新高考数学二轮复习导数专项练习专题03 函数与导数之值域倍增（2份，原卷版+解析版）

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值域倍增或倍减是高考函数与导数一个新的考查导数的方向。在2019年全国卷2的选择题12题已经出现了，是以压轴题的形式出现的。考查学生对分段函数以及函数的周期性，结合图像去处理。数形结合思想是我们去处理这只能怪题型的一个必备手段。处理步骤分为：①审题，找出分段函数的部分图像，找到伪周期，值域倍增或倍减得范围；②结合函数，画出图像；③整理，分析，得出结论。
二、经验分享
1.函数的周期
对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
【常用结论】
A、 ，函数的周期.
B、，函数的周期.
C、或，函数的周期.
2.函数的值域
（1）.函数的值域周期性倍增
若函数满足或（），那么此函数的图像会以，值域每次经过一个T，都会周期性变大A倍；
（2）.函数的值域周期性倍减
若函数满足或（），那么此函数的图像会以，值域每次经过一个T，都会周期性变大A倍；
（3）.函数的周期性
若函数满足或，那么此函数的图像会以，用周期函数的性质求解即可。
三、题型分析
(一) 函数周期性的应用
例1．（1）、（2020·河南开封·二模）已知定义在R上的奇函数，对任意的实数x，恒有，且当时，，则
A．6B．3C．0D．
【答案】B
【解析】根据函数恒有，得到函数的周期是6，再由定义在R上的奇函数，得到，然后求解.
【详解】因为函数对任意的实数x，恒有，
所以，
所以函数是以6为周期的周期函数，
又定义在R上的奇函数，
所以，
又当时，，
所以，
，
所以，
，
，
故选：B
（2）、（2020·安庆市第七中学高三其他模拟（文））已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则__________．
【答案】
【解析】
分析：由可知，函数的周期为2，利用周期性与奇偶性把所给的两个自变量转化到区间上，代入求值即可.
详解：由可知，函数的周期为2，又为偶函数
∴
故答案为
点睛：本题重点考查了奇偶性与周期性的应用，考查了转化的思想方法，属于中档题.
【变式训练1-1】、（2019·江苏南京市·南京师大附中高二开学考试）已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间内的所有零点之和为_____________．
【答案】4
【解析】
∵函数是奇函数
∴函数的图象关于点对称
∴把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，即函数的图象关于点对称，则.
又∵
∴，从而
∴，即
∴函数的周期为2，且图象关于直线对称.
画出函数的图象如图所示：

∴结合图象可得区间内有8个零点，且所有零点之和为.
故答案为4.
点睛：函数零点的求解与判断：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【变式训练1-2】、（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】A
【分析】令，由已知可得函数与的图象在区间上关于直线对称，利用对称性即可求解.
【详解】解：因为函数满足，所以函数的图象关于直线对称，
又函数为偶函数，所以，
所以函数是周期为2的函数，
又的图象也关于直线对称，
作出函数与在区间上的图象，如图所示：
由图可知，函数与的图象在区间上有8个交点，且关于直线对称，
所以方程在区间上所有解的和为，
故选：A.
(二) 函数值域倍减
例2.（1）、设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，由解得或，
若对任意，都有，则．
故选B．
（2）、（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）定义在上函数满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】由，根据，即，依此类推，作出函数的图象求解．
【详解】因为当，时，，
所以，
因为，
当，时，即时，
所以，即，
当，，即，时，，
当，，即，时，，
所以，
依此类推，作出函数的图象，如图所示：
由图象知：，,当时，，
当时,
因为对任意，，都有，
则，解得：，
故答案为：
【变式训练2-1】．（2020·石嘴山市第三中学高三其他模拟（理））对于函数．现有下列结论：①任取，，都有；②函数有3个零点；③函数在上单调递增；④若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则．其中正确结论的序号为______．（写出所有正确命题的序号）
【答案】①②④
【分析】
作出函数的图象，求出时的最大值和最小值，可判断①；由图可直接判断②③④，进而可得答案.
【详解】
的图象如图所示：
①当时，的最大值为，最小值为，
∴任取，，都有恒成立，故①正确；
②如图所示，函数和的图象有3个交点，即有3个零点，故②正确；
③函数在区间上的单调性和上的单调性相同，则函数在区间上不单调，故③错误；
④当时，函数关于对称，若关于的方程有且只有两个不同实根，，则，则成立，故④正确；
故答案为：①②④.
【点睛】
本题考查命题的真假判断，涉及函数的性质，利用分段函数的表达式，作出函数的图象是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.
