2）由（1）得：，
，，
.
【变式3-1】3. （2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知数列的首项为1，为数列的前n项和，，其中．
(1)若成等差数列，求的通项公式；
(2)设数列满足，且，数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）首先利用，得到，再结合成等差数列，得出公比，从而求解.
（2）首先求出，再利用放缩法求解不等式即可.
【详解】（1）解：由得，两式相减得，
由可得，故对所有都成立，
所以数列是首项为1，公比为q的等比数列，从而，
由成等差数列可得，化简得，
又，解得（舍去），
所以．
（2）由题意可知，
由可得，解得（舍去），
又，则，即，
则，
即．
【变式3-1】4. （2022秋·天津南开·高三南开中学校考期中）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且.
(1)求的通项公式，并证明数列是等比数列；
(2)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.
(3)求证：对于任意正整数，.
【答案】(1)，证明见解析
(2)最大值为，最小值为
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意求出等差数列的首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解，根据等比数列的定义结合递推公式证明为定值，即可得证；
（2）由（1）可得，设的前项和为，利用裂项相消法求和，再分奇偶讨论，求出最值.
（3）由（1）可得，从而得到，即可得到，再由等比数列求和公式计算即可.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
由，可得，解得或（舍去），
．
又，则，
由，可得， ，
数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可得
，
设的前项和为，
则
，
当为奇数时，随着的增大而减小，可得，
当为偶数时，随着的增大而增大，可得，
的最大值为，最小值为．
（3）证明：因为数列是以为首项，为公比的等比数列，
， ．
所以，
所以
，
所以．
【变式3-1】5.（2022秋·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）记为数列的前项和，已知，是公差为2的等差数列.
(1)求证为等比数列，并求的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【分析】（1）先由题设条件得到，再利用得到，从而可证得是等比数列，由此可求得的通项公式；
（2）利用放缩法得到，从而利用等比数列前项和公式即可得证.
【详解】（1）因为是公差为2的等差数列，，
所以，
当时，，
两式相减得，，即，
故，又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
故，则.
（2）因为，所以，则，即，
所以.
题型4放缩成错位相减型
【例题4】（2023秋·广东广州·高三仲元中学校考阶段练习）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为是公比大于0的等比数列，，
(1)求和的通项公式：
(2)记，证明：
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）由等差数列与等比数列的性质求解，
（2）由放缩法与错位相减法求和证明．
【详解】（1）对于等差数列，，而，解得，故，
对于等比数列，，则，而公比，解得，故
（2），则
令，则，
两式相减得，
得，故，原式得证
【变式4-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知数列的各项为正且满足，．
(1)证明∶．
(2)令，记数列的前n项和为，证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知可推得，时，有，作差整理即可推得与的符号相同，根据已知，即可得出证明；
（2）根据（1）的结论可得出．结合已知可推得.然后根据基本不等式求得，判断可知.结合（1）逐步迭代可得，推得，根据错位相减法求得，即可得出证明.
【详解】（1）可将已知等式变形．
当时，，
两式作差得.
由于，故当时，与的符号相同，
即与同号．
所以，，于是．
（2）由（1）知单调递减，所以．
又，所以，
所以 ，
当且仅当，即时等号成立，
此时有，所以不满足，所以，
所以，，
所以.
由（1）知，，
所以，，
所以，
所以，.
令，
则，
作差可得， ，
所以，，
所以
【变式4-1】2. （2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知数列是等比数列，其前项和为，数列是等差数列，满足，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求；
(3)证明：．
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用等比数列和等差数列的通项公式列方程组求解即可；
（2）根据（1）中结论，利用分组求和和错位相减求解即可；
（3）利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1）由题意设等比数列的公比为， 等差数列的公差为，
所以①，②，
又因为是数列的前项和，
所以由可得即③，
由①②③联立解得，，，，
所以，，
（2）由（1）得，
所以
，
令④，
则⑤，
④⑤得，
所以，
令，
所以.
（3）由（1）可得，
因为，
所以，
即.
【变式4-1】3. （2023·全国·高三专题练习）数列中，，对任意正整数n都有.
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：
①；
②.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据题意化简得，得到数列为等比数列，进而求得数列的通项公式；
（2）①易得；
②由①得，设，利用乘公比错位相减法求得，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
所以，即，
又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
从而，则.
（2）①因为，所以；
②由①得，
设，
则，
两式相减得，
即，
从而，故.
【变式4-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足：，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：；
(3)设数列满足：．证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列的定义，结合递推公式，即可证明；
（2）根据条件求和，再代入不等式，利用作差法，即可化简证明；
（3）根据数列的通项公式，分别求奇数项和偶数项的和，再分别利用裂项相消法和错位相减法求和，即可证明.
【详解】（1）由，得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，．
（2）设等差数列的公差为，
，得，
所以，，
，，
，得证．
（3）当n为奇数时，，
，
当n为偶数时，，
，
设，
，
两式相减得
得，
所以，
所以．
【变式4-1】5.（2023·重庆·校联考三模）已知函数．
(1)当时，证明：；
(2)数列的前项和为，且；
（ⅰ）求；
（ⅱ）求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析．
【分析】（1）令，利用导数分析函数在上的单调性，即可证得结论成立；
（2）（i）令可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；
（ii）利用导数证明出当且时，，可得出，验证当时，结论成立；当时，利用错位相减法求出数列的前项和，利用放缩法证得结论成立.
【详解】（1）证明：令，其中，
则，
因为，则，
又因为，则，所以，，则且不恒为零，
所以，函数在上单调递减，
当时，，即.
（2）解：（i）对任意的，，
当时，则，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，所以，，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，故；
（ii）令，其中且，
则，
因为，则，
又因为，则，所以，，则且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，
当时，，即，当且仅当时，等号成立，
因为，
令，则，
当时，则有，
当时，，即，此时数列从第二项开始单调递减，
所以，对任意的，，
所以，，
所以，当时，，
设数列的前项和为，则，
所以，，
上述两个等式作差可得，
所以，，所以，，
所以，，
当时，则，所以，，则，
所以，，
当时，，
当时，，即，
当时，，因为，所以，，
综上所述，对任意的，.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
1. （2022·浙江·模拟预测）已知正项数列满足，当时，，的前项和为.
(1)求数列的通项公式及；
(2)数列是等比数列，为数列的公比，且，记，证明：
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据累加法可得的通项公式，再利用公式求即可；
（2）利用数列恒正可得左边，右边利用适当的放缩法即可得出结果.
【详解】（1）当时，累加可得且当时，符合，.
由等差数列前项和的公式可得：
（2）由（1）得，
对于左边，，又，
对于右边，,
.
综上：成立.
2．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
3．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
4．（2021·天津·统考高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；
（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；
（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.
【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以，所以，
所以；
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以；
（II）（i）由题意，，
所以，
所以，且，
所以数列是等比数列；
（ii）由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：
最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.
5．（2021·全国·统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以 ，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
第一组：
（1）；
（2）；
（3）
第二组：
（1）；
（2）；
（3）；
第三组：
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第四组：
（1） ；
（2） ；
第五组：
（1） ；
（2）；
（3）.