艺考生专题讲义37 二项式定理-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题

这是一份艺考生专题讲义37 二项式定理-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题，共12页。试卷主要包含了解题思路，常见指定项等内容，欢迎下载使用。
一．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋ Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)
(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n)
(4)项数为n＋1，且各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n
二．二项式系数的性质
指定项的系数或二项式系数
1.解题思路：通项公式
2.常见指定项：若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：
(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项
(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项
(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项
(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项
三．系数和---赋值法
1．赋值法的应用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．
(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
2．二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n＋1,2)项与第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等并最大．
精讲精练
题型一 二项展开式中特定项及系数
【例1】(1)(2024·长春市第八中学高三)二项式的展开式中的系数为
(2)(2024·上海高三一模)在的二项展开式中，常数项等于____.
(3)(2024·全国高三)在的展开式中，有理项共有 项
(4)(2024·云南省个旧市第一高级中学高三)展开式中x的系数为80，则a等于 。
【答案】(1)(2)240(3)5(4)-2
【解析】(1)由二项式定理可知，令，得，
所以的展开式中的系数为.故选：C
(2)在的二项展开式中，通项公式为 ，
令，求得，可得展开式的常数项为 ，故答案为：240．
(3)由题意可得二项展开式的通项
根据题意可得，为整数时，展开式的项为有理项，则r＝0，6，12，18，24，共有5项，
(4)展开式的通项公式为
的系数为，解得.
【举一反三】
1．(2024·上海奉贤区·高三一模)在展开式中，常数项为__________.(用数值表示)
【答案】
【解析】展开式的通项为，
令，可得，所以常数项为，故答案为：
2．(2024·四川成都市·高三一模)的展开式中的系数是______．(用数字作答)
【答案】
【解析】由题设二项式知：，
∴项，即，∴系数为，故答案为：.
3．(2024·全国高三专题练习)的展开式中的系数为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，
得展开式的通项为，则展开式的通项为，
由，得，所以所求的系数为.故选：C.
4．(2024·全国高三)二项式的展开式中的系数是，则( )
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】展开式的通项为，
因为的系数是，所以，即，，解得，故选：B.
5．(2024·山东高三专题练习)的展开式中的系数是-10，则实数( )
A．2B．1C．-1D．-2
【答案】C
【解析】二项式展开式的通项为，令，得，
则，所以，解得.故选：C
6．(2024·广东高三一模)当为常数时，展开式中常数项为，则________．
【答案】
【解析】的第项为，
令，得，所以，解得．故答案为：
题型二 二项式系数的性质
【例2】(1)(2024·黑龙江大庆市·高三三模)若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是( )
A．B．
C．D．
(2)．(2024·江西高三其他)已知的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的系数为( )
A．80B．40C．D．
【答案】(1)D(2)A
【解析】(1)∵的展开式中只有第项的二项式系数最大，∴为偶数，展开式共有项，则.
的展开式的通项公式为，令，得.
∴展开式中含项的系数是，故选D．
(2)由题意，所以，解得，
则的展开式的通项为，
由得，所以的系数为.故选：A．
【举一反三】
1．(2024·四川绵阳市·高三三模)在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为( )
A．﹣360B．﹣160C．160D．360
【答案】B
【解析】∵展开式中，仅第四项的二项式系数最大，
∴展开式共有7项，则n＝6，
则展开式的通项公式为Tk+1＝Cx6﹣k()k＝(﹣2)kCx6﹣2k，
由6﹣2k＝0得k＝3，即常数项为T4＝(﹣2)3C160，故选：B．
2．(2024·全国高三专题练习)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为( )
A．B．C．D．7
【答案】D
【解析】因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以所以的展开式的通项
令，得所以展开式中的系数为故选：D
3．(2024·永丰县永丰中学高三)若的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是( ).
