浙江省杭州市外国语学校2024-2025学年高三（下）数学第2周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份浙江省杭州市外国语学校2024-2025学年高三（下）数学第2周阶段性训练模拟练习【含答案】，共17页。试卷主要包含了设a，b，c分别为函数f，若tan，已知函数f，已知cs，若，则向量与的夹角为，已知x+y＝++8，当x＝1时，函数f等内容，欢迎下载使用。
1．设a，b，c分别为函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝xlgx﹣1，h（x）＝xex﹣1的零点，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞a＞bD．b＞a＞c
2．若tan（α+β）＝7，，则tan2α＝（ ）
A．B．﹣2C．D．
3．已知函数f（x）＞0，且若f（8）＝1，则（ ）
A．f（1）≥3B．f（2）≤10C．f（3）≤31D．f（4）≤16
4．已知cs（﹣α）＝，则sin（α+）＝（ ）
A．±B．C．﹣D．
5．若，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．已知x+y＝++8（x，y＞0），则x+y的最小值为（ ）
A．5B．9C．4+D．10
7．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a7＞0，a6+a9＜0，则（ ）
A．数列{an}为递增数列B．a8＞0
C．Sn的最大值为S7D．S14＞0
8．当x＝1时，函数f（x）＝alnx+bx2+3取得最大值2，则f（3）＝（ ）
A．2ln3+2B．C．2ln3﹣6D．﹣4
二．多选题（共4小题）
（多选）9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱AC，A1B的中点，则（ ）
A．MN∥平面ADD1A1
B．MN⊥AC1
C．直线MN与直线A1C1所成角为
D．若，则平面M，N，C1，E四点共面
（多选）10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝f（x）的最小正周期为2π
B．函数y＝f（x）在单调递减
C．函数y＝f（x）的图象关于直线对称
D．该图象向右平移个单位可得y＝2sin2x的图象
（多选）11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（ ）
A．对于任意直线m，均有AE⊥PF
B．不存在直线m，满足
C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切
D．存在直线m，使|AF|+|BF|＝2|DF|
（多选）12．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，△ABC为等边三角形，M为AC的中点，AB＝BD＝2，AD＝，且AC⊥BD，则（ ）
A．BM⊥平面ACD
B．O∉平面ABC
C．O到AC的距离为
D．二面角A﹣CD﹣O的正切值为
三．填空题（共3小题）
13．已知a，b∈（0，1）∪（1，+∞），4lgab+lgba＝4，则+ln的最小值为 ．
14．已知双曲线的两个焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），c＞0，以F1F2为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为P，若直线PF1与圆相切，则双曲线的离心率是 ．
15．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b＝ ．
四．解答题（共5小题）
16．已知函数在定义域上有两个极值点x1，x2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若，求a的取值范围．
17．已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形．
（1）求椭圆方程；
（2）设直线l1：y＝kx+m与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于l1的直线l2与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C．记直线OP的斜率为k1，直线BC的斜率为k2．①求的值；②若O，P，B，C四点围成的四边形为平行四边形，求的值．
