2025年高考数学核心考点归纳第5讲、一元二次不等式与其它不等式解法特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学核心考点归纳第5讲、一元二次不等式与其它不等式解法特训(学生版+解析)，共21页。试卷主要包含了一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式等内容，欢迎下载使用。
1、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上．
（2） = 1 \* GB3 ①若，解集为．
= 2 \* GB3 ②若，解集为．
= 3 \* GB3 ③若，解集为．
（2） 当时，二次函数图象开口向下．
= 1 \* GB3 ①若，解集为
= 2 \* GB3 ②若，解集为
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【解题方法总结】
1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．
2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．
3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
必考题型全归纳
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集
例1．（2024·上海金山·统考二模）若实数满足不等式，则的取值范围是__________.
例2．（2024·高三课时练习）不等式的解集为______．
例3．（2024·高三课时练习）函数的定义域为______．
例4．（2024·高三课时练习）不等式的解集为______．
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
1、数形结合处理．
2、含参时注意分类讨论．
例5．（2024·全国·高三专题练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
例6．（2024·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2024·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
例8．（2024·全国·高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
【解题总结】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．B．不等式的解集为
C．D．不等式的解集为
例10．（2024·全国·高三专题练习）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( )
A．B．
C．D．
例11．（2024·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例12．（2024·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．若关于x的不等式的解集为，则
D．若关于x的不等式的解集为，且，则
例13．（2024·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．－2B．1C．2D．8
题型四：其他不等式解法
【解题总结】
1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2、根式不等式绝对值不等式平方处理．
例14．（2024·北京海淀·统考一模）不等式的解集为_________．
例15．（2024·全国·高三专题练习）不等式的 的解集是______
例16．（2024·上海·高三专题练习）若不等式，则x的取值范围是____________．
例17．（2024·上海浦东新·统考三模）不等式的解集是__________．
例18．（2024·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知集合，则___________．
题型五：二次函数根的分布问题
【解题总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向．
例19．（2024·全国·高三专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．
例20．（2024·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．
例21．（2024·全国·高三专题练习）若方程有两个不相等的实根，则可取的最大整数值是______.
例22．（2024·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围为________.
题型六：一元二次不等式恒成立问题
【解题总结】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
（1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论．
例23．（2024·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．
例24．（2024·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________．
例25．（2024·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是______.
例26．（2024·全国·高三专题练习）若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是______．
例27．（2024·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____.
第5讲 一元二次不等式与其它不等式解法
知识梳理
1、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上．
（2） = 1 \* GB3 ①若，解集为．
= 2 \* GB3 ②若，解集为．
= 3 \* GB3 ③若，解集为．
（2） 当时，二次函数图象开口向下．
= 1 \* GB3 ①若，解集为
= 2 \* GB3 ②若，解集为
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【解题方法总结】
1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．
2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．
3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
必考题型全归纳
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集
例1．（2024·上海金山·统考二模）若实数满足不等式，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】不等式，即，解得，则的取值范围是.
故答案为：.
例2．（2024·高三课时练习）不等式的解集为______．
【答案】
【解析】解:由题知不等式为,
即,
即,
解得,
所以解集为.
故答案为:
例3．（2024·高三课时练习）函数的定义域为______．
【答案】
【解析】要使函数有意义，则 ，解得.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
例4．（2024·高三课时练习）不等式的解集为______．
【答案】
【解析】不等式即，
的根为，
故的解集为，
即不等式的解集为，
故答案为：
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
1、数形结合处理．
2、含参时注意分类讨论．
例5．（2024·全国·高三专题练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得：，，解得：，；
由得：；
“”是“”的充分不必要条件，，
当时，，不满足；当时，，不满足；
当时，，若，则需；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：A.
