2022-2023学年江西省临川一中等部分高中学校高二下学期第三次联考数学试题含答案

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江西省2023年5月部分高中学校第三次联考高二数学试题
高二数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性第二册第一章占20%，第二章第1节至第5节占30%，第二章第6节至第7节占50%.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数，当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为（ ）
A. 1 B. 1.1 C. 2 D. 2.1
2. 若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
3. 已知为函数图象上一点，则曲线在点处的切线的倾斜角的最小值为（ ）
A. B. C. D. 0
4. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知等差数列的前项和，且是利的等比中项，则（ ）
A. 39 B. 40 C. 41 D. 42
6. 若函数在区间上单调递减，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是定义在R上的奇函数，的导函数为 ，若 恒成立，则的解集为（ ）
A B. C. D.
8. 在一个宫格中，有如图所示的初始数阵，若从中任意选择个宫格，将其相应的数变为相反数，得出新的数阵，则新的数阵中的所有数字的和所能取到的最小非负整数为（ ）
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25

A. 1 B. 2 C. 24 D. 25
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数的导函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. 在上单调递增
B. 曲线在处的切线的斜率为0
C. 有1个极大值点
D. 有2个极小值点
10. 过点且与曲线相切的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知等比数列的公比为，前项积为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
12. 若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数，则________．
14. 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后秒内列车前进的距离为米，若列车刹车后30秒车停下来，则刹车过程中列车前进了________米．
15. 已知数列满足记，为坐标原点，则面积的最大值为_____________.
16. 已知函数存在两个极值点，且，则的取值范围为________，的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步装．
17. 求下列函数的导数．
（1）；
（2）．
18. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在内有且只有一个零点，求值．
19. 已知数列满足．
（1）若是等比数列，且成等差数列，求的通项公式；
（2）若是公差为2的等差数列，证明：．
20. 已知函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）设函数，求的最值．
21. 如图，一个仓库由上部屋顶和下部主体两部分组成，上部屋顶形状为正四棱锥，，下部主体的形状为正四棱柱．已知上部屋顶的造价与屋顶面积成正比，比例系数为，下部主体的造价与高度成正比，比例系数为．欲建造一个上、下总高度为，的仓库．现存两个求总造价的方案：

（1）设，将总造价表示为的函数；
（2）设屋顶侧面与底面所成的二面角为，将总造价表示为的函数．
请从上述两个方案中任选一个，求出总造价的最小值．
22. 已知函数有两个不同零点．
（1）求取值范围；
（2）若恒成立，求的取值范围．













江西省2023年5月部分高中学校第三次联考高二数学试题
高二数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性第二册第一章占20%，第二章第1节至第5节占30%，第二章第6节至第7节占50%.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数，当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为（ ）
A. 1 B. 1.1 C. 2 D. 2.1
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均变化率的意义直接计算可得答案.
【详解】由题意得，故，
故，
即当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为2.1，
故选：D
2. 若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的定义将已知等式变形整理为，即可得答案.
【详解】由可得，
即，
故选：C
3. 已知为函数图象上一点，则曲线在点处的切线的倾斜角的最小值为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】由导数的几何意义可求出切线的斜率即为的范围，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】因为，即曲线在点处的切线的斜率，
所以倾斜角，即倾斜角的最小值为.
故选：A.
4. 函数的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用时，，可判断B，D；利用函数的导数判断时图像变化情况，可判断A，C.
【详解】当时，，故B，D错误；
又，当时，，当时，，
故时的图象是先下降后上升，故A错误，C正确，
故选：C
5. 已知等差数列的前项和，且是利的等比中项，则（ ）
A. 39 B. 40 C. 41 D. 42
【答案】C
【解析】
【分析】根据数列的递推式可得时，，由此结合是利的等比中项，可列出，即可求得k的值，即得答案.
【详解】由题意等差数列的前项和，
故时，，
故，
又是利的等比中项，即，且，
则，由于，故，
故选：C
6. 若函数在区间上单调递减，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导数，根据在上单调递减，可得到在上恒成立，所以需，函数在上是减函数，所以，这样就可以求出结果.
【详解】，
在上单调递减，
在上恒成立，
所以在上恒成立，
当时，恒成立，满足题意；
当时，显然，需，
所以函数在上是减函数，
，，则m<0；
综上所述，的取值范围为.
故选：B
7. 已知是定义在R上的奇函数，的导函数为 ，若 恒成立，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的单调性求解.
【详解】令函数，则 ，
因为 所以. 是增函数，
因为是奇函数，所以，，
所以的解集为，即≥的解集为；
故选：D.
8. 在一个宫格中，有如图所示的初始数阵，若从中任意选择个宫格，将其相应的数变为相反数，得出新的数阵，则新的数阵中的所有数字的和所能取到的最小非负整数为（ ）
1
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25

