广东省深圳市深圳外国语学校2024-2025学年九年级下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份广东省深圳市深圳外国语学校2024-2025学年九年级下学期开学考试 数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1. -2025的绝对值是（ ）
A. -2025B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键．
【详解】解：-2025的绝对值是，
故选：．
2. 杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成.秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重.如图是常见的一种秤砣，则它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三视图，解题关键是掌握三视图的确定方法，根据从正面看到的图形确定即可．
【详解】解：这个常见的一种秤砣的主视图是
故选A．
3. 2025年大学生毕业人数预计达到1222万，数据1222万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
这里．
【详解】解：．
故选：C．
4. 如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，点的坐标为，点是第三象限内上一点，，则的半径为（ ）
A. 4B. 5C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，由，可得为直径，由四点共圆，可求，则，然后求直径，求半径即可．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴，
∵，
∴为的直径，
∵四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴半径为5，
故选：B．
【点睛】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含的直角三角形，三角形内角和定理等知识．熟练掌握的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含的直角三角形是解题的关键．
5. 一辆汽车从地驶往地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，汽车从地到地一共行驶了．设普通公路长、高速公路长分别为，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，由普通公路占总路程的，结合汽车从A地到B地一共行驶了2.2h，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，依题意，得：
故答案为：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ）

A. 当液体密度时，浸在液体中的高度
B. 当液体密度时，浸在液体中的高度
C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可．
【详解】解：设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
∴h关于的函数解析式为．
A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项正确，符合题意；
D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
7. 为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据图表信息获取其频率信息估计概率，从而根据占比计算其圆心角度数即可．
【详解】解：如图②，随着次数的增加，频率趋向于，
以频率估计概率，即，
优胜奖区域的圆心角，
故选：B．
8. 如图，在等边中，，点在边上，，则长为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，关键是通过添加辅助线，构造直角三角形，过点作点于H，利用等边三角形的性质得到，，解直角三角形求出，，设，则，根据求出的值，进而得到，即可解答．
【详解】解：如图，过点作，
则，
为等边三角形，，
，，
，
，
设，则，
，，
，即，
，
解得：，
则，
，
故选：B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是用提公因式法、平方差公式分解因式，能够熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再用平方差公式来分解因式．
【详解】解∶ ．
故答案为∶ ．
10. 在函数中，常数，，这个函数的图象不经过第________象限．
【答案】二
【解析】
【分析】本体一次函数图象．理解一次函数图象位置与系数的关系是关键． 一次函数的图象是直线，则经过第一、三象限；，则直线与y轴负半轴相交，据此判断即可．
【详解】解：∵函数中，常数，，
∴该函数图象经过一、三、四象限，
∴不经过第二象限，
故答案为：二．
11. 如图，，原点是它们的位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了利用位似图形点的坐标求相似比，利用位似是特殊的相似，求出相似比是，进而即可解答．
【详解】解：∵，点O是位似中心，点A的坐标为，点的坐标为，且，
∴和的位似比为，则和的相似比为，
∴．
故答案为：．
12. 已知点、分别在反比例函数，的图象上，且，则为_____________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过点作轴，过点作轴，证明，利用值的几何意义，结合相似三角形的面积比等于相似比的平方求出，即可．
【详解】解：过点作轴，过点作轴，则：，
∵点、分别在反比例函数，的图象上，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，即：；
故答案为：2．
13. 如图，正方形边长为2，点在边上运动，连接，点在线段上，且，连接．在从A向运动的过程中，线段扫过的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正方形与三角形综合．熟练掌握正方形的性质，等腰直角三角形判定和性质，圆内接四边形性质，圆周角定理，三角形面积公式，扇形面积公式，添加辅助线，是解题的关键．
连接，得，由已知得，得点F是在以为圆周角的圆弧上运动，设为，可得，得，，求出，得线段扫过的面积为．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴点F是在以为圆周角的圆弧上运动，
设圆心为O，点G为优弧（端点除外）上一点，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的切线，
