备战2024年高考数学二轮复习专题01等差数列的基本量的计算(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题01等差数列的基本量的计算(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了等差数列的基本量的计算，等差数列前n项和最值问题，含绝对值型求和问题等内容，欢迎下载使用。

常见考点
考点一 等差数列的基本量的计算
典例1．记等差数列的前项和为，设，且成等比数列. 求
（1） a1和d.
（2）求数列的前项和.
变式1-1．已知是等差数列，其中，公差，
（1）求的通项公式.
（2）求数列前n项和.
变式1-2．等差数列中，，.
（1）求；
（2）求通项和前项和.
变式1-3．已知等差数列的前n项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
考点二 等差数列前n项和最值问题
典例2．记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求公差及的通项公式；
（2）求，并求的最小值.
变式2-1．为等差数列的前项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求，并求的最小值.
变式2-2．数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负．
(1)求数列的公差；
(2)求前n项和Sn的最大值．
变式2-3．已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求当取何值时有最小值.
考点三 含绝对值型求和问题
典例3．记数列中，，，.
(1)证明数列为等差数列，并求通项公式；
(2)记，求.
变式3-1．设等差数列的前项和为．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．

变式3-2．已知为数列的前项和，且.
(1)求证:数列是等差数列；
(2)记，试求数列的前项和.

变式3-3．在①②若为等差数列，且③设数列的前项和为，且．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答
(1)求数列的通项公式
(2)求数列的前项和为的最小值及的值
(3)记，求

巩固练习
练习一 等差数列的基本量的计算
1．在等差数列中，已知，是一元二次方程的两个根．
(1)求，；
(2)求的通项公式．

2．已知等差数列，为其前项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列的前项和，求．

3．已知等差数列中，公差.求：
（1）的值；
（2）该数列的前5项和.

4．已知等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.

练习二 等差数列前n项和最值问题
5．已知数列中，且.
(1)求；
(2)求数列{}的前n项和的最大值.

6．已知数列{an}是一个等差数列，且a2=11，S5=45.
(1)求{an}的通项an；
(2)求{an}的前n项和为Sn的最大值.

7．已知等差数列的前项和是，，.
（1）求；
（2）求的最大值，并求对应的项数.

8．已知数列为等差数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和的最大值.

练习三 含绝对值型求和问题
9．设数列的前项和为， 已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项的和.

10．已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的前项和.

11．已知等差数列的前n项和为，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的值.

12．已知数列是等差数列，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前17项和.