例6．（2024·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】不等式即 ，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是3,4,5,6，故，
当时，不等式解集为 ，此时不符合题意；
当 时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是 ，故，，
故实数m的取值范围为，
故选：C
例7．（2024·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
【解析】方程： 且
解得方程两根：；
当时，原不等式的解集为：
当时，原不等式的解集为：
综上所述, 当时，原不等式的解集为：
当时，原不等式的解集为：
例8．（2024·全国·高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】原不等式可以转化为：，
当时，可知，对应的方程的两根为1，，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.
故选：A.
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
【解题总结】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．B．不等式的解集为
C．D．不等式的解集为
【答案】B
【解析】因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；
由题得，所以为.所以选项B正确；
设，则，所以选项C错误；
不等式为，所以选项D错误.
故选：B
例10．（2024·全国·高三专题练习）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.
故选：A.
例11．（2024·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】的解集是，，得，
则不等式，
即，解得：，
所以不等式的解集是.
故选：D
例12．（2024·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．若关于x的不等式的解集为，则
D．若关于x的不等式的解集为，且，则
【答案】C
【解析】由题意，所以正确;
对于:，当且仅当，即时成立,
所以正确;
对于,由韦达定理，可知，所以错误;
对于,由韦达定理，可知，
则，解得，
所以正确,
故选：.
例13．（2024·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．－2B．1C．2D．8
【答案】C
【解析】由题意可知，方程的两个根为m，，则，解得：，故，，
所以，当且仅当，即时取等号，则，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值为2.
故选：C.
题型四：其他不等式解法
【解题总结】
1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2、根式不等式绝对值不等式平方处理．
例14．（2024·北京海淀·统考一模）不等式的解集为_________．
【答案】或
【解析】根据分式不等式解法可知等价于，
由一元二次不等式解法可得或；
所以不等式的解集为或.
故答案为：或
例15．（2024·全国·高三专题练习）不等式的 的解集是______
【答案】：
【解析】则或
【考点定位】本题考查将分式不等式等价转化为高次不等式、考查高次不等式的解法
例16．（2024·上海·高三专题练习）若不等式，则x的取值范围是____________．
【答案】
【解析】∵，则，解得，
∴x的取值范围是.
故答案为：.
例17．（2024·上海浦东新·统考三模）不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】当时，，解得，此时解集为空集，
当时，，即，符合要求，此时解集为，
当时，，解得，此时解集为空集，
综上：不等式的解集为.
故答案为：
例18．（2024·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知集合，则___________．
【答案】
【解析】，
.
故.
故答案为：
题型五：二次函数根的分布问题
【解题总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向．
例19．（2024·全国·高三专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．
【答案】
【解析】令，图象恒过点，
方程0在区间内有两个不同的根，
，解得.
故答案为：
例20．（2024·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．
【答案】.
【解析】方程
方程两根为，
若要满足题意，则，解得，
故答案为：.
例21．（2024·全国·高三专题练习）若方程有两个不相等的实根，则可取的最大整数值是______.
【答案】1
【解析】方程化为，
由，解得，
所以最大整数值是.
故答案为：1.
例22．（2024·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】，故，
，，
将看成方程的两根，则，
即，故，解得.
故答案为：
题型六：一元二次不等式恒成立问题
【解题总结】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
（1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论．
例23．（2024·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】原不等式可化为对恒成立．
（1）当时，若不等式对恒成立，
只需，解得；
（2）当时，若该二次不等式恒成立，
只需，解得，
所以；
综上：.
故答案为：
例24．（2024·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】由不等式对恒成立，
可转化为对恒成立，即，
而，
当时，有最大值，所以，
故答案为：．
例25．（2024·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为，所以由得，
因为关于的不等式在区间上有解，
所以只需小于等于的最大值，
当时，，
当时，，当且仅当时，等号成立，
故的最大值为1，
所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
例26．（2024·全国·高三专题练习）若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】，使关于的不等式成立，
则，即，，
令，，则对勾函数在上单调递增，
所以，
故
故答案为：
例27．（2024·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____.
【答案】
【解析】可转化为.
设，则是关于m的一次型函数.
要使恒成立，只需，
解得.
故答案为：