A. 1 B. 2 C. 24 D. 25
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得初始数阵中所有数字的和为，在求得加粗部分数阵的和为，结合题意求得新数阵的数字之和为，即可求解.
【详解】如数表所示，将图中数据加粗的部分对应的数变为其相反数，
其中初始数阵中所有数字的和为，
数据加粗部分的数阵中数字的和为，
将加粗部分数字变为相反数后的新数阵的数字之和为，
因为是奇数，所以无论怎样变化，新数阵的和都不可能为，
所以新数阵中所有数字的和能取到的最小非负整数为.
故选：A.
1
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24
25

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数的导函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. 在上单调递增
B. 曲线在处的切线的斜率为0
C 有1个极大值点
D. 有2个极小值点
【答案】BC
【解析】
【分析】结合的图象，根据的正负，判断函数的单调情况，一一判断各选项，即可得答案.
【详解】由导函数的大致图象可知，在上先负后正，
故在上不单调，A错误；
由图象可知，故曲线在处的切线的斜率为0，B正确；
由图象可知从左至右，先正后负再非负，其中最后部分仅在时，，
故函数是先递增后递减再递增，即有一个极大值点和一个极小值点，C正确，D错误，
故选：BC
10. 过点且与曲线相切的直线方程为（ ）
A. B.
C D.
【答案】BC
【解析】
【分析】设出切点，利用导数的几何意义得出切线方程为，再利用条件得到方程，从而求出，进而可求出切线方程.
【详解】设切点为，因为，所以，故切线方程为，
又因为切线过点，所以，整理得，解得或，
当时，切线方程为，即，
当，切线方程为，即.
故选：BC.
11. 已知等比数列的公比为，前项积为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合等比数列的通项公式及下标和性质一一分析即可.
【详解】因为等比数列的公比为，，
，
则，，即，
所以，，
所以，，故A正确，B正确；
所以，
，故C正确，D错误．
故选：ABC．
12. 若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】将不等式变形为，然后由指数切线不等式得，再构造函数求出其最小值即可求解.
【详解】因为，所以，则．
令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，即，
从而，当且仅当时，等号成立．
又，所以，则，所以．
令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．故，
且当时，.
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数，则________．
【答案】7
【解析】
【分析】求出函数的导数，可求得，即可求得答案.
【详解】由函数可得函数，
故，故，
故答案为：7
14. 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后秒内列车前进的距离为米，若列车刹车后30秒车停下来，则刹车过程中列车前进了________米．
【答案】405
【解析】
【分析】求的导数，即得速度v的表达式，令即可求得m的值，即可求得答案.
【详解】由题意得，即，
故令，
故（米），
故答案为：405
15. 已知数列满足记，为坐标原点，则面积的最大值为_____________.
【答案】4
【解析】
【分析】先由递推公式推出为等比数列，求出其通项公式，用累加法求出的通项公式，再列出关于面积的函数式，求出其最值即可.
【详解】因为，所以，
即，
因为，所以是以4为首项为公比的等比数列，
所以，由累加法得：
所以

