2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中高二（上）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x+2y−1=0的斜率是( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
2.两男两女站成一排照相，女生相邻的所有排列种数为( )
A. 3B. 6C. 12D. 24
3.若直线l的方向向量为a=(12,0,1)，平面α的法向量为n=(−2,0,−4)，则( )
A. l//αB. l⊥αC. 1⊂αD. l与α斜交
4.下列结论错误的是( )
A. C1196211=C1196985B. C2025985=C2024985+C2024984
C. C40+C41+C42+C43+C44=16D. C985211=985C984210
5.已知点P是⊙C：x2+y2+2x−8=0上的动点，点A(1,0)，AP的垂直平分线交CP于点M，则点M的轨迹方程是( )
A. x29+y28=1B. 4x29+4y25=1C. x29−y28=1D. 4x29−4y25=1
6.冬奥会组委会要从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人进行比拼，记事件A=“甲被选乙不被选上”，则事件A发生的概率为( )
A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.6
7.在平面直角坐标系xOy中，已知A(−2,0)，B(1,0)，点P满足|PA|=2|PB|，则下列结论错误的是( )
A. 点P的轨迹方程为x2+y2−4x=0B. △PAB最大面积为3
C. 直线PA斜率的取值范围是[− 3, 3]D. |PB|的取值范围是[1,3]
8.已知点F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=60°，若双曲线C2的离心率的取值范围是[3 24, 62]，则椭圆C1的离心率的取值范围为( )
A. [ 24, 22]B. [12, 22]C. [ 22, 32]D. [ 32,1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”，则( )
A. A与C互斥B. B与D对立C. A与D−相互独立D. B与C相互独立
10.设(1+3x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，若a5=a6，则下列结论正确的是( )
A. n=7 B. n=11
C. a0−a1+a2−a3+…+(−1)nan=−128 D. a1=35
11.抛物线C：y2=2px(p>0)上的点到直线l：x−y+2=0的最小距离为 22，直线AB经过C的焦点F，交C于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则下列结论正确的是( )
A. p=2B. p=6
C. (2|FA|+|FB|)max=3+2 2D. (|FA|−2|FB|)min=2 2−2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆x2+y2−4=0与圆x2+y2−4x+4y−12=0的公共弦的长为 ．
13.某名校为落实教育帮扶“深耕计划”，选派了4名教师到A，B，C三个县城学校进行教育帮扶指导.每个学校至少派1人，不同的安排方式共有______种(用数字解答)．
14.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(b>a>0)的一个焦点为F,O为坐标原点，点A,B在双曲线上运动，以A,B为直径的圆过点O，且OA+OBOF≤OAOB恒成立，则C的离心率的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知( 2x−1)5=a0+xa1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5．
(1)求|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值；
(2)求 2a1+2a2+2 2a3+4a4+4 2a5的值．
16.(本小题15分)
直线l经过两直线l1：3x+4y−2=0和l2：2x+y+2=0的交点．
(1)若直线l与直线3x+y−1=0垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l与圆(x−3)2+(y−1)2=25相切，求直线l的方程．
17.(本小题15分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为π3，C的右焦点F到该渐近线的距离为2 3．
(1)求C的方程；
(2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆O：x2+y2=a2交于与A，B不重合的M，N两点．
(i)求直线AB斜率的取值范围；
(ii)求|AB|⋅|MN|的取值范围．
18.(本小题17分)
如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC=4，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起，使得点A到达点P的位置，且平面PDE⊥平面BCDE，如图2，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B、C不重合)，F是PC上的动点(与点P、C不重合)．
(1)证明：EM⊥平面BMN；
(2)若点H在平面PBE内，当CH+FH最小时，求CF；
(3)是否存在点N，使得平面EMN与平面BCDE的夹角余弦值为 26？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12经过点F1且倾斜角为θ(013，
又圆O的方程为x2+y2=4，点O到直线AB的距离d=4 m2+1，
由d3，
由m2>13m2>3，得m2>3，所以m> 3或m3，设t=3m2−1，t>8，
则|AB|⋅|MN|=16 (t+4)(t−8)t=16 1−4t−32t2=16 −32(1t+116)2+98∈(0,16)．
所以|AB|⋅|MN|的取值范围是(0,16)．
18.解：(1)证明：∵PE⊥DE，BE⊥DE，∴DE⊥平面PBE，
∵DE/​/BC，∴BC⊥平面PBE，因为ME⊂平面PBE，
∴BC⊥ME，
∵BE=PE，M是PB中点，∴ME⊥PB，
∵BC∩PB=B，BC，PB⊂平面BMN，∴ME⊥面BMN．
(2)延长CB至点Q，使得BQ=BC，由(1)可知，DE⊥平面PBE，又DE⊂平面BCDE，
∴平面PBE⊥平面BCDE，∴CH=QH，

∴CH+FH=QH+FH≥QF，
∴当QF⊥CP，且QF∩PB=H时，CH+FH最小，
又BC=4，PC= PE2+EC2= 22+(2 2)2=2 3，
∴CF=2BC⋅cs∠FCB=2BC⋅BCPC=4 33，
(3)假设存在点N满足题意，∵平面PDE⊥平面BCDE，PE⊥DE，
平面PDE∩平面BCDE=DE，PE⊂平面PDE，∴PE⊥平面BCDE，
∴如图所示建系，

∴E(0,0,0)，P(0,0,2)，M(1,0,1)，设N(2,m,0)(0