【变式训练2-2】．（2020·江苏泰州市·泰州中学高三月考）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】
可结合图像大致特点，当函数区间由右移，函数值逐渐减小，当函数区间由左移，函数值逐渐增大，则确定应是比2大的一个值，再由可推出通式，令可解得，再由图像可确定的临界值应为，即可求解
【详解】
由题可知
，
则可得一般规律：，可画出大致函数图像，如图：
由图可知，当时，，则，，
此时，由图像可知，要对任意，都有，则的最大值只能取，故
故答案为：
【点睛】
本题考查由函数的递推式找出一般函数图像规律，数形结合思想，属于难题
(三) 函数值域倍增
例3.（1）、设函数的定义域为，且满足，当时，，若时，的最大值为1，则实数的取值范围是_________
【答案】
【解析】
【方法技巧梳理】倍域问题
定义在上的满足，即自变量增加一，函数值变为2倍.
根据时解析式画出函数草图.
由于时，函数
令，则.
由于时，1，故必满足.
①首先时，1
②其次时，无最大值.
③而当时，最大值为2.
综上知：.
（2）、（2021·全国高一专题练习）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据题设条件可得当时，，其中，结合函数在上的解析式和函数在的图象可求的取值范围.
【详解】
当时，，故，
因为，
故当时，，，
同理，当时，，
依次类推，可得当时，，其中.
所以当时，必有.
如图所示，因为当时，的取值范围为，
故若对任意，都有，则，
令，或，
结合函数的图象可得，
故选：D.
【点睛】
思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
【变式训练3-1】、（2022·黑龙江·铁人中学高三开学考试）定义在上的函数满足，且时，，若方程恰有3个根，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【分析】根据题意可知，函数的图象与函数的图象有3个交点，作出函数和的图象,数形结合即可求出．
【详解】依题可知，函数的图象与函数的图象有3个交点,根据题意,可画出和的图象,

由图可知:解得．
故答案为：．
【变式训练3-2】、（2021·全国高三专题练习）设定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
当时，可得恒成立，再利用递推关系式探讨时适合，当时，并不恒满足题意，画出函数草图，令，解出，结合图形即可得结果.
【详解】
由已知，当时，恒成立，
可得当时，，
恒成立；
当时，，
.
画出函数草图，令，
化简得，解得，，
由图可知，当时，不等式恒成立.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与综合运算能力，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于难题.
四、迁移应用
A组 基础巩固
1．（2022·陕西陕西·二模）设为上的偶函数且，当时，，若方程在内只有3个解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将问题转化为函数与函数的图像在区间内有3个交点求解.
【详解】解：由得，
又为偶函数，
∴，
∴为周期为2的函数.
因为方程在区间内有3个解，
所以函数与函数的图像在区间内有3个交点，
当时显然不合题意；
当时，作出函数与函数的图像，如图所示：
由图得，
解得.
故选：D.
2．（2021·江西赣州·二模（文））已知定义在上的函数，对任意x都满足，且当时，则函数的零点个数为（ ）
A．12B．14C．15D．16
【答案】B
【分析】先求函数的周期性，再根据周期性画出函数的图象以及的图象，运用数形结合的办法可求解.
【详解】∵，
∴函数是周期为2的周期函数．
令，则，
由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点的个数．
当时，，
在同一坐标系内画出函数和函数的图象（如图所示），
结合图象可得两函数的图象有14个交点，
∴函数的零点个数为14.
故选：B．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
3．（2020·河南·罗山县教学研究室模拟预测（理））已知函数的定义域为的奇函数，当时， ，且， ，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数定义域及函数对称轴，求出函数的周期，进而化简求得函数值即可．
【详解】因为，所以函数图像关于 对称
因为的定义域为的奇函数，所以函数的周期为T=4
所以
因为函数图像关于 对称
所以
所以选B
【点睛】本题考查了函数的对称性及周期性，掌握函数的基本性质是解决这类问题的关键，属于中档题．
4．（2020·吉林吉林·三模（理））已知为定义在上的奇函数，且满足当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设条件，可得函数的周期是，再结合函数是奇函数的性质将转化为函数值，即可得到结论.
【详解】由题意，，则函数的周期是，
所以，，
又函数为上的奇函数，且当时，，
所以，.
故选：C.
【点睛】本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题.
5．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））已知定义在上的函数，满足，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可知函数是奇函数，进而推导的周期，然后求出函数值即可.
【详解】,,是奇函数，,.
,,
由,，的周期为.
..
故选：C
6．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知，若，则n的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【分析】根据分段函数的解析式依次求，，，即可.
【详解】因为当时，，
所以
，
又，所以，
所以，，，
所以若，则n的最大值为10，
故选：B.