∵，
∴，
∴线段扫过的面积为，
．
故答案为：．
三、解答题（共6题，共61分）
14. （1）计算：．
（2）阅读下列分式的计算过程，请你观察和思考，并回答所提出的问题．
计算：
原式⋯⋯（第一步），
⋯⋯（第二步），
⋯⋯（第三步）．
①上述计算过程是从第________步开始出现错误，错误的原因是________；
②请写出此题正确的计算过程．
【答案】（1）5；（2）①二；丢失了分母；②见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可；
（2）①利用分式的加减法则判断即可；
②先通分，再算减法，再化简可得结论．
【详解】解：（1）
；
（2）①上述计算过程是从第二步开始出现错误，错误的原因是：丢失了分母；
②
．
15. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸(呈酸性)，B：硝酸钾溶液(呈中性)，C：氢氧化钠溶液(呈碱性)，D：氢氧化钾溶液(呈碱性)．
（1）小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果变绿色是______事件(填“随机”“必然”或“不可能”)；
（2）小明将随机选择的两瓶溶液同时滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率(可用A，B，C，D表示)．
【答案】（1）不可能 （2）
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可；
【小问1详解】
解：根据题意“通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色” 可得结果变绿色是不可能事件；
故答案为：不可能．
【小问2详解】
解：列表如下；
由表知，共有12种等可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色有，共2种结果，所以两瓶溶液恰好都变红色的概率为．
16. 如图，是的直径，切于点，交于点，连接、．
（1）①；②；③；
请从以上三个条件中选择一个：________，证明是的切线；
（2）若是的切线，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）选择①，连接，易得是等腰三角形，根据已知结合等腰三角形三线合一证明，进而证明，得到，由切于点，得到，即可得出结论；选择②，根据圆周角定理结合平行线的性质推出，得到，同理选择①方法即可证明；选择③，连接，根据切线的性质结合圆周角定理证明，得到，推出，即可得出结论；
（2）连接，证明，推出，，根据切线的性质结合圆周角定理证明，得到，在中，利用勾股定理即可解答．
【小问1详解】
证明：选择①，
如图，连接，
，
是等腰三角形，
，
是的角平分线，
，
，
∴，
∴，
∵切于点，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
选择②，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理选择①可得：是的切线；
选择③，
如图，连接，
∵切于点，是的直径，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵是的切线，切于点，
∴，，
，，
∴，
∴，
∴，
∵
，
∵切于点，是的直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵切于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：（负值舍去）．
【点睛】本题考查了切线的判定及性质、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定与性质、等边对等角性质，构造三角形全等和相似是解题的关键．
17. 体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考．
表（1）
表（2）
（1）甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由．
（2）无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别．
①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________．
②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？
【答案】（1）甲的说法不正确，理由见解析
（2）①；②过重
【解析】
【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性．
（1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可；
（2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得．
【小问1详解】
解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x米，
根据题意，得，
整理，得，
∵，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即甲叙述错误；
【小问2详解】
解：①由题意可知：，
解得，
故答案为：；
②小王父亲的理想体重（公斤），
实际体重占比，
过重，
答：小王的父亲体重被归类为过重类别．
18. 劳动课上，叶老师给每位同学发了一张等腰三角形彩纸，底边长，底边上的高为，圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为的矩形纸条．
（1）直接写出剪下的第一张矩形纸片长为______；
（2）从下往上剪第几张纸片是正方形纸片？请说明理由．
（3）圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为（，且为整数）的矩形纸条，要剪出正方形纸片，直接写出的一个可能的取值______．
【答案】（1）；
（2）从下往上剪第张纸片是正方形纸片；
（3）或或．
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
（1）设第一张矩形纸片长为，得出等腰三角形彩纸的腰长为，由三角形相似即可列出方程，求解即可；
（2）设从下往上剪第张纸片是正方形纸片，由三角形相似可得：，求解即可；
（3）设从下往上剪第张纸片是正方形纸片，由三角形相似可得：，求解即可．
【小问1详解】
解：设第一张矩形纸片长为，
等腰三角形彩纸，底边长，底边上的高为，
等腰三角形彩纸的腰长为，
由三角形相似可得：，
解得：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：设从下往上剪第张纸片是正方形纸片，
由三角形相似可得：，
