2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市双城区高三上册期中考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市双城区高三上册期中考试数学检测试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
3．平行四边形中，为的中点，点满足，若，则的值是（ ）
A．4B．2C．D．
4．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，，，则数列的公比为
A．3B．C．2D．
5．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
6．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．为奇函数
C．在上是减函数D．方程仅有个实数解
7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．设函数，下列判断正确的是（ ）
A．函数的一个周期为；
B．函数的值域是；
C．函数的图象上存在点，使得其到点的距离为；
D．当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．函数的最小值为
10．下列命题正确的有（ ）
A．若等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列
B．若为等比数列，且，则
C．若等差数列的前项和为，已知，且，，则可知数列前项的和最大
D．若 ，则数列的前2020项和为4040
11．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．的表达式可以写成
B．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C．的对称中心
D．若方程在0,m上有且只有6个根，则
三、填空题
12．已知i是虚数单位，复数满足，则 .
13．已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为 ．
14．若，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知向量．
(1)求向量与的夹角的大小；
(2)若向量，求实数的值；
(3)若向量满足，求的值．
16．已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为．
(1)求的单调递减区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围．
17．已知函数.
(1)求的极值；
(2)若对于任意不同的，，都有，求实数的取值范围.
18．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)若，，求边上的角平分线长；
(2)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围.
19．一般地，元有序实数组称为维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如，则.若存在不全为零的个实数，，，，使得，则称向量组，，，是线性相关的，否则，称向量组，，，是线性无关的.
(1)判断向量组，，是否线性相关.
(2)已知函数，，且恒成立.
①求的值；
②设，其中，若，，数列的前项和为；证明：当时，.
答案：
1．B
【分析】解一元二次不等式可得，再由交集、并集运算可得结果.
【详解】解不等式可得；
又可知，可知A错误，B正确；
，即可得C错误，D错误.
故选：B
2．B
由复数的乘法运算法则化简复数,根据共轭复数的定义即可求解.
【详解】因为复数,
由复数的乘法运算法则可得,,
利用共轭复数的定义可得,=,
故选:B
本题考查复数的四则运算及共轭复数的定义;属于基础题.
3．D
【分析】利用M为CD的中点，点N满足，得到，再将等式转化成的关系，从而得到，的方程，求解即可．
【详解】解：根据题意可得，，
因为，
所以
，
所以，
由平面向量基本定理可得，解得，
所以
故选：D
本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及了平面向量的数乘和线性运算，用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
4．A
设正项等比数列的公比为，根据等比数列的性质，求得，进而得出公比的方程，即可求解.
【详解】设正项等比数列的公比为，
由，可得，因为，所以，
又因为，所以，
即，解得或，
又由，可得，所以.
故选：A.
本题主要考查了等比数列的性质，以及等比数列的通项公式的应用，着重考查推理与计算能力.
5．A
【分析】以为整体，利用诱导公式结合倍角公式求，结合两角和差公式运算求解.
【详解】因为，则，
且，可得，
则，
，
所以，
故选：A.
6．C
【分析】根据fx−1与的奇偶性可判断函数的对称性与周期性，从而作出函数图像，数形结合判断各选项.
【详解】为奇函数，即，关于点对称，
又为偶函数，即，关于直线对称，
所以，即，
所以，
即函数的最小正周期为，
A选项：，A选项正确；
B选项：，所以为奇函数，B选项正确；
C选项：由当时，，所以，所以在上单调递增，C选项错误；
D选项：由，得
作出函数及图像如图所示，