A．132B．C．D．66
【答案】D
【解析】因为展开式中只有第7项的二项式系数最大，
所以为偶数，展开式有13项，，
所以二项式展开式的通项为由得，
所以展开式中含项的系数为.故选：D
题型三 二项式系各项系数和
【例3】(1)(2024·四川省泸县第二中学高三)的展开式的各项系数和是( )
A．B．C．D．
(2)(2024·四川宜宾市·高三一模)若展开式中所有项的系数和为1，则其展开式中的系数为( )
A．B．C．D．
(3)(2024·江西高三)若，则( )
A．0B．2C．D．1
(4)(2024·安徽高三)已知，则( )
A．B．C．D．
【答案】(1)D(2)D(3)D(4)B
【解析】(1)令，则展开式的各项系数和是.故选：D
(2)令，则展开式中所有项的系数和为，故，
展开式的通项公式为，
令，解得，故的系数为，故选：D．
(3)由，
令，可得；令，可得
所以.故选：D.
(4)令有，
又由题意可得，故选：．
【举一反三】
1．(2024·全国高三)在的展开式中，若二项式系数的和为128，常数项为14，则( )
A．B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】因为的展开式中，二项式系数和为128，所以，即，
所以的展开式的通项为，
令，则．因为展开式常数项为14，即常数项是，解得．
故选：B．
2．(2024·全国高三其他模拟)已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为______.
【答案】270
【解析】令，的展开式中所有项的系数之和为，所以，解得，
所以展开式的通项，令，得，
所以常数项为.故答案为：270.
3．(2024·全国高三专题练习)的展开式中，的奇次幂项的系数之和为( )
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】设，
令，则，
令，则，
两式相减，整理得.故选：A
4．(2024·湖北黄冈市·黄冈中学高三)若，则的值是( )
A．B．C．126D．
【答案】C
【解析】令，得.又，所以.故选：C
5．(2024·全国高三专题练习)已知，则( )
A．2B．6C．12D．24
【答案】C
【解析】因为，
此二项式的展开式的通项为，
当时，所以.故选：C.
6.(2024·江苏省南通中学高三一模)已知，则________；________；________； ________.
【答案】－2 －1094 1093 2187
【解析】当时，；
当时，；
当时，；
故；
；
；
由展开式可知均为负值，均为正值，
故答案为：－2；－1094；1093；2187.
题型四 多项式展开式中特定项系数
【例4】(1)(2024·河南郑州市·高三一模)式子的展开式中，的系数为( )
A．B．C．D．
(2)．(2024·全国高三其他模拟(理))在的展开式中的系数为( )
A．50B．20C．15D．
(3)(2024·安徽省泗县第一中学高三其他模拟(理))的展开式的各项系数之和为5，则该展开式中x项的系数为( )
A．-66B．-18C．18D．66
【答案】(1)B(2)B(3)D
【解析】(1)，
的展开式通项为，
的展开式通项为，
由，可得，
因此，式子的展开式中，的系数为.故选：B.
(2)∵(2x﹣1)(x﹣y)6＝(2x﹣1)(•y6•x5y•x4y2•x3y3•x2y4 xy5 y6)，
故展开式中x3y3的系数为，故选：B．
(3)令，可得，∴．
又的通项公式为，
在的展开式中x的系数为．故选：D．
【举一反三】
1．(2024·广西高三)的展开式中，含的项的系数是( )
A．B． C．25D．55
【答案】B
【解析】二项式的展开式中的通项，含的项的系数为故选B.
2．(2024·福建高三二模)的展开式中的系数为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将展开，得，
则原展开式中含的项为，整理可知其系数为98．故选：D．
3．(2024·长春市第八中学高三一模)的展开式的常数项为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】的展开式的通项公式为：Tr+1＝()6﹣r=()6﹣r= ．
令6﹣2r＝﹣2，或6﹣2r＝0，分别解得r＝4，或r＝3．
所以的展开式的常数项为+2×＝
故选：B
4．(2024·全国高三其他模拟)已知展开式中含项的系数为，则正实数的值为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】展开式的通项公式为：.
展开式中含的项的系数为：
，解得：或.
为正实数，.
故选：.
5．(2024·山东高三专题练习)已知的展开式中的常数项为8，则实数( )
A．2B．-2C．-3D．3
【答案】A
【解析】展开式的通项为，
当取2时，常数项为，
当取时，常数项为
由题知，则.
故选：A
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