第二篇 数列
专题01 等差数列的基本量的计算
常见考点
考点一 等差数列的基本量的计算
典例1．记等差数列的前项和为，设，且成等比数列. 求
（1） a1和d.
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），，或，，（2）或
【解析】
【分析】
（1）由成等比数列，可得，结合，列出关于的方程组，可求出a1和d.
（2）直接利用等差数列的前项和公式求解即可
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，
即，
因为，所以，即，
所以，，解得或，
当时，，当时，，
所以，，或，，
（2）当，时，，
当，时，
【点睛】
此题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查计算能力，属于基础题
变式1-1．已知是等差数列，其中，公差，
（1）求的通项公式.
（2）求数列前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由等差数列的通项公式可以直接求出；
（2）由等差数列的前项和公式可以直接求出.
【详解】
（1）是等差数列，且，，
；
（2）.
【点睛】
本题考查已知等差数列的首项和公差求数列的通项公式和前项和，属于基础题.
变式1-2．等差数列中，，.
（1）求；
（2）求通项和前项和.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
【分析】
（1）解方程组即得；（2）利用公式求解即可.
【详解】
（1）由题得.
（2）由题得.
所以前项和.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列通项的求法和前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
变式1-3．已知等差数列的前n项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组求得的值，进而求得数列的通项公式.（2）根据（1）的结论求得数列的前项和公式.
【详解】
设的公差为d，则由题意得，
解得：.
(1)的通项公式为，
即.
（2）的前n项和为.
【点睛】
本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.
考点二 等差数列前n项和最值问题
典例2．记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求公差及的通项公式；
（2）求，并求的最小值.
【答案】（1），；（2），最小值为.
【解析】
（1）设的公差为，由题意得，再由可得，从而可求出的通项公式；
（2）由（1）得，从而可求出其最小值
【详解】
（1）设的公差为，由题意得.
由得.
所以的通项公式为.
（2）由（1）得.
所以时，取得最小值，最小值为
变式2-1．为等差数列的前项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求，并求的最小值.
【答案】（1）；（2），时，的最小值为.
【解析】
（1）利用等差数列的通项公式以及前项和公式求出，，代入通项公式即可求解.
（2）利用等差数列的前项和公式可得，配方即可求解.
【详解】
（1）设的公差为 ，
由，，
即，解得，
所以.
（2），
，
所以当时，的最小值为.
变式2-2．数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负．
(1)求数列的公差；
(2)求前n项和Sn的最大值．
【答案】（1）；（2）78
【解析】
【分析】
（1）根据可得的范围，再根据为整数得到的值.
（2）根据项的符号特征可得最大．
【详解】
(1)由已知，得，
.
解得.
又，∴.
(2)∵，∴数列是递减数列．
又∵，，
∴当时， 取得最大值，为.
【点睛】
一般地，等差数列的前项和的最值可以通过等差数列的通项的符号来确定，如果满足，，则有最小值且最小值为；如果满足，，则有最大值且最大值为.
变式2-3．已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求当取何值时有最小值.
【答案】（1）；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）设的公差为，构建关于基本量的方程组，求出的值后可求的通项公式.
（2）求出的表达式，从而可求当取何值时有最小值.
【详解】
（1）设的公差为，由题意得得，
所以的通项公式为.
（2）由（1）得，
所以当时，取得最小值，最小值为.
【点睛】
本题考查等差数列通项公式的求法以及前项和的最值，此类问题，可根据题设条件得到关于基本量的方程组，求出基本量的值后可讨论与等差数列相关的问题，本题属于基础题.
考点三 含绝对值型求和问题
典例3．记数列中，，，.
(1)证明数列为等差数列，并求通项公式；
(2)记，求.
【答案】(1)证明见解析，；
(2)且.
【解析】
【分析】
（1）由已知可得，根据等差数列的定义可证等差数列，进而写出通项公式.
（2）由（1）有，讨论、分别求即可.
(1)
∵，，，
∴，
∴，即数列为等差数列，
.
(2)
由（1）知：，
时，，
时，.
∴且.
变式3-1．设等差数列的前项和为．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列前n项和求和公式求出首项和公差，进而求出通项公式；
（2）结合（1）求出，再令得出数列的正数项和负数项，进而结合等差数列求和公式求得答案.
(1)
设等差数列的首项和公差分别为和，
∴，解得：
所以.
(2)
，所以.
当；当，
当，时，，
当时，
.
综上：.
变式3-2．已知为数列的前项和，且.
(1)求证:数列是等差数列；
(2)记，试求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用的关系求通项公式，结合等差数列的定义证明结论.
（2）由（1）得，讨论的范围，应用等差数列前n项和公式求.
(1)
当时，
当时，也适合上式，故.
综上，，
∴数列是以为首项，为公差的等差数列.
(2)
由（1）知：，
当时，；
当时，，
∴
变式3-3．在①②若为等差数列，且③设数列的前项和为，且．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答
(1)求数列的通项公式
(2)求数列的前项和为的最小值及的值
(3)记，求
【答案】(1)
(2)当或时，取得最小值为.
