艺考生专题讲义06 基本不等式-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题

这是一份艺考生专题讲义06 基本不等式-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题，共9页。试卷主要包含了基本不等式公式等内容，欢迎下载使用。

一、基本不等式公式
几个重要结论
(1)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(ab>0)．
(3)eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)
三．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
精讲精练
题型一 公式的直接运用
【例1】已知，那么的最小值是( )
A．1B．2C．4D．5
【答案】C
【解析】根据题意，，则，当且仅当时等号成立，即的最小值是4；
故选：C.
【方法总结】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
【举一反三】
1．已知正数，满足，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】因为.当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为12，故答案为：12
2．若x>0，y>0，且x＋y＝18，则eq \r(xy)的最大值为 。
【答案】9
【解析】因为x＋y＝18，所以eq \r(xy)≤eq \f(x＋y,2)＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．
3．设a>0，则9a＋eq \f(1,a)的最小值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
【答案】6
【解析】因为a>0，所以9a＋eq \f(1,a)≥2 eq \r(9a×\f(1,a)) ＝6，当且仅当9a＝eq \f(1,a)，即a＝eq \f(1,3)时，9a＋eq \f(1,a)取得最小值6.
题型二 配凑型
【例2】(1)当时，则的最大值为( )
A．B．C．D．
(2)函数的最小值是( )
A．B．
C．D．
(3)若正数a，b满足，，且，则的最小值为( )
A．4B．6C．9D．16
(4)已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为( )
A．B．
C．－1D．0
【答案】(1)D；(2)D；(3)C；(4)D
【解析】(1)∵，，，
当，即时等号成立，∴，即最大值为，故选：D.
因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值是.故选：D.
(3)由，可得，，
所以
当且仅当，即时等号成立.故选：C
(4)f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.故选：D
【方法总结】
一般两个因式相加时，两个因式未知数部分（不含系数）成为倒数关系
一般两个因式相乘时，两个因式因式部分成相反数（含系数）关系
【举一反三】
1．设，则函数的最大值为( )
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
，当且仅当，即时，等号成立，即函数的最大值为.故选：D
2．已知，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
若，则，时等号成立；
若，则，时等号成立
∴的取值范围为，故选：A.
3．若，则取最大值时的值是 。
【答案】
【解析】
，，由基本不等式得，
当且仅当，即，时取等号，
取最大值时的值是．
4．若，都是正数，且，则的最大值为 。
【答案】4
【解析】由题意，可知：
，当且仅当即时取等号；
题型三 条件型
【例3】(1)已知，，且，则的最小值为( )．
A．B．C．D．
(2)若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( )
A．B．C．5D．6
【答案】(1)B(2)C
【解析】(1)∵，，且，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为.故选：B．
(2)由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．
【方法总结】
问题与条件一个为整式，一个为分式，整式未知数部分配成分式分母相同
【举一反三】
1．已知，则的最小值是( )
A．B．4C．D．3
【答案】D
【解析】因为，，，
所以，
当且仅当，即，时取等号.故选：D
2．若，，则的最小值为( )
A．2B．6C．9D．3
【答案】D
【解析】因为，，所以
．当且仅当，即，时取等号.故选：D.
3．已知向量，且为正实数，若满足，则的最小值为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，因为，为正实数，则，
当且仅当，即时取等号.故选：A.
4．设，为正实数，满足，则目标函数的最小值为( )
A．4B．32C．16D．0
【答案】C
【解析】由，为正实数，满足，可得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为为．故选：C
题型四 换元型
【例4】已知正数x，y满足，则的最小值为( )
A．4B．5C．6D．8
【答案】B
【解析】由题意，得，．
法一：，当且仅当，即，时，的最小值为5．
法二：由，得，则，当且仅当，即，时，的最小值为5．故选：B．
【举一反三】
1．已知，则的最小值为( )
A．B．8C．9D．
【答案】C
【解析】由可得，，可得
则
当且仅当，即时取得等号.故选：C
2．已知，，且，则的最小值为______.
【答案】
【解析】由得，
所以当且仅当，即且时取得等号.
故答案为：
3．若正实数，满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】由可得
当且仅当时，等号成立.则的最小值为故答案为：
题型五 求参数
【例5】已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为( )
A．10B．12C．16D．9
【答案】D
【解析】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，
转化成求的最小值，，所以．
故选：D．
【举一反三】
1．若，则恒成立的一个充分条件是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，由基本不等式，
当且仅当即时，取等号，要使得恒成立，则，
所以恒成立的一个充分条件是故选：B
2．已知，，且，若不等式恒成立，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，∴，
∴．
∵，，∴
(当且仅当，即时取等号)，∴．故选：D
3．已知x>0，y>0，且x+3y=xy，若t2﹣t≤x+3y恒成立，则实数t的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
因为恒成立，即，解得.
所以实数t的取值范围是.
故答案为：.
4．若对任意，恒成立，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】，，当且仅当，即时等号成立，
.故答案为：
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