专题三　微拓展　数列中的新定义问题 -2025年高考数学二轮复习课件（含练习）

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随着高考改革的不断推进，解答题中压轴题越来越新颖，在各地的模拟题中，新定义数列题型出现的越来越多，常以新定义、新运算和新构造形式呈现，有时还伴随着数列与集合，难度较大.
数列中的新定义、新运算问题
　(2024·武汉模拟)对于数列{an}，如果存在等差数列{bn}和等比数列{cn}，使得an=bn+cn(n∈N*)，则称数列{an}是“优分解”的.(1)证明：如果{an}是等差数列，则{an}是“优分解”的；
(2)记Δan=an+1-an，Δ2an=Δan+1-Δan(n∈N*)，证明：如果数列{an}是“优分解”的，则Δ2an=0(n∈N*)或数列{Δ2an}是等比数列；
(3)设数列{an}的前n项和为Sn，如果{an}和{Sn}都是“优分解”的，并且a1=3，a2=4，a3=6，求{an}的通项公式.
遇到新定义、新运算问题，应耐心读题，分析新定义、新运算的特点，弄清新定义的性质，按新定义、新运算的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
(2)若数列{ln cn}为m阶等差数列，求证：{cn}为m阶等比数列；
(3)若数列{ln cn}既是m阶等差数列，又是m+1阶等差数列，证明：{cn}是等比数列.
新情境题型或给出几个新模型来创设新问题的情境，应耐心读题，在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息迁移，达到灵活解题的目的.
(2024·江西省重点中学盟校联考)随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES，DES，RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为φ(n).(1)试求φ(1)+φ(9)，φ(7)+φ(21)的值；
(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示φ(pk)(k∈N*)，并探究φ(pq)与φ(p)和φ(q)的关系；
1.(2024·黄山统考)北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”，沈括“用刍童(长方台)法求之，常失于数少”，他认为堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把他们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物(如图)，
2.设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，an为n(n=2，3，4，…)阶“曼德拉数列”：①a1+a2+a3+…+an=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=1.(1)若某2k(k∈N*)阶“曼德拉数列”{an}是等比数列，求该数列的通项公式(1≤n≤2k，用k，n表示)；
(2)若某2k+1(k∈N*)阶“曼德拉数列”{an}是等差数列，求该数列的通项公式(1≤n≤2k+1，用k，n表示)；