河南省南阳市2025届高三上学期期末数学试题（解析版）

这是一份河南省南阳市2025届高三上学期期末数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，则，可得.
所以.
故选：B（改编自《数学》（必修第一册）第7页例4）
2. 已知集合，，则集合的真子集个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，则，
所以，集合的真子集个数为.
故选：A.
3. 直线交圆于、两点，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】联立解得：，，
所以.
故选：D.
4. 的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为.
的二项展开式的通项公式为.
而，所以的系数为为.
故选：C.
5. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是，那么将二进制数转换成十进制数就是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
6. 已知点，Q为曲线上任意一点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】为曲线上任意一点，可设，
所以
当时，最大.
故选：C.
7. 已知函数，则（ ）
A. 当时，在区间上单调递增
B. 当时，的图象关于点对称
C. 若将的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值为
D. 若在区间上恰有两个极值点，三个零点，则实数的最大值为
【答案】D
【解析】对于AB，当时，，当时，，函数在区间上单调递减，，的图象关于不对称，AB错误；
对于C，的图象向左平移个单位长度，得，
由图象与原图象重合，得，解得，的最小值为，C错误；
对于D，当时，，由在区间上恰有两个极值点，三个零点，得，解得，因此实数的最大值为，D正确.
故选：D.
8. 如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（ ）

A. 2B.
C. D. 4
【答案】B
【解析】设椭圆标准方程为，双曲线的标准方程为，
则，由，，
所以，所以椭圆方程可化为，
由，两式相减得，
，则，
根据对称性可知关于原点对称，关于轴对称.
则，
直线的方程为.
将代入得，
由，解得或，
而，，所以，
所以，所以双曲线方程可化为，
由消去并化简得，
设，解得，所以，
所以.
故选：B.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 一组数据，，，，，，，，的分位数为
B. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
C. 在对高三某班学生物理成绩的分层随机抽样调查中，抽取男生人，其平均数为，方差为；抽取女生人，其平均数为，方差为，则这名学生物理成绩的方差为
D. 若随机变量，且，则
【答案】CD
【解析】对于A：该组数据已从小到大排序，又，
故分位数为第位，即，故A错误；
对于B：因为样本点都在直线上，说明是负相关且相关系数为，故B错误；
对于C：这名同学物理成绩的平均数为：，
所以这名同学物理成绩的方差为：，故C正确；
对于D：因为，且，
所，
所以，故D正确.
故选：CD.
10. 小明在“数学建模活动”课中，取两个三角形模具，把它们的斜边靠在一起，如图所示，三角形模具绕着可以转动.其中斜边，，，则（ ）
A. 当A，B，C，D四点共面时，
B. 当A，B，C，D四点共面时，设与交于点，则
C. 当平面平面时，
D. 当A、B、C、D不共面时，四点A、B、C、D在同一球面上，且此球的体积为
【答案】BCD
【解析】由，，，可得，，.
对于A：，
由余弦定理得，错误；
对于B：由，得
即，
解得，正确；
对于C：过作于，则为的中点，连接.
当面面时，面面，面，则面.
而面，则，所以为直角三角形，，正确；
对于D：取的中点，则，
所以四点A、B、C、D在同一球面上，且球的半径为5，
所以，正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ）
A. 函数存在唯一极值点，且
B. 令，则函数无零点
C. 若恒成立，则
D. 若，，则
【答案】ABD
【解析】对于A：，显然在上单调递增，
又，，
所以，使得，故A正确；
对于B：由A得，，使得，即，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以恒大于0；
所以要研究函数的零点，只需研究函数的零点.
由，令，，
，当时，，即在单调递增，
当时，，即在单调递减，
所以，即，即在单调递增，
又时，，所以，
由恒大于0，恒大于0，故无零点，故B正确；
对于C：由B得，由恒成立，得在恒成立，
所以，即，故错误；
对于D：因为在单调递增，又，，则，
所以，即，
整理得，
不等式两边同除以得，，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 某校高三年级有男生660人，女生440人，现按性别用分层随机抽样的方法从高三年级所有学生中抽取5人组成某活动志愿者小队，再从被抽取的这5人中抽取2人作为志愿者小队队长，则恰有1名男队长的概率为_____.
【答案】或0.6
【解析】由分层抽样知，所抽取的这5人中有3男2女，所以恰有1个男队长的概率.
故答案为：.
13. 已知等差数列的前项和为，若，且，，，四点共面（为该平面外一点），则_____.
【答案】
【解析】因为，所以.
因为，，，四点共面，
所以，即.
所以.
故答案为：.
14. 已知双曲线的方程为：，离心率为，过的右支上一点，作两条渐近线的平行线，分别交轴于，两点，且.过点作的角平分线，在角平分线上的投影为点，则的取值范围为_____.
【答案】
【解析】，
，即，
∴两渐近线方程为，
为右支上一点，.
设，，
分别令，可得，，
又，，
即，，
∴双曲线方程为，故，，.
