2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第六章：数列(模块综合调研卷)(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第六章：数列(模块综合调研卷)(学生版+解析)，共22页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．已知等差数列中，，，则（ ）
A．600B．608C．612D．620
2．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．3
3．设等比数列中，，使函数在时取得极值，则的值是（ ）
A．或B．或
C．D．
4．已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数，按照上述规则实施第次运算的结果为，若，且均不为1，则（ ）
A．5或16B．5或32
C．5或16或4D．5或32或4
7．已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值m（ ）
A．有且仅有1个值B．有且仅有2个值C．有且仅有3个值D．有无数多个值
8．给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列.已知为的牛顿数列，，且，数列的前项和为．则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．数列的前项和为，若， ，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为递增数列D．为周期数列
10．已知数列满足，，则（ ）
A．数列单调递减B．
C．D．
11．如图，是一块半径为的圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆其直径为前一个剪掉半圆的半径得图形，，，，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．已知数列的通项公式为: ，其前项和为 ，若成等比数列， 则 k=
13．已知数列中，，，若，则数列的前项和 .
14．已知函数，数列满足，，，则 ．
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．数列满足，且
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和．
16．已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，，，数列满足，．
(1)求，，；
(2)求数列的前n项和．
17．已知数列中，
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围.
18．已知数列满足：，正项数列满足：，且，，．
(1)求，的通项公式；
(2)已知，求：；
(3)求证：．
19．若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，．
(1)证明：；
(2)若，证明：；
(3)若，，求的最大值．
第六章：数列（模块综合调研卷）
（19题新高考新结构）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．已知等差数列中，，，则（ ）
A．600B．608C．612D．620
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出通项公式并求出和.
【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，
因此，，
显然构成等差数列，
所以.
故选：B
2．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】
根据等比数列的求和公式或者等比数列的性质解析即可；
【详解】
法一：设等比数列的公比为，若，则，所以；
由，得，即，所以，
解得，则.
故选：C.
法二：设等比数列的公比为，若，则，所以；
由等比数列的性质知成等比数列，其公比为，设，显然，则，，
所以，所以.
故选：C.
3．设等比数列中，，使函数在时取得极值，则的值是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】D
【分析】根据在时取得极值，可求得，，代回验证可得，，再根据等比数列的性质即可求解.
【详解】由题意，
因为在时取得极值，
所以，
解得或，
当，时，
，
所以在上单调递增，不合题意，
当，时，
，
所以时，，
时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时取得极小值，满足题意，
所以，
又，，同号，
所以.
故选：.
4．已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等差数列前项和的性质及和与项的关系即可求解.
【详解】由，可得，
因为数列，都是等差数列，
所以不妨令，
所以，
，
所以.
故选：C
5．已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用的关系式可得数列是以为首项，为公比的等比数列，再由是递增数列可得恒成立，即可得.
【详解】当时，，解得；
当时，由，得，
两式相减得，
所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，
可得，所以；
因为数列是递增数列，所以对于任意的恒成立，
即，即恒成立，
因为时，取得最小值3，故，
即的取值范围是.
故选：C.
6．“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数，按照上述规则实施第次运算的结果为，若，且均不为1，则（ ）
A．5或16B．5或32
C．5或16或4D．5或32或4
【答案】B
【分析】根据“角谷猜想”的规则，由倒推的值.
【详解】由题知，因为，则有：
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，则；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且；
若为奇数，则，可得；若为偶数，则.
综上所述：或32.
故选：B
7．已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值m（ ）
A．有且仅有1个值B．有且仅有2个值C．有且仅有3个值D．有无数多个值
【答案】A
【分析】根据题意求公差和公比，令，分情况讨论，结合数列单调性分析判断.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，，，
则，解得，
令，
可得，此时满足只有成立；
若，则，
（1）若为奇数，则，不满足；
（2）若为偶数，则，且，
即，可得，即不成立；
综上所述：满足的数值m有且仅有1个值，该值为1.
故选：A.
8．给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列.已知为的牛顿数列，，且，数列的前项和为．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据定义求得数列的递推公式，然后代入可得的递推公式，根据递推公式可知为等比数列，然后由等比数列求和公式可得.
【详解】由可得，，
，则两边取对数可得.
即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
故选：A.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．数列的前项和为，若， ，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为递增数列D．为周期数列
【答案】BCD
【分析】根据题意，分别求得，，，得到数列构成以4为周期的周期数列，逐项判定，即可求解．
【详解】解：由题意，数列满足， ，
当时，，当时，，A错误；
当时，；
若为奇数，则，为偶数，，为奇数，
则，，，；
若为偶数，则，为奇数，，为偶数，
则，，，.
所以数列是以4为周期的周期数列.
故，B正确：
又由，故递增，C正确；
由上述讨论可知，的项为1，，1，，故是周期数列，D正确．
故选：BCD．
10．已知数列满足，，则（ ）
A．数列单调递减B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对A：通过计算得到，则有，即可得到；对B：作差构造不等式计算即可得；对C：通过计算、找出反例即可得；对D：通过递推公式变形，再构造放缩可得.
【详解】对A选项：由，，则，
依次类推可得当时，有，
故，故数列单调递减，即A正确；
对B选项：由，
则，
由，当时，，
故，
即，故B正确；
对C选项：，则，，
即，故C错误；
对D选项：由，故，
即，
故有，，， ，
累加有，即，故，，
故，即有，
又，
故当时，，
，，，
又，
累加有，，
即，
即，故，
故，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用递推关系合理构造及放缩法的巧妙运用.