因为，所以，

令函数，则.
当时，，而，所以在上单调递减.
，故面积的最大值为4.
故答案为：4.
16. 已知函数存在两个极值点，且，则的取值范围为________，的取值范围为________．
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】求出函数的导函数，依题意与在上有两个不同的交点，即可求出的取值范围，在由正弦函数的对称性得到，即，即可得到，再令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的值域，从而得解.
【详解】因为，所以，
因为存在两个极值点，且，
所以在上有两个不相等的实根，
所以与在上有两个不同的交点，
所以，即，
当时，函数图象关于直线对称，
所以，即，
则，
令，，
则，所以在上单调递减，
所以，所以，
即.
故答案为：；
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步装．
17. 求下列函数的导数．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据简单复合函数的求导法则计算可得；
（2）根据导数的运算法则计算可得.
【小问1详解】
因为，所以.
【小问2详解】
因为，所以.
18. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在内有且只有一个零点，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，讨论导数零点的大小关系，从而判断函数的单调性；
（2）根据（1）的单调性的结果，并结合，从而列式求的值.
【小问1详解】
，
当时，，得或，，得，
函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，，得或，，得，
函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，恒成立，函数在单调递增.
综上可知，当时，函数的单调递增区间是和，
单调递减区间是；
当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，函数的单调递增区间是，无减区间.
【小问2详解】
由条件可知，，
由（1）可知，当时，若函数在有且只有一个零点，
则，解得：，
当时，函数在单调递增，所以无零点，
所以.
19. 已知数列满足．
（1）若是等比数列，且成等差数列，求的通项公式；
（2）若是公差为2的等差数列，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设的公比为q，由题意列式求得q，再结合已知可得，即可求得答案；
（2）由已知求得的通项公式，可得。利用累乘法求得的表达式，再用裂项求和法证明结论.
【小问1详解】
设的公比为q，由于成等差数列，
故，而，故，
解得，
由，得，
即是等比数列，且，故；
【小问2详解】
证明：是首项为1，公差为2的等差数列，故，
由，得，
故
，
故
.
20. 已知函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）设函数，求的最值．
【答案】（1）1 （2）有最小值为0，无最大值.
【解析】
【分析】（1）用导数求出的单调性即可知，从而可求的值；
（2）构造函数可得，无最大值，而即可得的最值．
【小问1详解】
函数的定义域为，
，令得，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以，解得，
故所求的值为1.
【小问2详解】
令，
，令得，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以，无最大值，
所以，
而函数单调递增，且，
由上可知有最小值为0，当且仅当即时取得最小值，无最大值.
21. 如图，一个仓库由上部屋顶和下部主体两部分组成，上部屋顶的形状为正四棱锥，，下部主体的形状为正四棱柱．已知上部屋顶的造价与屋顶面积成正比，比例系数为，下部主体的造价与高度成正比，比例系数为．欲建造一个上、下总高度为，的仓库．现存两个求总造价的方案：

（1）设，将总造价表示为的函数；
（2）设屋顶侧面与底面所成的二面角为，将总造价表示为的函数．
请从上述两个方案中任选一个，求出总造价的最小值．
【答案】（1）①；②.
（2）
【解析】
【分析】（1）①求出得出上部屋顶造价，由得出下部主体造价，进而得出总造价；②由二面角的定义结合直角三角形的边角关系得出总造价；
（2）选择①：令，利用导数得出总造价的最小值；选择②：令，由导数得出总造价的最小值.
【小问1详解】
解：①由题意可知，，
则，
取的中点，连接、，
因为，为的中点，则，
所以，，
所以，
故上部屋顶造价为.
因为，所以下部主体造价为.
故总造价为.
②如图，设的中点为，连接，则.
由于平面，平面，则有，
因为，为的中点，则，
因为，、分别为、的中点，则，则，
在中，由二面角的定义可知，则有，，
所以上部屋顶面积为，下部主体的高度为，
所以仓库的总造价为，其中.
小问2详解】
解：选择①：总造价为，
令，.
当时，；当时，.
即函数在上单调递减，在上单调递增.
故总造价取最小值为.
选择②：设，所以.
令，得，令，，则.
则当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以当时，有最小值，
此时总造价取最小值为.
22. 已知函数有两个不同的零点．
（1）求的取值范围；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，求出函数的最小值，结合已知条件可得到关于a的不等式求解即可；
（2）依题意可得恒成立，再证明，构造函数，利用导数研究函数的单调性及最值可知，再结合的单调性可证得结论，得到，即可求出的的取值范围.
【小问1详解】
由，可得，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以在处取得极小值即最小值，所以，
因为函数有两个不同的零点，所以，解得，
当时，，，，
其中令，，
则，所以在上单调递增，
所以，即，
所以使得，使得，
综上可得.
【小问2详解】
因为函数有两个不同零点，
所以，
由恒成立，可知，所以恒成立，
所以恒成立，
现证明，不妨设，
则，且.
要证，即证，
令，，
则，，
令，则，所以单调递增，则，
所以，函数单调递减，所以，
即，，
又，所以
因为在区间上单调递增，所以，
所以，则，
所以，所以.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．