延长交于点，如图，
平分且，，
又，，为的中点，
，
，
易知，，，
，即的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. （1）如图（1），在圆O的内接四边形ABCD中，，，，求四边形ABCD的面积．
（2）如图（2），设圆O的内接四边形的边长分别为a，b，c，d，试证明其面积为．
解：（1）如图所示：
连接BD，在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得:,
因为，则，
两式相减得，
又，
所以，
所以.
（2）如图所示：
连接AC，在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得: ,
因为，则，
两式相减得：，
所以，
而，
因为，
所以，
所以，
所以，
则，
，
即.
16. 已知抛物线.
（1）求抛物线在点处的切线方程；
（2）若直线交抛物线于不同于原点的两点，，经研究，下面三个结论等价，请选择其中一个作为条件，证明其他两个成立.
①；②直线过定点；③，.
解：（1）法一：显然抛物线在处的切线的斜率存在，设其为，
则切线方程为，与抛物线联立，得，
即，只需，解得，
所以切线方程为.
法二：要求抛物线在处的切线，则由可得
所以在处的切线的斜率，所以切线方程为.
（2）因为直线交抛物线于，两点，所以可设直线
由，消去可得，
所以，，，
，
，
由①②③：因为，所以，即，
所以（舍去）.
所以直线经过定点，即证②.
所以，，即证③.
由②①③：因为直线经过定点，则
由上面可得，，即证③；
所以，所以，即证①.
由③①②：因为，，
所以，所以，即证①.
由上面可得，解得，
所以直线经过定点，即证②.
（改编自《数学》）（选择性必修第一册）第219页A组第6题）
17. 高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.
（1）从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率；
（2）从数学成绩超过分的同学中随机抽取人.
①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望；
②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果）
解：（1）解法一：记事件所抽取的学生的数学成绩超过分，则，
记事件所抽取的学生的总成绩超过分，则，
所以.
即任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为；
解法二：数学成绩超过分的有人，其中包含总成绩超过分以上的有人，
所以任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为
（2）①名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的，
所以所有可能的取值为：、、、，
，，
，.
所以的分布列为：
.
②名数学成绩超过分同学包含个总成绩在分之间的，
按可放回抽样的方式随机抽取，则随机变量，所以.
18. 已知函数.
（1）当时，求证：的图象关于点对称；
（2）若，，证明：；
（3）若，恒有，求实数的取值范围.
（1）证明：当时，的定义域为.
对任意，都有
因为恒成立，
所以的图象关于点对称；
（2）证明：解法一：，
当时，是递增函数，因此，，
又，所以，在上递减，
，
因为，所以，
从而；
解法二：因为，所以，
欲证，只需证明
记，则
因为，，，
所以，
所以，在上递减，
因为，所以，
从而；
（3）解：解法一：因，恒有，所以
即，所以.
当时，因为，所以，
记，则
在上递减，在上递增，，
所以
综上所述的取值范围是.
解法二：，，
当时，，在上是减函数，
当时，，
因此fx=ln2x−1x−1+ax>2ln2+32不可能恒成立.
时，由得，
记，，
则有两个实根，一根小于1，一根大于1，
大于1的根为，知它是关于的减函数，
注意到在上是增函数，且，
即时，，时，2x−1x−1>1a，
所以时，，递减，时，，递增，
所以，
时，，此时，
记，在上递减，在上递增，且，
因此，，即成立.
当时，，fx0=ln2x0−1x0−1+ax0>ln2x0−1x0−1+x0=hx0>h32=2ln2+32，
当时，，，所以不恒成立.
综上，时，恒成立
所以的取值范围是.
19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中），且为该平面的法向量.
（1）若平面，，且，求实数的值；
（2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积；
（3）记集合中所有点构成的几何体为.
①求的体积的值；
②求的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小.
解：（1）根据题意，平面的法向量，平面的法向量，
所以，故.
（2）不妨设，在平面内取一点，则向量，
取平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为
对于，
当时，表示经过，，的平面在第一象限的部分.
由对称性可知表示，，这六个顶点形成的正八面体.
法1：设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离，
则.
所以内切球的表面积为；
法2：考虑；
即为三个坐标平面与围成的四面体，其四个顶点分别为，，，，
此四面体的体积为，
由对称性知，正八面体的体积，
设内切球的半径为，正八面体的表面积为，
所以，解得：.
所以内切球的表面积为；
（3）由（2）可知所围几何体是关于平面，，对称的，
其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中、OB、两两垂直，且.
集合所表示的几何图形也关于平面，，对称，
其在第一卦限内的部分的图形如图（1），
图1
①如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果.
图2
所以所构成的几何体如图3所示.
图3
其中正方体记为集合所构成的区域.
而构成了一个正四棱锥，且到面的距离为1，
所以，
所以几何体的体积.
②从图2可以看出，几何体在第一卦限的部分为有公共底面的两个三棱锥和.
设其体积为.
由正方体的性质可知面.
因为，，
所以其体积.
所以几何体的体积.
由题意可知：面方程为，所以其法向量，面方程为，其法向量.
所以
由图知两个相邻的面所成角为钝角.
故相邻两个面所成角为.