11．如图，是一块半径为的圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆其直径为前一个剪掉半圆的半径得图形，，，，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用列举前几项的方法，判断AB；根据列举的规律，写出，再求和，判断C；利用与的关系，即可判断D.
【详解】根据图形生成的规律可知，
，，，故A正确；
，，，故B正确；
根据题意可知，图形中被剪去的最小的半圆的半径为，
所以当
故C错误；
根据题意可知，图形中被剪去的最小的半圆的半径为，
，故D正确．
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过列举的方法，发现图形间的规律，转化为数列问题，进行数学计算.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．已知数列的通项公式为: ，其前项和为 ，若成等比数列， 则 k=
【答案】6
【分析】根据等比中项结合等差数列的前n项和公式求出，再解方程，即可求得答案.
【详解】因为成等比数列，所以 ，
由于数列的通项公式为: ，
故是首项为1，公差为2的等差数列，且前项和为，
所以 ，所以 (舍去负值)，
所以 (舍去负值)，
故答案为：6
13．已知数列中，，，若，则数列的前项和 .
【答案】
【分析】根据条件，先构造等比数列求出，再由得，从而可求和.
【详解】由，有，
，两式相除得到，
所以是以为公比，为首项的等比数列，
所以，则，
所以，
所以.
故答案为：.
14．已知函数，数列满足，，，则 ．
【答案】2
【分析】根据函数性质分析可知：在上单调递增，且为奇函数，进而可得，结合数列周期性分析求解.
【详解】由题意可知：的定义域为，
且，即，
可知为定义在上的奇函数；
且，
因为在上单调递增，可知在上单调递增；
综上所述：在上单调递增，且为奇函数.
因为，则，
可得，即，
由可知：3为数列的周期，则，
且，所以.
故答案为：2.
【点睛】易错点睛：本题分析的奇偶性的同时，必须分析的单调性，若没有单调性，由无法得出.
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．数列满足，且
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）利用定义法即可证明等比数列.
（2）利用等比数列求和公式化简即可.
【详解】（1）由已知，，所以
故，又因为，所以
所以数列是首项为，公比为的等比数列
（2）由（1）知，令
，所以
所以
故
16．已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，，，数列满足，．
(1)求，，；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，，10507
(2)
【分析】（1）首先利用数列与的关系，求得，再赋值求，再利用时，，即可求得；
（2）由（1）可知，，再利用分组转化，以及错位相减法求和.
【详解】（1）因为，，又数列各项均不为零，所以．当时，，所以
当时，，所以，
，两式相减可得，，
∴
；
（2）由（1）可知，，
设，
当时，数列的前项和为28，
当，数列的前项和为，
设
，
两式相减得，
，
解得：，
，
所以，，
所以.
17．已知数列中，
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）对两边同时除以，即可证明数列是等差数列，再由等差数列的通项公式求出数列的通项公式；
（2）由（1）求出，再由裂项相消法求和求出，则，即，求解即可.
【详解】（1）两边同时除以，
数列是首项，公差为2的等差数列，
，
.
（2），可得，
，即，即恒成立.
.
18．已知数列满足：，正项数列满足：，且，，．
(1)求，的通项公式；
(2)已知，求：；
(3)求证：．
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）由题意可得数列为等差数列，数列为等比数列，再分别求解公差与公比即可求；
（2）代入化简可得，再分组根据错位相减与裂项相消求和即可；
（3）放缩可得，再裂项相消求和即可.
【详解】（1）因为，所以数列为等差数列，设公差为，
因为，所以数列为等比数列，设公比为，且，
因为，，，
所以，即，
解得，
所以，.
（2）由（1）可知，由，
记
作差, 得:
所以,
∴.
（3）令，
因为，且，所以成立；
因为，
所以
，
因为，所以，故，
综上，所以.
19．若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，．
(1)证明：；
(2)若，证明：；
(3)若，，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)10.
【分析】（1）法一：由得到，，，，，累乘法得到；
法二：由得到；
（2）法一：由题意得，从而得到，证明出；
法二：考虑反证法，假设，得到，进而推出，假设不成立；
法三：得到，且，利用累加法得到，证明出结论；
（3）由可得，即，累加得，另外，故，故，化简得：，显然符合题意，此时，综上，的最大值为10．
【详解】（1）法一：由题意得：，∴，
∴，，，，，
将以上式子累乘得：，也即成立．
法二：由题意得：，
∴，∴成立．
（2）法一：∵，∴，
∴，
则，
∴，
∴．
法二：考虑反证法，假设，
由得，
∴，∴，
同理：，
∴，∴，
同理可证：，，…，，
综上可得：，与条件矛盾，
∴假设不成立，∴成立．
法三：∵，∴，也即，
同时，由可得：，
∴，也即，
∴，，…，，
将以上式子累加得：，
也即，同理可得：
，
，
……
，
将以上式子累加得：，
∴，∴，∴成立．
（3）由可得：，
∴，也即，
∴，，…，，
将以上式子累加得：，①
另外，，，…，，
将以上式子累加得：，②
结合①②式可得：，
∴，化简得：，
另外，显然有符合题意，此时，
综上，的最大值为10．
【点睛】思路点睛：数列的性质可参考这类下凸函数进行理解，不等式相当于函数图象上三条直线的斜率大小关系．