专题四　微创新　立体几何与其他知识的综合问题 -2025年高考数学二轮复习课件（含练习）

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随着高考改革的不断推进，近期各地的模拟题呈现的考查方向百花齐放，在立体几何中以空间图形为背景的试题，其考查的知识内容和范围，涉及代数、几何、三角、向量、新定义等学科分支，对综合运用各种知识技能解题的灵活性要求有所加强，应予以重视.
立体几何与其他知识的交汇问题
立体几何中的新定义、新情境问题
(2)设点Q到平面PBC的距离为d1，点Q到直线AB的距离为d2，求d1+d2的最小值.
将立体几何与解析几何巧妙结合，是考核的创新.点、线、面的变化必然导致位置关系或一些量的变化，在具体问题中，让变量变化，考虑由此变化所引发的其他量的变化，构建目标函数，则可将立体几何问题用代数方法解决.
(2024·柳州模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，E为PD的中点，且满足AE∥平面PBC，(1)证明：DC=2AB；
②求球面△ABC的面积.
通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
[空间三面角余弦定理]类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，二面角A-PC-B的大小为θ，则cs γ=cs αcs β+sin αsin βcs θ.(1)如图2，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°，∠BAC=45°，求∠A1AB的余弦值；
(3)如图3，已知三棱锥O-ABC，OA=a，OB=b，OC=c，侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为S△OAB，S△OAC，S△OBC，以OA，OB，OC为棱的二面角分别为θ1，θ2，θ3，试猜想正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明.
(1)集合M={(x，y，z)|z=0}表示Oxy平面上所有的点，P={(x，y，z)||x|≤1，|y|≤1，|z|≤1}表示(±1，±1，±1)这八个顶点形成的正方体内所有的点，而P∩M可以看成正方体在Oxy平面上的截面内所有的点，发现它是边长为2的正方形，因此S1=4.对于Q={(x，y，z)||x|+|y|+|z|≤2}，当x，y，z>0时，x+y+z=2表示经过(2，0，0)，(0，2，0)，(0，0，2)的平面在第一象限的部分.由对称性可知Q表示(±2，0，0)，(0，±2，0)，(0，0，±2)这六个顶点形成的正八面体内所有的点.
(2)①当n=6时，若图2中，点F1，F2，…，F6将半圆平均分成7等份，求(E1F1-2)·(E2F2-2)·(E3F3-2)；
②证明： ·E1F1+ ·E2F2+…+ ·EnFn+ ·BC