18．已知数列{an}满足，．
（1）证明：是等比数列；
（2）设，证明：．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，DC∥AB，PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，E为棱PB上一点．
（1）若E是PB的中点，求证：直线CE∥平面PAD；
（2）若，且二面角E﹣AC﹣B的平面角的余弦值为，求三棱锥E﹣ABC的体积．
20．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）＝x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知函数f（x）＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）（a≠0）．
（1）当a＝1，b＝﹣3时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若f（x）的两个不动点为x1，x2，且f（x1）+x2＝，求实数b的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：因为单调递增，令y＝0，解得x＝1，所以a＝1；
若0＜x≤1，则xlgx≤0，所以xlgx﹣1＝0时，x＞1，即b＞1；
若x≥1，则xex＞1，所以xex﹣1＝0时，0＜x＜1，即0＜c＜1．
综上所述，0＜c＜1＝a＜b．
故选：D．
2．【解答】解：∵，
∴＝21，
∴tan（α+β）tan（α﹣β）＝21，又tan（α+β）＝7，
∴tan（α﹣β）＝3，
∴tan2α＝tan[（α+β）+（α﹣β）]
＝＝＝．
故选：A．
3．【解答】解：由f（8）＝1逆推得，
f（8）＝1→f（7）＝2→f（6）＝4→f（5）＝8→f（4）＝16→f（3）＝32→f（2）＝64→f（1）＝128；
f（8）＝1→f（7）＝2→f（6）＝4→f（5）＝8→f（4）＝16→f（3）＝32→f（2）＝64→f（1）＝21；
f（8）＝1→f（7）＝2→f（6）＝4→f（5）＝8→f（4）＝16→f（3）＝5→f（2）＝10→f（1）＝20；
f（8）＝1→f（7）＝2→f（6）＝4→f（5）＝8→f（4）＝16→f（3）＝5→f（2）＝10→f（1）＝3；
f（8）＝1→f（7）＝2→f（6）＝4→f（5）＝1→f（4）＝2→f（3）＝4→f（2）＝8→f（1）＝16；
f（8）＝1→f（7）＝2→f（6）＝4→f（5）＝1→f（4）＝2→f（3）＝4→f（2）＝1→f（1）＝2．
所以，f（4）≤16．
故选：D．
4．【解答】解：∵已知cs（﹣α）＝，则sin（α+）＝cs[﹣（α+）]＝cs（﹣α）＝，
故选：D．
5．【解答】解：根据题意，设||＝t，则|+|＝|﹣|＝2t，
变形可得：2+2+2•＝2+2﹣2•，则有•＝0，
（）•＝2﹣•＝3t2，
则cs＜，＞＝＝＝，
又由0≤＜，＞≤π，则向量与的夹角为，
故选：A．
6．【解答】解：根据题意，x+y＝++8，则（x+y）2＝（++8）（x+y）＝5+8（x+y）++，
变形可得：（x+y）2﹣8（x+y）﹣5＝+，
又由+≥2＝4，当且仅当y＝2x时等号成立，
则有（x+y）2﹣8（x+y）﹣9≥0，
设t＝x+y，又由x，y＞0，则t＞0，
则有t2﹣8t﹣9≥0，
解可得t≥9或t≤﹣1，
又由t＞0，则t≥9，
则x+y的最小值为9；
故选：B．
7．【解答】解：因为等差数列{an}中，a7＞0，a6+a9＝a7+a8＜0，
所以a8＜0，d＜0，数列{an}为递减数列，AB错误，
当n＝7时，Sn取得最大值，C正确，
因为S14＝＝7（a7+a8）＜0，D错误．
故选：C．
8．【解答】解：因为f（x）＝alnx+bx2+3，所以f′（x）＝+2bx，
又当x＝1时，函数f（x）＝alnx+bx2+3取得最大值2，
所以f（1）＝2，f′（1）＝0，即，
解得b＝﹣1，a＝2，
所以f（x）＝2lnx﹣x2+3，f′（x）＝﹣2x＝，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，符合题意，
所以f（3）＝2ln3﹣6．
故选：C．
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱AC，A1B的中点，
以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
