广东省深圳市红桂中学等校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份广东省深圳市红桂中学等校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分为100分，考试时间为90分钟
一、单选题（共24分）
1. 下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的定义进行判断即可．本题考查不等式的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】解：①③⑤是不等式，②④不是不等式，
则不等式有3个，
故选：B．
2. 下列博物馆的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选不项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
3. 下列各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A. B. C. 1，2，2D. 2，3，5
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理计算判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：A．∵，
∴，
∴能组成直角三角形，符合题意；
B．∵，
∴，
∴不能组成直角三角形，不符合题意；
C．∵，
∴，
∴不能组成直角三角形，不符合题意；
D．∵，
∴，
∴不能组成直角三角形，不符合题意；
故选：A．
4. 将多项式“”因式分解，结果为，则“？”是（ ）
A. 3B. C. 9D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了平方差公式和因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．利用平方差公式计算，根据对应项相等即可求出答案．
【详解】，
所以“？”是9．
故选C．
5. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式成立的条件，根据二次根式及分式有意义的条件确定答案即可．
【详解】根据题意可知，且，
解得且．
故选：B．
6. 如图，在平行四边形中，平分交于点E，若，，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据平分，得到，结合得到，得到，结合计算选择即可．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．
7. 若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ）
A. 5B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，先把分式方程化为整式方程，即可求解．
【详解】解：
方程两边同乘得：，
∵方程有增根，
∴满足，即
解得：
故选：B
8. 如图，在等边中，以A为直角顶点作等腰直角，分别交、于点E、F，N为线段上一动点，M为线段上一动点，且，以下4个结论：①；②；③；④当的值最小时，．正确的个数为（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】A
【解析】
【分析】①根据是等边三角形，是等腰直角三角形，得出，进而求出，，即可判断；②求出，即可判断；③在上截取，连接，通过证明，为等边三角形，即可判断；④过点B作，使，连接，证明，则，作点Q关于的对称点，连接，交于点N，此时最小，求出，则，即可判断．
【详解】解：①∵是等边三角形，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
③在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，则，
∵，
∴，故③正确；
④过点B作，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
作点Q关于的对称点，连接，交于点N，
此时最小，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
综上：正确的有①②③④，共4个，
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段最值问题，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线．
二、填空题（共15分）
9. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了综合运用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答此题的关键．
原式提取公因式后，再运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
10. 若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式，首先解这个关于的方程，求出方程的解，根据解是负数，可以得到一个关于的不等式，即可以求出的范围．根据题意列出不等式是解题的关键．
【详解】解：解关于的一元一次方程，
得：，
∵方程的解是负数，
∴，
解得：，
∴的取值范围是．
故答案为：．
11. 若，，则的值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，将多项式进行因式分解，整体代入法求值即可．
【详解】解：∵，，
∴；
故答案为：6．
12. 如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为___________．

【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式即可得到，由垂直平分，得到点A，B关于对称，再说明的最小值，即可得到结论．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴点P到A，B两点距离相等，
即，
要求最小，即求最小，则A、P、D三点共线，
∴的长度即的最小值，
即的最小值为6，
故答案为：6．
13. 已知正方形，点E是边上的动点，以为边作等边三角形，连接，交边于点G，当最小时，______．
【答案】##120度
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形中的计算，解题关键是构造全等三角形．
作等边三角形，连接，由正方形，等边三角形，得，得，故当时最小，此时，即可得．
【详解】解：作等边三角形，连接，
∵正方形，等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
故当时最小，此时，
∴．
故答案为：．
三、解答题（14题5分，15题7分，16题8分，17题8分，18题9分，19、20题12分，共61分）
14. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后在数轴上表示即可．
【详解】解：解不等式①得：
解不等式②得：
∴此不等式组的解集为：
解集在数轴上表示为：
15. 化简求值：先化简，再从，中选择一个合适的数代入并求值．
【答案】；时，.
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，利用分式的性质及运算法则先对分式化简，由分式有意义的条件可得，再取4代入化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式是解题的关键．
【详解】解：原式
；
，
，
当时，原式．
16. 某校学生会为了解本校学生每天做作业所用时间的情况，采用问卷的方式对一部分学生进行调查．在确定调查对象时，大家提出以下几种方案：．对各班班长进行调查；．对某班的全体学生进行调查；．从全校每班随机抽取名学生进行调查，在问卷调查时，每位被调查的学生都选择了问卷中适合自己的一个时间，学生会将收集到的数据整理后绘制成如下的条形统计图．
（1）为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案______．（填，或）
（2）被调查的学生每天做作业所用时间的众数为______小时．
（3）根据以上统计结果，估计该校名学生中每天做作业用小时的人数．
【答案】（1）
（2）
（3）约有人
【解析】
【分析】本题考查了调查的可靠性，样本估计总体，众数的定义；
（1）根据调查的可靠性逐项分析判断，即可求解；
（2）根据条形统计图结合众数的定义，即可求解；
（3）用乘以样本中每天做作业用小时的占比，即可求解．
【小问1详解】
解：为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案C；
【小问2详解】
众数是：1.5小时；
【小问3详解】
（人）．
则估计该校800名学生中每天做作业用1.5小时的人数是304人．
17. 某品牌新能源汽车原厂年销售总额为万元，年销售总额为万元，年每辆车的销售价格比年降低万元，年销售量是年销售量的倍
（1）求年每辆车的销售价格
（2）若年某汽车专卖店从该新能源汽车原厂进购辆车，每售出一辆车要交税万元，则为使售完辆车后所得利润超过成本一半，定价至少要高于多少元？
【答案】（1）万元
（2）万元
【解析】
【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式，正确解分式方程，解一元一次不等式是解题的关键；
（1）根据题中的等量关系建立分式方程，解方程即可；
（2）根据题意列不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
根据题意，设年每辆车的销售价格为万元，列方程可得：
；
解得：
答：年每辆车的销售价格为万元．
【小问2详解】
解：设定价至少要万元；根据题意列不等式，
解得：，
答：为使售完辆车后所得利润超过成本一半，定价至少要高于万元．
18. 如图，在中，，E，F分别是的中点，延长到点D，使，连接与交于点O．

