2024-2025学年山东省枣庄市高二上册第一次月考数学质量检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省枣庄市高二上册第一次月考数学质量检测试题（含解析），共22页。试卷主要包含了 选择题的作答， 非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知空间向量，，若，则（ ）
A．1B．C．D．3
2．在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
4．如图，空间四边形OABC中，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
5．设点，，直线过且与线段相交，则l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．以上都不对
6．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点C的坐标是（ ）
A．B．C．D．或
7．唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是（ ）
①的外接球表面积为；
②异面直线与所成角的取值范围是；
③直线平面；
④三棱锥的体积随着点的运动而变化.
A．①②B．①③C．②③D．③④
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知表示圆，则下列结论正确的是（ ）
A．圆心坐标为B．圆心坐标为
C．半径D．半径
10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．直线的方向向量，平面的法向量是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
11．已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（ ）
A．取值范围是
B．当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6
C．当直线l斜率时，AB平分
D．最大值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在正三棱锥中，是的中心，，则 ．
13．已知，，当时，实数的值为 ．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知动点到两直线与的距离之和为 ，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
（1）求经过两条直线和的交点，且与直线垂直的直线方程；
（2）直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程．
16.（本小题15分）
已知直线：及圆.
(1)若直线与圆相切，求的值；
(2)若直线与圆相交于，两点，且弦AB的长为，求的值.
17.（本小题15分）
在中，，，，过点作交于点，以为轴，将向上翻折使平面平面，连接，为线段的中点，为线段上一点．
(1)证明：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求的值．
18.（本小题17分）
已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面，
(1)求证：；
(2)是否存在一点，满足，且使平面与平面所成的锐二面角的余弦值为；若存在，指出点的位置，否则，请说明理由.
19.（本小题17分）
已知圆C：，直线l：是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线上．
(1)求公共弦AB的长度；
(2)求圆E的方程；
(3)过点分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且，求四边形MRNS面积的最大值与最小值．
2024-2025学年山东省枣庄市高二上学期第一次月考数学质量
检测试题
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知空间向量，，若，则（ ）
A．1B．C．D．3
【正确答案】B
【详解】因为，，且，所以，解得，
故选：B.
2．在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
【详解】如图所示，在正三棱锥中，，
可得，
因为点分别是棱的中点，
可得，，
所以
．
故选：D．

3．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【正确答案】D
【详解】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内，
圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示：
易知圆心到直线的距离为，所以，
又，可得；
因此可得，
所以的面积为.
故选：D
4．如图，空间四边形OABC中，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】B
【详解】
.
故选：B.
5．设点，，直线过且与线段相交，则l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．以上都不对
【正确答案】A
【详解】如图所示：

