艺考生专题讲义04 指数与对数运算-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题

这是一份艺考生专题讲义04 指数与对数运算-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题，共8页。试卷主要包含了根式，有理指数幂，下列各式正确的是等内容，欢迎下载使用。

一．指数运算
1．根式
(1)根式的概念
(2)两个重要公式
①eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an为奇数，,|a|＝\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa≥0，,－aa0，m，n∈N*，n>1)；
②正数的负分数指数幂是＝＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)；
③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．
(2)有理指数幂的运算性质
①asat＝as＋t(a>0，t，s∈Q)；②(as)t＝ast(a>0，t，s∈Q)；③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)．
二．对数运算
(1)对数的定义
①一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝lgaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．
②底数的对数是1，即lgaa＝1,1的对数是0，即lga1＝0.
(2)几种常见对数
4.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
①＝N(a>0且a≠1，N>0)； ②lgaaN＝N(a>0且a≠1)．
(2)对数的重要公式
①换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)(a，b均大于零且不等于1，N>0)；②lgab＝eq \f(1,lgba)(a，b均大于零且不等于1)．
(3)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN； ②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)； ④＝eq \f(n,m)lgaM
精讲精练
题型一 根式
1．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】A. ，故错误；
B. ，故错误；
C. ,故正确；
D. ，故错误；故选：C
3．下列各式正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A，，当为负数时等式不成立，故A不正确；
对于B，，当时无意义，故B不正确；
对于C，，左边为正，右边为负，故C不正确；
对于D，，故D正确.故选：D.
题型二 指数运算
【例2】(2020·浙江课时练习)计算下列各式：
(1).
(2).
(3).
【答案】(1)；(2)100；(3).
【解析】(1)原式.
(2)原式.
(3)原式.
【举一反三】
(214)12-(-2)0-(278)-23+(32)-2
(2)21412-(-9.6)0-82723+32-2．
(3)[(0.06415)-2.5]23-3338-π0；
(4) (235)0+2-2⋅(214)-12-(0.01)0.5
(5)
(6)
；
【答案】(1)12.(2)12(3)0(4)1615(5)；(6)7)
【解析】(1)由题意，根据实数指数幂的运算性质，
可得：(214)12-(-2)0-(278)-23+(32)-2=[(32)2]12-(-2)0-[(32)3]-23+(32)-2=32-1-49+49=12，故答案为：12
(2)21412-(-9.6)0-82723+32-2=9412-1-233×23+232=32-1=12．
(3)[(0.06415)-2.5]23-3338-π0=0.43×15×(-2.5)×23-32-1=52-32-1=0.
(4)(235)0+2-2⋅(214)-12-(0.01)0.5=1+122×194-0.01=1+14×23-110=1615
(5)原式
(6)原式.
(7)原式；
题型三 指对数的转化
【例3】将下列指数式与对数式互化.
(1)； (2)；
(3)； (4).
【答案】(1).(2).(3).(4).
【解析】因为由可得，所以
(1)由可得；
(2)由可得；
由可得，所以
(3)由可得；
(4)由可得.
【举一反三】
1．(2020·上海课时练习)将下列指数式改为对数式：
(1)，对数式为_____________；
(2)，对数式为___________；
(3)，对数式为_____________；
(4)，对数式为_____________.
【答案】
【解析】(1) 利用互化公式可得，.
(2) 利用互化公式可得，
(3) 利用互化公式可得，
(4) 利用互化公式可得，.
故答案为: ；；；.
2．(2020·全国课时练习)用对数的形式表示下列各式中的x：
(1)；(2)；(3)；(4).
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).
【解析】(1) 根据指数式与对数式的相互转化
(2)根据指数式与对数式的相互转化∴
(3)根据指数式与对数式的相互转化
(4)根据指数式与对数式的相互转化
考点四 对数式求值
【例4】(2020·全国课时练习)求下列各式中x的值：
(1)； (2)；
(3)； (4).
【答案】(1)；(2)；(3)2；(4)
【解析】(1)因为所以.
(2)因为,所以.又所以
(3)因为所以于是
(4)因为所以于是
【举一反三】
1．(2020·宁县第二中学)方程的解__________
【答案】
【解析】∵，∴，∴
经检验满足故答案为：.
2．(2019·安徽金安·六安一中)已知lg7[lg3(lg2x)]＝0，那么＝( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，∴，∴，∴．
∴．故选D．
3.求下列各式中的x的值．
(1)lg2(lg3x)＝0；(2)lg5(lg2x)＝1；(3)lg(eq \r(3)＋1)eq \f(2,\r(3)－1)＝x.
【答案】(1)3 (2)32 (3)1
【解析】 (1)因为lg2(lg3x)＝0，所以lg3x＝1，所以x＝3.
(2)因为lg5(lg2x)＝1，所以lg2x＝5，所以x＝25＝32.
(3)eq \f(2,\r(3)－1)＝eq \f(2\r(3)＋1,2)＝eq \r(3)＋1，所以lg(eq \r(3)＋1)eq \f(2,\r(3)－1)＝lg(eq \r(3)＋1)(eq \r(3)＋1)＝1，所以x＝1.
考点五 对数运算或化简
【例5】(2020·上海课时练习)计算下列各式：
(1)___________；
(2)_________；
(3)_________；
(4)________；
(5)________．
【答案】-2 6 2
【解析】(1)；
(2)
(3)
(4)
(5)
故答案为：；；；；.
【举一反三】
1．(2020·四川达州·高三其他(文))计算______．
【答案】0
【解析】由题意.
故答案为：.
2．(2020·石嘴山市第三中学)______.
【答案】
【解析】根据对数的运算性质及换底公式化简可得
，
故答案为：.
lg2eq \r(\f(7,48))＋lg212－eq \f(1,2)lg242；
【答案】－eq \f(1,2)
【解析】原式＝lg2eq \f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42))＝lg22＝－eq \f(1,2).
4.(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3.
【答案】1
【解析】原式＝(lg2＋lg5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝
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根式的概念
符号表示
备注
如果a＝xn，那么x叫做a的n次实数方根
n>1且n∈N*
当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数
eq \r(n,a)
0的n次实数方根是0
当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数
±eq \r(n,a)
负数没有偶次方根
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为a(a>0且a≠1)
lgaN
常用对数
底数为10
lg N
自然对数
底数为e
ln N