（1）试说明与互相平分；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由E，F分别是的中点，可得，，由，可得，证明四边形是平行四边形，进而可得与互相平分．
（2）由，可得，，由勾股定理得，，则，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：∵E，F分别是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，，
由勾股定理得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质，中位线，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键．
19. 【定义】对于没有公共点的两个图形，，点是图形上任意一点，点是图形上任意一点，把、两点之间的距离的最小值称为图形与图形的距离，记为．
【理解】如图1，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点，若点，的坐标分别为，，点是边上任意一点．
（1）当点在边上时，的最小值是______，因此[点，线段]＝______；
（2）当点在任意边上时，的最小值是______，因此[点，]＝______；
【拓展】如图2，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点，平分，点，的坐标分别为，，点是对角线上与点，，不重合的一点，点是对角线上与点，，不重合的一点．
（3）当[线段，]时，则的取值范围为______；
（4）当时，______（结果用含式子表示）；
【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为米，请直接写出所需彩绳的长度．

【答案】（1）4；4；（2）3；3；（3）或；（4）；应用：米
【解析】
【分析】（1）根据定义及垂线段最短即可得出答案；
（2）根据定义及垂线段最短即可得出答案；
（3）画出图形，进行分类讨论即可；
（4）根据定义画出图形，可得出答案．
【详解】（1）∵，，四边形是平行四边形，
∴根据题意可知，当点在边上时，即时
∴ 的最小值是，因此[点，线段AD]=，
故答案为：；
（2）∵ ，，四边形 是平行四边形，
∴根据题意可知，当点在边任意边上时，即或时，
∴的最小值是，因此[点， ]=，
故答案为：；
（3）如图，

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形菱形，
∴BD平分和，
∴线段到四边形的距离为， [线段，]=，
∴，解得：或，
故答案为：或，
（4）由（3）得：四边形是菱形，过作于点，交CD于点，作于点，如图，则有，

∴，
∴，
故答案为：，
（4）由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为米，则如下图，

则所需彩绳的长度为：．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中，点与点、点与直线的距离问题，不等式运用和菱形的性质和判定等，理解新定义，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
20. 综合探究：在中，，把绕点逆时针旋转适当的角度得到，连接对应点，和，交于点．
（1）如图1，当点落在边上时，证明：；
（2）如图2，当点不落在边上时，，交于点，请探究是否还成立？写出探究过程；
（3）如图3，在（2）的条件下，当时，时，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）成立，见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得，，，进而证明，结合易得，即为等腰三角形，再证明，即可证明结论；
（2）过点作交的延长线于点，连接，证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质即可证明结论；
（3）连接，由旋转的性质可得，，，，结合，证明，设，，则，，，证明，易得，由直角三角的性质和等腰三角形的性质可得，，然后在中，由勾股定理可得，代入数值并求得，即可获得答案．
【小问1详解】
证明：根据题意，把绕点逆时针旋转适当的角度得到，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
如下图，过点作交的延长线于点，连接，
∴，
∵由旋转可知，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴；
【小问3详解】
连接，如下图，
由旋转的性质可得，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴可设，，
则，，，，
∴，
∵
∴，
∴，
由（2）知，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，可有，
即，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识并综合运用是解题关键．