由题意得，所求直线的斜率满足或，
即，或，
，或，
即直线的斜率的取值范围是或．
故选：A．
6．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点C的坐标是（ ）
A．B．C．D．或
【正确答案】A
【详解】设，则由重心坐标公式得的重心坐标为，
代入欧拉线方程得，整理得①，
因为边的中点坐标为，，
所以边的垂直平分线方程为，即.
由，得，
所以的外心坐标为，则，整理得②，
联立①②，解得，或，.
当，时，点、点重合，舍去.
所以顶点的坐标为.
故选：A.
7．唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【详解】设点 关于直线 的对称点 ，
则 的中点为 ， ，
故 ，解得 ，
要使从点 到军营总路程最短， 即为点 到军营最短的距离，
由点与圆上点的距离的最小值为点与圆心距离减去半径知，
“将军饮马”的最短总路程为 ，
故选 ：B
8．如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是（ ）
①的外接球表面积为；
②异面直线与所成角的取值范围是；
③直线平面；
④三棱锥的体积随着点的运动而变化.
A．①②B．①③C．②③D．③④
【正确答案】C
【详解】对于①，根据题意，设棱长为2的正方体外接球半径为,
则满足，可得，
此时外接球的表面积为，可知①错误；
对于②，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，所以，
设，其中；
可得，
异面直线与所成角的余弦值为，
易知时，，
可得，
所以异面直线与所成角的取值范围是，即②正确；
对于③，由②可知，，则；
设平面的法向量为，又，
则，取，则；
所以平面的法向量为，
此时，可得，又平面，
所以直线平面，即③正确；
对于④，根据正方体性质平面，所以，
易知直线到平面的距离是定值，底面的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，因此三棱锥的体积不会随点的运动而变化，即④错误；
综上所述，正确的结论为②③.
故选：C
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知表示圆，则下列结论正确的是（ ）
A．圆心坐标为B．圆心坐标为
C．半径D．半径
【正确答案】BD
【详解】由可得，
所以圆心为，半径为，
所以AC错误，BD正确.
故选：BD
10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．直线的方向向量，平面的法向量是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
【正确答案】AB
【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确；
两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误．
故选：AB
11．已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（ ）
A．取值范围是
B．当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6
C．当直线l斜率时，AB平分
D．最大值为
【正确答案】ACD
【详解】设Mx,y，
因为，即，整理可得，
可知曲线C是以为圆心，半径的圆.
对于选项A：因为，可知点B在曲线C内，且直线l与曲线C必相交，
且，则PQ的最大值为，最小值为，
所以PQ取值范围是，故A正确；
设，
联立方程，消去x可得，
则.
对于选项B：可得，
令，则，
可得，
因为在内单调递增，则的最小值为，
即，则，
可得的面积，
所以面积的最大值为，故B错误；
对于选项C：因为，
又因为，
则，
即，可知，所以AB平分，故C正确；
对于选项D：因为AB平分，则，
可知当与曲线C相切时，取到最大值，
此时，且为锐角，则，
即的最大值为，则的最大值为，
所以最大值为，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在正三棱锥中，是的中心，，则 ．
【正确答案】16
【详解】如图：
首先：，.
又.
所以.
故16
13．已知，，当时，实数的值为 ．
【正确答案】6
【详解】因为，，
所以 ，
因为，
所以，
解得.
故6.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知动点到两直线与的距离之和为 ，则的最大值为 .
【正确答案】
【详解】依题意，，即，
于是得或或或，
动点的轨迹如图中正方形，其中，
表示正方形边上的点与定点确定直线的斜率，
观察图象知，当点与点重合时，直线的斜率最大，
所以的最大值为.
故
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
（1）求经过两条直线和的交点，且与直线垂直的直线方程；
（2）直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程．
【正确答案】（1）； （2）或
【详解】（1）由，得，∴与的交点坐标为．
设与直线垂直的直线方程为，
则，∴．
∴所求直线方程为．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即．
由题意知，
即，
∴，
∴直线l的方程为，即．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线l的距离为3，点到直线l的距离为3，故符合题意．
综述：直线l方程为或.
16.（本小题15分）
已知直线：及圆.
(1)若直线与圆相切，求的值；
(2)若直线与圆相交于，两点，且弦AB的长为，求的值.
【正确答案】(1)或
(2)
【详解】（1）圆心，半径为，
由题意得：，解得或.
（2）如图：
设点到直线的距离为，利用勾股定理得：，
同时利用圆心到直线的距离：，解得.
17.（本小题15分）
在中，，，，过点作交于点，以为轴，将向上翻折使平面平面，连接，为线段的中点，为线段上一点．
(1)证明：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求的值．
【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为平面平面BCDE，平面平面，
且，又平面，
∴平面BCDE，又平面BCDE，∴，
又在中，，则，
又F为CE中点，故，且平面AEC，
则平面AEC.
（2）由（1）知，ED，EB，EA互相垂直，分别以ED，EB，EA为x，y，z轴非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系，

其中，，，，则，，，
不妨设，则，
再设，分别是面ADQ、面EDQ的法向量，
则分别满足与
令，，得到，．
由题意知，，解得，即．
18.（本小题17分）
已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面，
(1)求证：；
(2)是否存在一点，满足，且使平面与平面所成的锐二面角的余弦值为；若存在，指出点的位置，否则，请说明理由.
【正确答案】(1)证明见解析
(2)点为中点时，使平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，理由见解析
【详解】（1）取的中点，连接,
因为，所以，又，所以是等边三角形，
所以，所以是直角三角形，所以，
因为平面平面，平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以；
（2）为中点即可满足条件，理由如下：
取的中点,连接，则，
平面平面，平面，平面平面，
所以平面，由为等边三角形，可得，
在直角三角形中，，
以为坐标原点，以为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
则，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为．
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
于是，解得或（舍去），
所以点为中点时，使平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
19.（本小题17分）
已知圆C：，直线l：是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线上．
(1)求公共弦AB的长度；
(2)求圆E的方程；
(3)过点分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且，求四边形MRNS面积的最大值与最小值．
【正确答案】(1)
(2)
(3)最大值17，最小值
【详解】（1）圆，所以圆的圆心坐标，半径，
圆心到直线的距离，
公共弦；
（2）圆的圆心在直线上，设圆心，
由题意得，，即，到的距离，
所以的半径，
所以圆的方程：；
（3）
当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时，，这时直线的方程为，代入到圆中，，
所以，四边形的面积；
当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，
设直线为：，
则直线为：，
所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，
，，
设，
当或1时，正好是轴及垂直轴，
面积，
当时，最大且，或1时，最小，
四边形面积的最大值17，最小值．