7．（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题先求出的分段函数表达式，分析图象变化规律，确定范围，代入给定区间表达式即可求出.
【详解】当时，，又，故当时，，，即，令，
则，同理，当时，，
令，则，整理得，
当时，，画出大致图象，函数类似于周期函数，每向右移一个单位，函数最小值变为上一个最小值2倍，由图可知，要使对任意，都有，
，令，解得或（舍去），故m的最大值是.
故选：D
8．（2019·新疆·乌市八中高二阶段练习（理））已知定义在上的函数满足，当时，，则在区间上满足的实数x的值为（ ）
A．6B．5C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义求出在上的表达式，然后解方程可得．
【详解】∵，∴，
∴当时，，∴，
∴，
∴当时，，∴，
由得，，
故选：B.
9．（2019·湖北武汉·模拟预测（文））设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据得到，讨论的范围解得答案.
【详解】函数，得到
当时：解得，即
当时：解得，即
综上所述：
故答案选D
【点睛】本题考查了分段函数的计算，分类讨论是一个常用的方法.
10．（2019·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末（理））已知函数，若方程有4个不同的实数根，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作函数的图像，方程有4个不同的实数根，从而得到，，，的范围，代入化简，再利用函数的单调性即可得到取值范围．
【详解】作函数的图像如下：
由图可知：，，，
故 ；
由在单调递减，所以的范围是 ，即的取值范围是；
故答案选B
【点睛】本题考查分段函数的运用，主要考查函数单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键．
11．（2020·全国高三专题练习（理））定义在R上的函数满足：，当时，；当时，，则
A．336B．337C．338D．339
【答案】C
【分析】
根据函数的周期性，将函数值进行转化即可．
【详解】
解：∵f（x+6）＝f（x），
当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2
当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，
∴f（1）＝1，f（2）＝2，f（3）＝f（﹣3）＝﹣1，
f（4）＝f（﹣2）＝0，f（5）＝f（﹣1）＝﹣1，f（6）＝f（0）＝0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝1，
∵f（x+6）＝f（x），∴f（x）的周期为6，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）
＝336+f（1）+f（2）+f（3）
＝338．
故选C．
【点睛】
本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性，进行转化是解决本题的关键．
12．（2020·全国高三专题练习（理））已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】B
【分析】
根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，而由x∈[0，1]时，f（x）=2x-m及f（x）是奇函数，即可得出f（0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．
【详解】
∵是定义在R上的奇函数，且；
∴；
∴；
∴的周期为4；
∵时，；
∴由奇函数性质可得；
∴；
∴时，；
∴.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.
13．（2019·吉林长春市实验中学高二期末（文））奇函数的定义域为.若为偶函数，且，则_____．
【答案】
【分析】
由题设条件，推得，得到，即函数是周期为12的周期函数，利用周期性、奇偶性和，即可求解．
【详解】
由题意， 函数的定义域为的奇函数，则且，
又由为偶函数，,
代换
则有，
因为为奇函数，可得，，
综上可得，则有，
即函数是周期为12的周期函数，则，
所以．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，周期性的性质及其应用，其中解答中根据函数的基本性质，求得函数是周期为12的周期函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
14．（2020·江苏）已知定义在上的函数满足：，且当时，.若对任意的，恒成立，则实数的最大值为___________.
【答案】
【分析】
直接利用关系式可得出当时，，结合题意可得且解出不等式即可求出结果.
【详解】
当时，，由可得，
当时，；
当时，，…，
当时，，
因为，，且对任意的，恒成立，
所以且，解得，
故实数的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查的知识要点：直接利用关系式的应用，定义域的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于难题.
15．（2019·浙江高二期末）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意的，都有，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】
由，得，分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．
【详解】
解：，，
时，，
时，；
时，；
时，；
当时，由，解得或，
若对任意，都有，则．
故答案为．
【点睛】
本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．
B组 能力提升
16．【2018届河南天一大联考】
17．（2021·全国高一专题练习）设是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
求得函数是周期函数，且周期，依题意，只需使函数的图象与函数的图象在上有5个交点即可.在同一坐标系中分别作出与的图象，数形结合可得结果.
【详解】
因为是上的偶函数，所以，对，，
所以函数是周期函数，且周期.
，
依题意，只需使函数的图象与函数的图象在上有5个交点即可.
在同一坐标系中分别作出与的图象，
由图可知，实数满足，解得，即实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是：在同一坐标系中分别作出与的图象，数形结合得到满足.
