新高考数学二轮复习导数专项练习专题15 导数之证明题目处理（2份，原卷版+解析版）

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导数是高中数学选修板块中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用导数求切线、判断单调性、求极值、最值等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路，本文介绍证明题目处理解题思路，以飨读者.
例1．（2022·四川资阳·一模（理））已知函数．
(1)若单调递增，求的取值范围；
(2)若有两个极值点，，其中，求证：．
例2．（河南省2021-2022学年高三上学期第五次联考）已知函数.
（1）判断的单调性.
（2）证明：.
例3．（2021·云南·模拟预测）已知函数．
（1）若有两个极值点，求实数a的取值范围；
（2）当时，证明：．
例4．（2022·全国·模拟预测）已知函数，当时，函数有意义且.
(1)求的范围；
(2)若当时，；证明： ，且满足：时，.
例5．（2020·浙江·高考真题）已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
1．（2021·宁夏·银川一中高三阶段练习）已知函数.
（1）若函数f（x）的最小值为0，求m值；
（2）设，证明：.
2．（2021·云南红河·模拟预测（理））已知函数（为常数，且）.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若有两个极值点，，证明：.
3．（2021·江西·景德镇一中高三阶段练习（理））已知函数，若有两个零点，.
（1）求的取值范围；
（2）若，证明：.
4．（2021·福建龙岩·高三期中）设函数f（x）=xsinx+csx-ax2.
（1）当a=时，讨论f（x）在（-π，π）上的单调性；
（2）当a时，证明：f（x）有且仅有两个零点.
5．（2022·浙江·三门县观澜中学模拟预测）设，
(1)当时，求证：对于任意；
(2)设，对于定义域内的，有且仅有两个零点求证：对于任意满足题意的，．
6．（2022·四川绵阳·一模（理））已知函数，当时，．
(1)求的取值范围；
(2)求证：（）．
7．（2022·广东广州·三模）已知函数.
(1)若在上是增函数，求a的取值范围；
(2)若是函数的两个不同的零点，求证：.
8．（2023·江苏·南京市第一中学模拟预测）设，，．
(1)求的单调区间；
(2)证明：当时，．
9．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知函数（e为自然对数的底数）有两个零点．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若的两个零点分别为，证明：．
10．（2022·全国·模拟预测（理））已知．
(1)讨论的零点的个数．
(2)求证：．
11．（2021·全国·高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
12．（2017·全国·高考真题（理））已知函数且.
（1）求a；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且.
13．（2015·全国·高考真题（文））设函数.
（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时.
14．（2022·北京·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．
15．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
16．（2022·云南·玉溪市民族中学模拟预测（文））已知函数．
(1)若是的极值点，求a的值；
(2)若，证明：．
17．（2022·广东韶关·一模）已知函数，，.
(1)若直线与在处的切线垂直，求的值；
(2)若函数存在两个极值点，，且，求证：.
18．（2022·浙江宁波·一模）已知函数，且，．
(1)若，函数在区间上单调递增，求实数b的取值范围；
(2)证明：对于任意实数，．参考数据：．
19．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数在处的切线过点，a为常数．
(1)求a的值；
(2)证明：．