2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上册10月月考数学质量检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上册10月月考数学质量检测试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1. 椭圆的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知直线的倾斜角为，则实数（ ）
A. B. C. D. 1
3. 已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（ ）.
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A B. C. D.
5. 若直线与曲线有公共点，则取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（ ）
A B. C. D.
7. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则实数取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（ ）
A. 12B. C. 6D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线的一个方向向量是
B. 若，则
C. 点关于直线对称点的坐标为2,1
D. 直线斜率取值范围是
10. 已知圆，点Px0,y0是圆上的点，直线，则（ ）
A. 直线与圆相交弦长
B. 圆上恰有个点到直线的距离等于
C. 的最大值是
D. 过点向圆引切线，为切点，则最小值为
11. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过圆上的动点作椭圆的两条切线，交圆于两点，直线交椭圆于两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 椭圆的离心率为
B. 若点在椭圆上，将直线的斜率分别记为，则
C. 点到椭圆的左焦点的距离的最小值为
D. 面积的最大值为
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知圆与圆的交点为，则直线方程为______．
13. 已知点在圆外（其中为常数），则实数的取值范围______
14. 古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知为上一动点，则的最小值为______．

四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知圆，点Ax0,y0为圆上任意一点，点B4,0，点是线段的中点．
（1）求点的轨迹方程；
（2）点是轨迹上任一点，求的取值范围．
16. 已知在中，边上的高所在直线的方程为边上的中线所在直线的方程为．
（1）求两点的坐标；
（2）求的外接圆方程．
17 已知圆和点．
（1）过作圆的切线，求切线的方程；
（2）过作直线交圆于点两个不同的点，且不过圆心，再过点分别作圆的切线，两条切线交于点，求的值．
18. 已知椭圆，点为椭圆上顶点，直线与椭圆相交于两点，
（1）若为的中点，为坐标原点，，求实数的值；
（2）若直线的斜率为，且，证明：直线过定点，并求定点坐标．
19. 已知是椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过点的直线，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围．
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期10月月考数学质量检测试卷
第I卷（选择题共58分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1. 椭圆的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】由椭圆方程可确定焦点在轴上和，由此可确定焦点坐标.
【详解】由椭圆方程知椭圆焦点在轴上，，，，
焦点坐标为.
故选：A.
2. 已知直线的倾斜角为，则实数（ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】B
【分析】先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可得解.
【详解】直线的斜率，
解得.
故选：B.
3. 已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（ ）.
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【正确答案】A
【分析】首先求直线所过定点，再判断选项.
【详解】，
，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限
故选：A
4. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率.
【详解】由椭圆定义得：，又因为，
所以解得：，
再由于，，结合勾股定理可得：
，解得，所以椭圆的离心率为，
故选：C.
5. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】先根据曲线的解析式，确定曲线对应的图像，结合图像确定直线与圆的位置关系，求出的取值范围即可.
详解】
由，得，所以曲线的图像为如图所示的半圆，
令直线与圆相切，
则有圆心O0,0到直线的距离为半径，
即，解得，
如图，若直线与曲线有公共点，
则取最大值时，直线与圆相切于第二象限，，
取最小值时，直线过点1,0，此时，
所以的取值范围是，.
故选：D
6. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据椭圆面积得出，结合四边形的周长求得，进而得出椭圆方程，得出，设Ax1,y1，根据四边形的面积为即可求解最大面积．
【详解】由题可知，，即，
由四边形的周长为12得，，即，所以，
所以椭圆，则，
设Ax1,y1，，则，
所以四边形的面积为，
故选：A．

7. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据题意，利用直径所对的圆周角为直角，将问题等价转化为两圆的位置关系，结合圆心距与两圆的位置关系，可得答案.
【详解】设以原点为圆心，以为半径作圆，则其方程为，则点A、B，点P在该圆上，
当两圆用公共点时，圆上一定存在点，使得，
由圆，则圆心，半径，
，则，解得.
故选：B.
8. 已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（ ）
A. 12B. C. 6D.
【正确答案】D
【分析】先根据题意求出的轨迹方程为，设到直线的距离为，由此可得，将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值，先求圆心到直线的距离再加半径即可求解.
【详解】根据已知有，圆心，半径，因为弦，
所以圆心到所在直线的距离，
又因为为的中点，所以有，
所以的轨迹为圆心为，半径为的圆，
的轨迹方程为；
令直线为，则到直线的距离为，
则，即，所以当最大时，
也取得最大值，
由此可将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值，
设圆心到直线的距离为，则，所以.
故选：D
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线的一个方向向量是
B. 若，则
C. 点关于直线对称点的坐标为2,1
D. 直线斜率取值范围是
【正确答案】ABC
【分析】由直线方向向量的定义即可判断A；由直线的方程设，根据得出，解方程即可判断B；
设点关于直线对称点的坐标为，根据点关于直线对称求出坐标可判断C；根据直线斜率的计算公式，数形结合即可判断D．
详解】对于A，，故A正确；
对于B，由题可知，，
直线的方程为，设，则，
由得，，解得，
所以，故B正确；
对于C，设点关于直线对称点的坐标为，
则，解得，故，故C正确；
对于D，，由图可知，直线斜率取值范围是，故D错误；
故选：ABC．

10. 已知圆，点Px0,y0是圆上的点，直线，则（ ）
A. 直线与圆相交弦长
B. 圆上恰有个点到直线的距离等于
C. 的最大值是
D. 过点向圆引切线，为切点，则最小值为
【正确答案】AD
【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离，根据的几何意义可得最值，再根据切线长的计算公式可得最值.
【详解】
如图所示，
由已知圆，则圆心O0,0，半径，
A选项：圆心到直线的距离，
则弦长为，A选项正确；
B选项：，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，B选项错误；
C选项：可表示点Px0,y0与点连线的斜率，
易知当直线与圆相切时，斜率取得最值，
设斜率，则直线，即，
则，解得，
所以，其最大值为，C选项错误；
D选项：由圆可知圆心，半径，
由切线长可知，
所以当取得最小值时，取最小值，
又，即的最小值为，
所以的最小值为，D选项正确；
故选：AD.
11. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过圆上的动点作椭圆的两条切线，交圆于两点，直线交椭圆于两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 椭圆的离心率为
B. 若点在椭圆上，将直线的斜率分别记为，则
C. 点到椭圆左焦点的距离的最小值为
D. 面积的最大值为
【正确答案】BCD
【分析】取椭圆左顶点与上顶点处的切线，建立齐次方程，即可判断A；根据圆的性质，结合三角形的面积公式，即可判断D；设出点的坐标，由两点距离公式，利用函数的思想，即可判断C；设出点的坐标，代入椭圆的标准方程，利用点差法，结合两点之间斜率公式，即可判断B.
【详解】对于A，依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，
过椭圆的右顶点作轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆上，

所以，得，
所以椭圆的离心率，故A错误；
对于D，因为点都在圆上，且，
所以为圆的直径，则，
所以面积的最大值为，故D正确；
对于C，设，椭圆的左焦点为，连接，
因为，即，
所以
，
又，所以，
所以则到的左焦点的距离的最小值为，故C正确；
对于B，由直线经过坐标原点，易得点关于原点对称，
设，则，
又，所以，
所以，所以，故B正确；
故选：BCD.
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知圆与圆的交点为，则直线方程为______．
【正确答案】
【分析】由两圆方程作差后求解.
【详解】，
两圆方程相减可得.
故
13. 已知点在圆外（其中为常数），则实数的取值范围______
【正确答案】或
【分析】先根据方程为圆的方程确定的范围，再根据已知条件点在圆外，将点的坐标代入圆的方程得不等式，解不等式求交集即可.
【详解】根据题意圆，
化为标准方程为：，
方程表示圆，则，整理有，
解得；
又因为点在圆外，则有，解得或；
以上两个集合取交集，得：或.
故答案为；或.
14. 古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知为上一动点，则的最小值为______．