解得：，
从下往上剪第张纸片是正方形纸片；
【小问3详解】
解：设从下往上剪第张纸片是正方形纸片，
由三角形相似可得：，
解得：，
，
或或，
故答案为：或或．
19. 如图1，我校“世界广场”内有一圆形喷泉水池，水池正中央有一凸起的圆柱，圆柱上底面刻有世界地图，俯看喷泉水池呈圆环形．水池内圆柱周围均匀安装有12个喷头（用、、…来表示），喷头口与水面持平，每个喷头喷出的水柱为形状相同的抛物线．每天清晨开放喷泉，给校园增添了许多活力．如图2，实测水池（外圆）的半径米，圆柱底面半径米；圆柱露出水面的高度米，每个喷头口到圆柱的距离均为2米，如米．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）当由喷头喷出的水柱经过高度为2米且离点的水平距离为1米的位置时，水柱刚好落在圆柱的边缘点处，求此时抛物线的表达式．
（2）由与喷头相对的喷出的水柱形成的抛物线可以看成是问题（1）中的抛物线关于轴对称后向右平移8个单位得到，直接写出由喷出的水柱形成的抛物线的表达式________．
（3）为形成白川归海的场面，物业师傅调整每个喷头的出水压力和水量，使每一个喷泉水柱达到相同高度后能汇聚一点，测得此时由喷头喷出的水柱最高为米时与的水平距离为4米，直接写出汇聚点的坐标________．
（4）如图3，在（1）的条件下，为烘托气氛，物业师傅在对应喷头口的水池外的地面上均匀安装12个彩色射灯，射灯与喷头相对应（如：在喷头，所在直线上的点、处分别安装与喷头等距离的射灯）．为呈现更好的光影效果，要求射灯所在直线与水平面成夹角，即，且水柱上的点到相应射灯所在直线的最小距离为5厘米（不计射灯高度，水柱上的点视为抛物线上的点），求与喷头对应的射灯离水池边缘的距离．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）米
【解析】
【分析】（1）设此时抛物线的表达式为，根据题意，抛物线过点和点，利用待定系数法解解答；
（2）根据抛物线的对称性结合抛物线的平移规律即可解答；
（3）根据题意喷出的水柱形成的抛物线图象的对称轴为，顶点坐标为，与x轴的一个交点坐标为，待定系数法求出喷出的水柱形成的抛物线的解析式，同理求出喷出的水柱形成的抛物线的解析式，联立，即可求解；
（4）设直线的方程为，与直线平行的直线的方程为，当与抛物线相切时，水柱上的点到相应射灯所在直线的距离最小，求出，如图，设直线与抛物线切于点K，过点K作的平行线，过点作轴交于点F，解直角三角形求出厘米，则直线可以看成是将直线向左平移个单位得到， 求出直线，再求出，即可解答．
【小问1详解】
解：设此时抛物线的表达式为，
根据题意，抛物线过点和点，
则，
解得：，
∴此时抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线图象的对称轴为，
∵直线关于轴对称的直线为，,
抛物线关于轴对称的抛物线图象的对称轴为，
即抛物线关于轴对称的抛物线解析式为：，
再将抛物线：向右平移8个单位得到，
∴喷出的水柱形成的抛物线的表达式：；
【小问3详解】
解：如图，
根据题意喷出的水柱形成的抛物线图象的对称轴为，与x轴的一个交点，
∴顶点坐标为，
∵，
∴与x轴的一个交点坐标为，
设喷出的水柱形成的抛物线表达式为：，
将点代入，得，
解得：，
∴喷出的水柱形成的抛物线表达式为：，
同理，喷出的水柱形成的抛物线的图象过点，
则喷出的水柱形成的抛物线的表达式为：，
令，
解得：，则，
∴汇聚点的坐标为；
【小问4详解】
解：设直线的方程为，与直线平行的直线的方程为，
∴联立，得，
∴，
由题意知：直线与抛物线相切时，水柱上的点到相应射灯所在直线的距离最小，
故，即，
∴，
如图，设直线与抛物线切于点K，过点K作的平行线，过点作轴交于点F，
则，
又厘米，
∴在中，厘米，
∴直线可以看成是将直线向左平移个单位得到，
即直线，
令，则，
∴，
∵，
∴米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，解直角三角形，二次函数图象的性质，一次函数的平移，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的性质是解题关键．
20. 链接教材】
（1）如图，、是直线上方两点，若点在直线上，满足，则点是线段的_____（填特殊直线）与直线的交点；
【问题延伸】
（2）如图，点是矩形对角线的交点，．要分别在、边上确定点、，满足，且点在线段上．经过思考，小文发现可以利用矩形的中心对称性，将点或关于点对称，再作该对称点和另一点所组成的线段的中垂线．请你根据她的思路在图中尺规作图确定、的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
如图，点是矩形对角线的交点，．经过深入探究，聪明的小文发现进一步利用矩形的中心对称性，在问题思路的基础上再添加一条过点的线段，就能找到符合题意的、（、分别在、边上，满足，且点在线段上）．请在图中用直尺简单构图（不要求圆规作图），并证明．
【举一反三】
（3）如图，在平面直角坐标系中，原点是菱形对角线的交点，，，，其中，．若、分别在、边上，满足，且点在线段上，直接写出的取值范围________．
【答案】（）垂直平分线；（）见解析；证明见解析；（）．
【解析】
【分析】（）根据垂直平分线的性质即可求解；
（）根据题意进行作图即可；
同先画出图形，然后根据全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质即可求证；
（）作出作关于点对称点，连接，同理可得，则，故有，然后当与重合时，有最小值，当与重合时，有最大值，再通过菱形的性质和两点的距离公式即可求解．
本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，原点对称的性质，两点的距离，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：（）∵点在直线上，满足，
∴点是线段的垂直平分线与直线的交点，
故答案为：垂直平分线；
（）如图，作关于点对称点，连接，
作垂直平分线，交、于点、，连接，
如图，作法同，
∵点是矩形对角线的交点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（）如图，作关于点对称点，连接，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，
当与重合时，有最小值，如图，
∵四边形是菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当与重合时，有最大值，如图，
∵四边形是菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴或（舍去）；
∴的取值范围为，
故答案为：．
第2瓶
第1瓶
A
B
C
D
A



B



C



D



算法一
女性理想体重
男性理想体重
算法二
算法三
实际体重
类别
大于理想体重的
肥胖
介于理想体重的
过重
介于理想体重的
正常
介于理想体重的
过轻
小于理想体重的
消瘦