湖南省名校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

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1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为纯虚数，则（ ）
A. 3B. C. D.
2. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ）
A B. C. D.
3. 若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 函数单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
5. 6万多年一遇的紫金山—阿特拉斯彗星是中国科学院紫金山天文台发现的第8颗彗星，它于2024年10月12日最接近地球，在北半球可观测到.已知某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距太阳最近的点）距太阳中心0.6天文单位，远日点（距太阳最远的点）距太阳中心35天文单位，且近日点､远日点及太阳中心在同一条直线上，则该椭圆的离心率约是（ ）
A. 0.017B. 0.25C. 0.86D. 0.97
6. 已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则的渐近线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线与抛物线相交于两点，点在轴上，且，则点到坐标原点的距离为（ ）
A. 4B. 2C. D.
8. 已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线和圆，则（ ）
A. 直线过定点
B. 直线与圆有两个交点
C. 存在直线与直线垂直
D. 直线被圆截得的最短弦长为
10. 如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，则（ ）

A.
B. 平面
C.
D. 点到平面的距离为
11. 已知椭圆左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点（与的顶点不重合），则（ ）
A. 的方程为
B.
C. 面积随周长变大而变大
D. 直线和的斜率乘积为定值
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，内角的对边分别为，已知，则__________.
13. 曲线的周长为__________.
14. 已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）若在区间上的值域为，求实数的取值范围.
16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，且平面平面ABCD，．

（1）证明：平面PCD；
（2）若，E为棱PC的中点，求直线PC与平面ABE所成角的正弦值．
17. 已知抛物线C：与椭圆E：的一个交点为，且E的离心率.
（1）求抛物线C和椭圆E的方程；
（2）过点A作两条互相垂直的直线AP，AQ，与C的另一交点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点.
18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为2.
（1）求E的方程.
（2）若为上一点，求的取值范围.
（3）判断上是否存在不同的三点，使得线段（为坐标原点）的中点与的中点重合于直线上一点.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
19. 在平面直角坐标系中，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到的“切比雪夫距离”，记作.
（1）已知点和点，直线，求和.
（2）已知圆和圆.
①若两圆心切比雪夫距离，判断圆和圆的位置关系；
②若，圆与轴交于两点，其中点在圆外，且，过点任作一条斜率不为0的直线与圆交于两点，记直线为，直线为，证明：.