18．（2019·陕西汉中市·高三月考（文））定义在 上的函数 满足 ，且当 时，，则函数 在 上的零点个数为
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】
由f（x+2）＝3f（x），得到函数在其他区间的解析式，作出函数的图象，将问题转化为直线与函数在上的图象的交点的个数，即可求出零点个数．
【详解】
设，则.因为时， ，所以.因为，所以当时，
同理可得当时，；
当时，，此时最大值为x=-3时，f(x)=,
因为函数 在 上的零点个数等价于直线与函数 在上的图象的交点的个数，
结合的图象（如图），
直线与函数在上的图象有7个交点，即函数在上有7个零点.
故选C.
【点睛】
本题主要考查函数零点的个数及函数解析式的求解方法，考查了数形结合思想，利用f（x+2）＝3f（x）求解解析式是解决本题的关键．
19．（2020·全国高三专题练习（理））定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】
由分段函数根据单调性求得在的最小值，根据求出，的最小值，将问题转化为解不等式即可得出结果.
【详解】
根据已知，当时，，
则当时，在处取到最小值，
当时，在处取到最小值，
所以在时在处取到最小值,
又因为，
可知当时，在时取到最小值，且，则.
为使当时，恒成立，需，
当时，可整理为，解得；
当时，可整理为，解得.
综上，实数的取值范围是
故答案为：
【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键，属于难题.
20．（2020·云南·一模（理））定义域为的偶函数满足，当时，，给出下列四个结论：
① ；
②若，则；
③函数在内有且仅有3个零点；
④若，且，则的最小值为4.
其中，正确结论的序号是______.
【答案】①③
【分析】由得函数关于点中心对称，又为偶函数，所以可推得的周期为4，又得，且当时，，故可作出函数的图象，结合图象可判断各选项的真假.
【详解】由得函数关于点中心对称，
又，，
为上的偶函数，，
，，
的周期为4，
当时，得，
又当时，，所以函数图象如图：
由图知，，，故①正确；
又，从而可知②不正确；
当时，，故③正确.
④取x1＝-1，x2＝0，x3＝1，则f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝0，但x3-
x1＝2＜4，即④错误.
∴正确的是①③.
故答案为：①③.
【点睛】本题考查函数的图象与性质，分析出函数的对称性和作出函数图象是解题的关键，考查学生的作图能力和分析能力，属于中档题.
21．（2020·四川省成都市新都一中模拟预测（理））设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，有下列命题：①2是函数的周期；②函数在上是增函数；③函数的最大值是1，最小值是0；④直线是函数图象的一条对称轴.其中所有正确命题的序号是__________.
【答案】①②④
【分析】对于任意的恒有，所以，即2是函数的周期；当时，，作出函数的部分图象即可判断②③④.
【详解】用换中的，得，所以是以2为周期的周期函数，故①正确；又函数是定义在上的偶函数且时，，
作出函数的部分图象如图所示
由图知，函数在上是增函数，故②正确；函数的最大值是1，最小值是，
故③错误；直线是函数图象的一条对称轴，故④正确.
故答案为：①②④
【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性、单调性以及函数的最值，同时考查了分析问题的能力，是中档题．
22．（2022·全国·高一课时练习）设函数的定义域为R，满足，且当时，，则当时，方程的解集为______．
【答案】
【分析】由可知，函数的图像每向右平移2个单位长度，函数值变为原来的3倍，画出函数的大致图像，由图像可知，方程的根共有3个，1个是，另外2个在区间内，当时，可求得，令即可求出另外2个零点．
【详解】由可知，函数的图像每向右平移2个单位长度，函数值变为原来的3倍，
当时，，
作出函数的大致图像，如图所示：
当时，函数的零点，即方程的根，
由图像可知，方程的根共有3个，1个是，另外2个在区间内，
当时，则，
，
又，，即，
，即，
令得，解得，
当时，函数的零点是3，，．
故答案为：．
23．（2023·全国·高三专题练习）定义在上函数满足，且当时，．若当时，，则的最小值等于________．
【答案】
【分析】转化条件为在区间上，，作出函数的图象，数形结合即可得解．
【详解】当时，故，
当时，故…，
可得在区间上，，
所以当时，，作函数的图象，如图所示，
当时，由得，
由图象可知当时，，所以的最小值为．
故答案为：．
24．（2021·全国·高一专题练习）定义在上的函数满足，且当时，，若当时，，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】根据已知条件分别求出，，的解析式，再作出函数的图象，数形结合即可求解.
【详解】由可得
当时，，，
当时，
，
当时，
，
作出函数的图象如图所示：
时，，令，
解得：或，
当时，恒成立，
当时，，
当时，
所以当时，恒成立，
综上所述：当时，恒成立，
若当时，，则的最小值是，
故答案为：.