【正确答案】
【分析】根据阿波罗尼斯圆的性质，令，求出点的坐标，再结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】令，则，
由题意可得圆是关于点的阿波罗尼斯圆，且，
设，则，
则，
整理得
又因为，
所以，解得，
所以点的坐标为，
所以，
因此当点在同一条直线上时，取等号，
所以最小为.
故答案为.
根据阿波罗尼斯圆的性质，令，求出点的坐标，将所求转化为求的最小值，是解决本题的关键.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知圆，点Ax0,y0为圆上任意一点，点B4,0，点是线段的中点．
（1）求点的轨迹方程；
（2）点是轨迹上任一点，求的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据相关点法，设出点的坐标，利用中点公式结合圆的方程即可求解；
（2）根据题意令，根据的几何意义，令直线与圆相切求出即可求解.
【小问1详解】
设Mx,y，根据题意有，即，
又因为点Ax0,y0在圆上，所以有，
整理得，即，
所以点的轨迹为圆心为，半径为的圆.
【小问2详解】
令，则有，为直线的纵截距，
由题意可知，直线与圆有交点的情况下，
直线的纵截距越大，越大；直线的纵截距越小，越小.
由图可知，令直线与圆相切，
此时圆心到直线的距离为半径，
由此可得，解得，
所以的取值范围为.
16. 已知在中，边上的高所在直线的方程为边上的中线所在直线的方程为．
（1）求两点的坐标；
（2）求的外接圆方程．
【正确答案】（1），
（2）
【分析】（1）由边上高线所在的方程及求得直线方程，结合边上中线所在直线方程即可求得的坐标；设，则点中点为，代入中线方程即可求解；
（2）分别求得边的垂直平分线方程，求得外接圆圆心坐标，再根据两点之间距离公式求得半径即可求解．
【小问1详解】
因为边上的高所在直线的方程为，
所以，则直线的方程为，即，
由得，，所以，
设，则点中点为，
所以，解得，即．
【小问2详解】
因为，，
所以的中点坐标为，，
所以线段的垂直平分线方程为，即，
同理可得线段的垂直平分线方程为，
由得，，所以的外接圆圆心为，
所以的外接圆半径为，
所以的外接圆方程为．
17. 已知圆和点．
（1）过作圆的切线，求切线的方程；
（2）过作直线交圆于点两个不同的点，且不过圆心，再过点分别作圆的切线，两条切线交于点，求的值．
【正确答案】（1）或
（2）1
【分析】（1）讨论斜率是否存在并设直线方程，结合圆的切线性质及点线距离公式求参数，进而写出切线方程.
（2）设两个交点，由切线垂直于半径得到向量数量积为0，得到关系式和，得出直线CD的方程，代入点M坐标即可得出结果.
【小问1详解】
当斜率不存时，显然与圆相切；
当斜率存在时，设切线为：
圆心到直线距离，
解得：，则，整理得：
综上所述：切线方程为：或
【小问2详解】
设，
由，则，
即
即，又∵
故，同理
直线：，点在直线上，
∴
18. 已知椭圆，点为椭圆上顶点，直线与椭圆相交于两点，
（1）若为的中点，为坐标原点，，求实数的值；
（2）若直线的斜率为，且，证明：直线过定点，并求定点坐标．
【正确答案】（1）
（2）证明见解析；定点坐标
【分析】（1）直曲联立表示出韦达定理，再由中点坐标公式求出，最后结合两点间距离公式求出即可；
（2）当直线的斜率不存在时，设直线方程为，则，由斜率关系求出；当直线的斜率存在时，直曲联立表示出韦达定理，再由斜率的定义结合化简得到和的关系，然后再求出直线所过定点即可；
【小问1详解】
当时，，
设，
，消去可得，
，
，
由中点坐标公式可得，，
又，解得，符合题意；
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，设直线方程为，则，
因为点为椭圆上顶点，所以，
所以，则，
所以，
当直线的斜率存在时，直线方程为，
联立椭圆方程x23+y2=1y=kx+m，消去可得，
，
，
则，
将韦达定理代入上式并化简可得，
即，舍，所以，
所以直线，此时直线过定点，
综合以上可知直线过定点.
19. 已知是椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为，且椭圆经过点．
（1）求椭圆标准方程；
（2）经过点的直线，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由椭圆的焦点坐标可得的值，由点的坐标，整理方程，可得答案；
（2）由题意分直线斜率是否存在两种情况，设出直线方程，联立方程组，求得弦长，利用对角线垂直的四边形面积公式，结合不等式形式，可得答案.
【小问1详解】
由椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的焦点，则，
即，整理可得，由椭圆过，
则，整理可得，化简可得，
由，则（舍去），所以，，
椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，则直线与轴重合，，
将代入椭圆方程，可得，解得，则，
四边形的面积；
易知当直线的斜率不存在时，四边形的面积；
当两直线都存在时，设直线，直线，
设Ax1,y1,Bx2,y2，联立方程可得，消去整理可得：
，则，
，
同理可得，
四边形的面积，
由，则，所以，
，当且仅当时，等号成立，
令，则，
由，，，则；
综上所述，四边形的面积的取值范围为.