(3)
【解析】
【分析】
（1）选①结合等差数列的定义求得；选②通过求来求得；选③利用求得.
（2）由求得的最小值以及对应的值.
（3）结合等差数列前项和公式求得.
(1)
选①，，
，，
所以数列是以为首项，公差的等差数列，所以.
选②，设等差数列的首项为，公差为，
.
选③，，
当时，，
当时，，
当时上式也符合，所以.
(2)
由得，
所以当或时，最小，且最小值为.
(3)
，
结合（2）可知
.
巩固练习
练习一 等差数列的基本量的计算
1．在等差数列中，已知，是一元二次方程的两个根．
(1)求，；
(2)求的通项公式．
【答案】(1)，或，
(2)或
【解析】
【分析】
（1）求出方程的根即可.
（2）由（1）可解出等差数列的公差即可.
(1)
因为，所以或14，
所以，；或，．
(2)
设公差为d，
若，，得，
所以通项公式为；
若，，则，
所以通项公式为．
故的通项公式：或.
2．已知等差数列，为其前项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列的前项和，求．
【答案】（1），；（2），.
【解析】
【分析】
（1）由已知，结合等差数列前n项和及通项公式求、，写出通项公式即可；
（2）由（1）可得，再应用等差数列前n项和公式求.
【详解】
（1）由题意，，可得，若公差为，
∴，故，
∴的通项公式.
（2）由（1）得，则，
∴.
3．已知等差数列中，公差.求：
（1）的值；
（2）该数列的前5项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求得，由此求得.
（2）利用等差数列前项和公式求得.
【详解】
（1）依题意，
所以.
（2）.
4．已知等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）根据题中条件，先得出公差，进而可求出通项公式；
（2）根据（1）的结果，由等差数列的求和公式，即可求出结果.
【详解】
（1）因为等差数列中，首项为，公差为，
所以其通项公式为；
（2）由（1）可得，数列的前项和.
练习二 等差数列前n项和最值问题
5．已知数列中，且.
(1)求；
(2)求数列{}的前n项和的最大值.
【答案】(1)＝﹣4n+17；
(2)28.
【解析】
【分析】
(1)根据等差数列的定义判断为等差数列即可求其通项公式；
(2)根据等比数列前n项和的性质即可求其最值.
(1)
由﹣4，可知，﹣＝﹣4，
∴数列{}是以13为首项，以﹣4为公差的等差数列，
∴＝13﹣4(n﹣1)＝﹣4n＋17；
(2)
由(1)可知，数列{}单调递减，且a4＞0，a5＜0，
∴当n＝4时，{}的前n项和取得最大值＝13＋9＋5＋1＝28.
6．已知数列{an}是一个等差数列，且a2=11，S5=45.
(1)求{an}的通项an；
(2)求{an}的前n项和为Sn的最大值.
【答案】(1)an=15-2n
(2)49
【解析】
【分析】
（1）由等差数列的性质知a3=9，d=a3-a2=-2，从而写出通项公式；
（2）由通项公式知a7=1>0，a8=-1<0，从而可求得Sn的最大值.
(1)
∵数列{an}等差数列，S5=45，
∴S5=5a3=45，∴a3=9，
故d=a3-a2=9-11=-2，
故an=a2+（n-2）d=15-2n.
(2)
∵an=15-2n，∴a7=1>0，a8=-1<0，
故当n=7时，Sn有最大值S7=7a4=7×（15-8）=49.
7．已知等差数列的前项和是，，.
（1）求；
（2）求的最大值，并求对应的项数.
【答案】（1）；（2）时，最大值42.
【解析】
【分析】
（1）根据所给条件求得等差数列的通项公式，代入数值即可得解；
（2）由通项公式可知时，，时，，即可得解.
【详解】
（1）根据题意设等差数列的公差为，
由，所以，
由所以，
所以，
所以，
所以；
（2）由（1）知，
当时，，
特别的，
当时，，
所以当时，取最大值，最大值42.
8．已知数列为等差数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和的最大值.
【答案】（1）；（2）36.
【解析】
【分析】
（1）由已知求出公差，从而可求出数列的通项公式；
（2）由（1）得，然后配方利用二次函数的性质可得答案
【详解】
解：因为为等差数列，令其公差为，
则由题意得，
得，
故
，
即的通项公式为.
（2）由（1）知，，
故
，
所以当，的最大值为.
练习三 含绝对值型求和问题
9．设数列的前项和为， 已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项的和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由可求得数列的通项公式；
（2）化简的表达式，分、两种情况求的表达式，综合即可得解.
(1)
解：当时，，
当时，.
不满足，因此，.
(2)
解：.
当时，，
满足；
当时，.
综上所述，.
10．已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可求得当时，；当时，利用，检验得时也满足，从而可得出数列的通项公式；
（2）由（1）知当时，，当时，，则需要分类讨论，当时，，从而可知是首项为12，公差为-2的等差数列，利用等差数列的前项和公式，即可求出；当时，化简得出，结合题意求出；综合两种情况，从而得出的前项和.
【详解】
（1）当n＝1时，；
当时，，
显然时也满足上式，
所以.
（2）由（1）知，
所以当时，；当时，，
①当时，，
则，，
所以是首项为12，公差为-2的等差数列，
所以；
②当时，
.
综上可得：.
11．已知等差数列的前n项和为，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)58
【解析】
【分析】
（1）由等差数列的性质和基本量运算求得数列的首项和公差，然后可得通项公式；
（2）确定数列项的正负，然后分组求和．
(1)
因为是等差数列，所以，，
又，所以，所以，，
从而，
，
(2)
由（1）时，，时，，
所以.
12．已知数列是等差数列，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前17项和.
【答案】（1）；（2）217.
【解析】
【分析】
（1）由已知条件，求出公差即可求解；
（2）因为当时，，当时，，所以，由等差数列求和公式即可求解.
【详解】
解：（1）因为数列是等差数列，设公差为，
因为，，
所以，
所以，
所以；
（2）设等差数列的前项和为，
令，解得，
所以当时，，当时，，
故
.