新高考数学二轮复习数列专项练习专题01 等差数列必备知识点与考点突破（2份，原卷版+解析版）

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◆知识点1:等差数列
1.定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示.
2.等差数列的判定
(1)(定义法); (2)(中项法);
(3)(通项法, 一次函数); (4)(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点).
3.等差数列通项公式
的几何意义是过两点的直线的斜率.
例:已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1 = 1，－ = 1，则an =（ ）
A．2n －1B．nC．2n － 1D．2n-1
◆知识点2:等差数列的性质
设为等差数列,公差为,则
1.若,则.
特别地,(1)若,则;
2.若,则;
3.若是有穷等差数列,则与首、末两项等距离的两项之和都相等, 且等于首、末两项之和,即 .
4.数列 是常数)是公差为的等差数列.
5.若是公差为的等差数列,与的项数一致,则数列为常数)是公差为的等差数列.
6.下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列.
7.在等差数列中,若,则有.
例:已知数列是等差数列，且，则等于（ ）
A．84B．72C．60D．43
例:是等差数列，且，，则的值（ ）
A．B．C．D．
◆知识点3:等差数列前n项和
1.等差数列前n项和公式
(1)
(2)
(3) (关于前n项和的最大值与最小值可选择此二次函数形式)
2.等差数列前n项和公式与二次函数的关系
等差数列的前项和,令,则 .
(1) 当(即)时,是常数函数,是各项为0的常数列.
(2) 当(即)时,是关于的一次函数,是各项为非零的常数列.
(3) 当(即)时,是关于的二次函数(常数项为0).
从上面的分析,我们可以看出:
(1)一个数列是等差数列的条件是其前项和公式是关于的二次函数或一次函数或常数函数,且为常数).
(2)若一个数列前项和的表达式为为常数),则当时,数列不是等差数列,但从第2项起为等差数列;
(3)由二次函数图象可知,当时(是递增数列),有最小值;当时(是递减数列),有最大值.
例:在等差数列中，，前n项和为，且若对一切正整数n，均有 成立，则正整数_____________．
◆知识点4:等差数列前n项和的性质
1.等差数列中依次项之和 组成公差为的等差数列
2.若等差数列的项数为,则
3.若等差数列的项数为,则(是数列的中间项),
4.为等差数列为等差数列
5.若都为等差数列,分别为它们的前项和,则
例:设等差数列的前项和为且则（ ）
A．2330B．2130C．2530D．2730
例:设是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
【核心考点】
◆考点1:等差中项
1．等差数列的前三项依次为x，，，则x的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，则a，b的等差中项为（ ）
A．B．C．D．
3．正项等比数列中，，，成等差数列，若，则（ ）
A．4B．8C．32D．64
4．已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为（ ）．
A．5B．512
C．1024D．64
◆考点2:等差数列的证明
1．等差数列的前n项和为，若则公差（ ）
A．1B．2C．－1D．－2
2．已知等比数列满足，，则（ ）
A．数列是等差等列B．数列是等差数列
C．数列是递减数列D．数列是递增数列
3．数列{}中，则该数列中相邻两项乘积为负数的是（ ）
A．B．C．D．
4．设数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
◆考点3:等差数列的性质
1．已知数列满足，，，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．已知数列是等差数列，且满足，则等于（ ）
A．84B．72C．75D．56
3．在等差数列中，，则（ ）
A．8B．12C．16D．20
4．设是等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．D．
5．在等差数列中，为其前项和，若，则（ ）
A．20B．27C．36D．45
6．等差数列满足，则其前10项之和为（ ）
A．-9B．-15C．15D．±15
7．已知等差数列且，则数列的前13项之和为（ ）
A．26B．39C．104D．52
◆考点4:已知Sn和an的关系求通项公式
1．已知是数列的前项和，且满足，.则（ ）
A．B．C．D．
2．各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＝anan＋1，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝（ ）
A．B．
C．D．
3．记数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．是等差数列C．是等比数列 D．
4．记数列的前n项和为，，则（ ）
A． B．C．D．
5．已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝(－1)n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，求T2 021.
◆考点5:等差数列前n项和的性质
1．设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．45B．32C．47D．54
2．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．2D．3
3．等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
4．设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（ ）
A．B．C．D．
5．等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．11B．7C．9D．12
6．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn′，如果 (n∈N*)，则的值是（ ）
A．B．C．D．
◆考点6:含绝对值的等差数列前n项和
1．设等差数列的前项和为，若，
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项的和.
2．已知在前项和为的等差数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
◆考点7:数列的奇数项和偶数项性质
1．已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30B．29C．28D．27
2．(多选)下列结论中正确的有（ ）
A．若为等差数列，它的前项和为，则数列也是等差数列
B．若为等差数列，它的前项和为，则数列，，，也是等差数列
C．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则
D．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则
3．在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________.
4．已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．
5．已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30B．60C．90D．120
6．已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5B．7C．9D．11
7．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
◆考点8:等差数列前n项和的函数特征
1．已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．(多选)已知等差数列的前n项和为，且，，，则（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当时，最大D．当时，n的最大值为14
3．(多选)等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a15>0，a160B．d