由已知函数的值域为，且，
当时，，函数与无公共点，
当时，由图像可知函数与函数有个公共点，
即有个解，D选项正确；
故选：C.
7．C
【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式求解即得.
【详解】在中，由及正弦定理得，
即，由余弦定理得，，
则，当且仅当时取等号，因此，
的面积，
所以当时，的面积取得最大值.
故选：C
8．D
【分析】利用函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断A；采用三角代换，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解函数值域，判断B；利用，结合两点间距离公式可判断C；结合解，根据解的情况判断D，即得答案.
【详解】对于A，，，
故不是函数的一个周期，A错误；
对于B，，
需满足，即，
令，，则即为，
当时，在上单调递增，则；
当时，，
（，故）
此时在上单调递减，则，
综上，的值域是，B错误；
对于C，由B知，，
当时，,
满足此条件下的图象上的点到的距离；
当时，,
满足此条件下的图象上的点到的距离，
当且仅当且时等号成立，
而时，或，
满足此条件的x与矛盾，即等号取不到，
故函数的图象上不存在点Px,y，使得其到点1,0的距离为，C错误；
对于D，由B的分析可知，则，即，
又，故当且仅当时，，
即当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点，D正确．
故选：D
难点点睛：本题综合考查了函数的知识的应用问题，涉及余弦函数的周期，值域以及最值和函数图象的交点问题，综合性强，难度较大，解答时要结合余弦函数的性质以及函数的单调性，综合求解.
9．BC
【分析】对A举反例即可；对B根据不等式性质即可判断；对C，利用指数函数单调性即可判断；对D举反例即可.
【详解】对A，当时，，故A错误；
对B，当，则，则，故B正确；
对C，根据指数函数在上单调递增，且，则，故C正确；
对D，当时，，故D错误.
故选：BC.
10．BCD
【分析】A.利用等差数列的性质判断；B.利用等比数列的性质判断；C.根据等比数列前n项和公式判断；D.利用数列并项求和判断.
【详解】A.等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列，故错误；
B. 为等比数列，且，则，所以，故正确；
C. 因为，则，，则，所以，，
所以数列前项的和最大，故正确；
D. 因为，所以数列的前2020项和为：，，故正确.
故选：BCD
11．ABC
【分析】利用特殊点求得函数的解析式即可判断A，根据相位变换求得新函数解析式即可判断奇偶性，即可判断B，先求出的解析式，然后代入正弦函数对称中心结论求解判断C，把问题转化为根的问题，找到第7个根，即可求解范围判断D.
【详解】由，得，即，又，所以，
又的图象过点，则，即，
所以，即得，又，所以，
所以，故A正确；
向右平移个单位后得，为奇函数，故B正确；
对于C，，
令得，
所以对称中心，故C正确；
对于D，由，得，解得或，
方程即，因为，所以，
又在0,m上有6个根，则根从小到大为，而第7个根为，
所以，故D错误.
故选：ABC.
12．
【分析】根据复数运算的除法法则和模的计算公式，即可化简得到答案.
【详解】因为，
所以.
故答案为.
13．
【分析】利用基底，结合向量的线性运算表示，即可根据数量积的运算律求解.
【详解】设，其中，
已知边长为2的菱形中，，
则为等边三角形，又，
则
又，故
故．
故

14．
【分析】令，则，可得，求导求得最小值即可.
【详解】令，则，
所以，所以，
令，则，
所以在上为增函数，即在上为增函数，又，
当时，，在上为减函数，
当时，，在上为增函数，
所以函数.
故答案为.
方法点睛：利用换元法，通过二次求导，求函数的最小值是一种常用方法，在平时的学习中应多体会.
15．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用向量的夹角公式计算即得.
（2）利用平面向量共线的坐标表示，共线向量的坐标表示列式计算即得.
（3）利用向量相等构造方程求得，再利用坐标求模即得结果.
【详解】（1）由向量，得，
于是，而，
所以.
（2）由向量，得，，
由，得，解得，
所以实数的值是.
（3）依题意，即，
于是，解得，所以.
16．(1)
(2)
【分析】（1）首先利用数量积公式和三角恒等变换化简函数，再结合三角函数的性质，即可求解；
（2）首先利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再通过换元后，结合的图象，即可求解.
【详解】（1），
，
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以，
令,
则，
所以的单调递减区间为;
（2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得，
令，则，
所以，
因为在上只有一个解，

由的图象可得，−3≤m