设AB＝2，则A（2，0，0），B（2，2，0），M（1，1，0），N（2，1，1），＝（1，0，1），
AB⊥平面ADD1A1，∴＝（0，2，0）是平面ADD1A1的法向量，
∵＝0，MN⊄平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1，故A正确；
C1（0，2，2），＝（﹣2，2，2），∴＝﹣2+0+2＝0，∴MN⊥AC1，故B正确；
A1（2，0，2），＝（﹣2，2，0），
cs＜，＞＝＝＝﹣，
∴直线MN与直线A1C1所成角为，故C错误；
∵，∴E（2，，2），
∴＝（0，，1），＝（﹣1，1，2），
设平面MNC1的法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，3，﹣1），
则点E到平面MNC1的距离为d＝＝0，
∴若，则平面M，N，C1，E四点共面，故D正确．
故选：ABD．
10．【解答】解：由图象可知：A＝2，周期，
∴；
由，解得：，
故函数．
对于A：T＝π，故A错误；
对于B：当时，因为[﹣π，0]上正弦函数y＝sinx先减后增，不单调，所以y＝f（x）在上不单调，故B错误；
对于C：当时，即直线是y＝f（x）的一条对称轴，故C正确；
对于D：y＝f（x）的图像向右平移个单位得到的图像，故D正确．
故选：CD．
11．【解答】解：对于A：如图1：由抛物线知O为DF的中点，l∥y轴，所以E为线段PF的中点，由抛物线的定义知|AP|＝|AF|，所以AE⊥PF，故A正确；

B选项，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1＞x2，F（1，0），P（﹣1，y1），E为线段PF的中点，则E（0，），
＝（1﹣x2，﹣y2），＝（x2，y2﹣），由，得，解得x2＝，y1＝3y2，
又y12＝4x1，y22＝4x2，故B（，），A（3，2），D（﹣1，0），
可得kDA＝＝，kDB＝＝，故存在直线m，满足．故B不正确；
C选项：由题意知，E为线段PF的中点，从而设A（x1，y1），则E（0，），
直线AE的方程：y＝（x+x1），与抛物线方程y2＝4x联立可得：
y＝（+x1），由y12＝4x1，代入左式整理得y1y2﹣2y12y+y13＝0，
∴Δ＝4y14﹣4y1y13＝0，所以直线AE与抛物线C相切，故C正确；
对于D：设AB的方程my＝x+1，联立，则y2＝4（my﹣1），∴y1+y2＝4m，y1y2＝4，
由|AF|+|BF|＝|BH|+|AP|＝2++＝2+[（y1+y2）2﹣2y1y2]＝4m2，
而|DF|＝2，由m（4﹣y22）＝4y2，得Δ＝16m2﹣16＞0，解得：m2＞1，
故4m2＞4＝2|DF|，故D错误；
故选：AC．
12．【解答】解：设△ABC的中心为G，过点G作直线l⊥平面ABC，
则球心O在l上，由M为AC的中点，得BM⊥AC，
因为AC⊥BD，所以AC⊥平面BDM，则AC⊥DM，
所以AD＝DC＝，所以AD2+DC2＝AC2，
所以∠ADC＝90°，DM＝AC＝1，
所以DM2+BM2＝BD2，
所以BM⊥DM，可得BM⊥平面ACD，
所以球心O在直线MB上，因此O与G重合，
过M作MH⊥CD于H，
连接OH，则OH⊥CD，
从而∠OHM为二面角A﹣CD﹣O的平面角，
因为OM＝＝，HM＝＝，
所以O到AC的距离为，且tan∠OHM＝＝．
故选：AD．
三．填空题（共3小题）
13．【解答】解：a，b∈（0，1）∪（1，+∞），4lgab+lgba＝4lgab+＝4，
所以lgab＝，
所以a＝b2，
则+ln＝lnb，
令f（x）＝lnx+，x＞0且x≠1，
则f′（x）＝＝，
当x∈（0，1）∪（1，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
故x＝2时，f（x）取得最小值f（2）＝1+ln2，
所以+ln的最小值为 1+ln2．
故答案为：1+ln2．
14．【解答】解：由题意可得：EM∥F2P，
又，F1（﹣c，0），F2（c，0），
又，
则＝，
则，
在直角三角形PF1F2中，由勾股定理可得：，
即，
即7b＝4a，
即49（c2﹣a2）＝16a2，
即．
故答案为：．
15．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．
∴|PF1|+|PF2|＝2a，＝4c2，，
∴（|PF1|+|PF2|）2＝4c2+2|PF1||PF2|＝4a2，
∴36＝4（a2﹣c2）＝4b2，
∴b＝3．
故答案为3．
四．解答题（共5小题）
16．【解答】解：（1）由已知，f（x）的定义域为（0，+∞），，
因为函数f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，则x1，x2为方程ax2﹣2x+1＝0的两个不等的正根，
所以，解得0＜a＜1，
所以实数a的取值范围为（0，1）；
（2）由（1）得0＜a＜1，，
所以
＝，
代入，
得，其中0＜a＜1，
则，得，
设g（x）＝x﹣xlnx，0＜x＜1，
则g′（x）＝1﹣（1+lnx）＝﹣lnx，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，
即g（x）在（0，1）上单调递增，又，
所以g（a）＜g（），所以0＜a＜，
即a的取值范围为（0，）．
17．【解答】解：（1）由题意a＝2c＝2，从而a＝2，c＝1，
所以椭圆方程为；
（2）①由，化简得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0（*），
则Δ＝（8km）2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）＝0，解得：m2＝4k2+3，
此时方程（*）可化为：m2x2+8kmx+16k2＝0，
解得：（由条件可知：k，m异号），设P（x0，y0），
则，，
所以，所以，
因为l1∥l2，所以可设直线l2：y＝kx+n（n≠0，n≠m），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，化简得（4k2+3）x2+8knx+4n2﹣12＝0，
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实根，
则，，
因为A，C两点关于原点对称，所以C（﹣x1，﹣y1），
则
＝，
所以；
②设直线l1与y轴交于点Q，直线l2与y轴交于点N，则S△PAB＝S△QAB，
于是，
由①可知：OP∥BC，若O，P，B，C四点围成的四边形为平行四边形，
则还需|OP|＝|BC|，即|OP|2＝|BC|2，
由①可知：，所以，
又B（x2，y2），C（﹣x1，﹣y1），
所以
＝，
由|OP|2＝|BC|2可得：4m2n2＝（4k2+3）2，
又m2＝4k2+3，所以m2＝4n2，即m＝±2n，
当m＝2n时，，
当m＝﹣2n时，，
综上，．
18．【解答】解：（1）由已知得，即，
，
∴是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）知，，∴，
，
∴
＝．
19．【解答】解：（1）证明：取PA的中点F，连EF，DF，
∵E为PB的中点，∴EF∥AB且，
又CD∥AB，且，
∴EF∥CD，EF＝CD，
∴四边形CDFE为平行四边形，
∴CE∥DF，
又CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD，
故直线CE∥平面PAD．
（2）以A为坐标原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示，
则A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，2，0），C（1，1，0），
设E（x，y，z），则，，
∵E在棱PB上，∴可设，
故（x，y，z﹣1）＝λ（0，2，﹣1），
解得，即E（0，2λ，1﹣λ），
易知平面ACB的法向量为，
设平面ACE的法向量，，，
则，∴，
即，
即，
取x2＝1，则y2＝﹣1，，
故，
因为二面角E﹣AC﹣B的平面角的余弦值为，
所以，
即，
即，
，
解得，
故E是PB的中点，
因此．
20．【解答】解：（1）当a＝1，b＝﹣3时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，
设x0为不动点，因此，
解得x0＝﹣1或x0＝4，
所以﹣1、4为函数f（x）的不动点；
（2）因为f（x）恒有两个不动点，
即f（x）＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）＝x恒有两个不等实根，
整理为ax2+bx+（b﹣1）＝0，
∴Δ＝b2﹣4a（b﹣1）＞0恒成立．
即对于任意b∈R，b2﹣4ab+4a＞0恒成立．
令g（b）＝b2﹣4ab+4a，
则．
解得0＜a＜1；
（3）∵，
∴＝＝．
∵0＜a＜1，即1＜a+1＜2，
∴，
∴，∴．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：202题号
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答案
D
A
D
D
A
B
C
C