2023届广东省肇庆市高三第二次教学质量检测数学试题含解析

2023届广东省肇庆市高三第二次教学质量检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用交集的定义即可求解.

【详解】因为集合，

所以.

故选：B．

2．已知复数满足(其中为虚数单位)，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用复数运算求出复数，即可得到答案；

【详解】∵复数满足，

∴，

故选：B.

3．为深入推进“五育”并举，促进学生身心全面和谐发展，某校于上周六举办跳绳比赛.现通过简单随机抽样获得了22名学生在1分钟内的跳绳个数如下（单位：个）：

估计该校学生在1分钟内跳绳个数的第65百分位数为（    ）

A．124 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据百分位数的概念直接计算即可得答案.

【详解】解：因为，22名学生的跳绳成绩从小到大第15个数为，

所以，该校学生在1分钟内跳绳个数的第65百分位数为

故选：C

4．图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（    ）（参考数据：，）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意有，可得，从而可得

【详解】由图1可得，又，

所以，所以，

所以，

该地的纬度约为北纬，

故选：．

5．函数中的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数在上函数值的正负情况，利用排除法判断即可.

【详解】解：因为定义域为，

又，

所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B，

又时，，所以，

所以，故排除C；

故选：D

6．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设双曲线的右焦点为，由双曲线方程可求出，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出的周长的最小值．

【详解】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则，

所以，且，所以，

的周长为，

当且仅当M，P，A三点共线时取等号，

则周长的最小值为．

故选：B．

7．与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意构造直角三角形，列出关于高及得方程组，即可求解出正三棱锥的棱切球半径.

【详解】如图三棱柱为正三棱锥，且底面边长，侧棱

设正三棱锥的棱切球球心为，半径为，则顶点在底面的投影为也为的中心，取的中点，连接，过点作垂足为，则，设，

在中，

因为为的中心，则，，

在中即；

在中，，即，

在中，，则；

在中，，则，

在中，，则，

又因为，则，化简得，

由得解得.

故选：C.

8．设数列的前项和为，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数为（    ）

A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4

【答案】A

【分析】根据与的关系，求出，则①，又②，②－①×3得，得，进而求出，由题意得，记，研究的单调性，求出的解即可．

【详解】，

时，，

相减可得：，即

又时，，解得，满足，

数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以．

对任意正整数n，都有成立，

得①，

又②，

②－①×3得：，

又，所以，得，

进而，

由，得，即，

记，则，

以下证明时，，

因为，

即时，单调递减，，

综上可得，满足等式的所有正整数的取值为1或3．

故选：A．

【点睛】关键点睛：涉及数列的单调性以及数列的最大项和最小项问题，综合性较强，难度较大，解答时要结合几何知识，能熟练的应用数列的相关知识作答，关键是要注意构造新数列解决问题.

二、多选题

9．已知圆，直线，则（    ）

A．直线过定点

B．直线与圆可能相离

C．圆被轴截得的弦长为

D．圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为

【答案】AC

【分析】直线，由求出定点，即可判断A；由点与圆心距离判断直线与圆位置关系，即可判断B；令，求出圆与y轴交点纵坐标可得弦长，即可判断C；根据直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求出直线的方程，即可判断D．

【详解】直线，由，得，即l恒过定点，故A正确；

点与圆心的距离，故直线l与圆C恒相交，故B错误；

令，则，可得，故圆C被y轴截得的弦长为，故C正确；

要使直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，

所以直线l的斜率，可得，故直线l为，故D错误．

故选：AC．

10．函数的部分图像如图所示，，则下列选项中正确的有（    ）

A．的最小正周期为

B．是奇函数

C．的单调递增区间为

D．，其中为的导函数

【答案】AD

【分析】根据题意可求得函数的周期，即可判断A，进而可求得，再根据待定系数法可求得，再根据三角函数的奇偶性可判断B，根据余弦函数的单调性即可判断C，求导计算即可判断D.

【详解】解：由题意可得，所以，故A正确；

则，所以，

由，得，

所以，则，

又，所以，

则，

由，得，

所以，

则为偶函数，故B错误；

令，得，

所以的单调递增区间为，故C错误；

，

则，故D正确.

故选：AD.

11．随着春节的临近，小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（    ）

A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为

B．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为

C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为

D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为

【答案】BC

【分析】计算出四个人每人从中随机抽取一张共有种抽法，根据古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式计算各选项，可得答案.

【详解】对于A,四个人每人从中随机抽取一张共有种抽法，

其中小王和小张恰好互换了贺卡的抽法有种，

故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为 ，A错误；

对于B,设小王抽到的是小张写的贺卡为事件A, 则,

小张抽到小王写的贺卡为事件B,

则已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，

小张抽到小王写的贺卡的概率为 ,B正确；

对于C, 恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有种，

故恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为 ，C正确；

对于D, 每个人抽到的贺卡都不是自己写的抽法共有种，

故每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为，D错误，

故选：

12．已知正数满足等式，则下列不等式中可能成立的有（     ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】将已知转化为，通过构造函数法，结合导数判断当时，，进而构造函数，根据单调性即可判断选项CD；同理利用构造函数和求导即可判断AB.

【详解】因为，，，

所以，

所以，

构造

，

所以，

当，即时，

分析即可，

所以在上单调递减，

所以，所以，

所以，

所以，

由，

所以，

构造，，

则，

所以在上单调递增，

所以由得，

所以，

故此时， D选项错误；

当时，，此时，

所以可能成立，故C选项可能正确，

由，即，

构造，

所以，设，

当时，，所以在单调递减，在上单调递增，

且，所以当时，

即，

所以，

构造，

则，所以在上单调递增，

所以，故A可能正确，B项错误；

故选：AC

【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数思想与逻辑推理能力，属于难题.注意事项：利用构造法，关键在于构造函数以及，利用导数以及参数的范围进行判断.

三、填空题

13．已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________．

【答案】1

【分析】先求得，根据函数为奇函数，得到，即可求解.

【详解】由题意，当时，则，可得，

又因为函数为奇函数，所以，

即，解得.

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

14．的展开式中的系数是________．（用数字作答）

【答案】

【分析】首先分析出存在有两项，然后分别求出这两项系数，相加即可.

【详解】根据题意,的项在的展开式中有两项，

分别为：和，即和，

则的系数为：.

故答案为：.

15．若，则__________.

【答案】##

【分析】利用辅助角公式，结合正弦函数的性质进行求解即可.

【详解】

，或，

当时，

可得，此时，显然没有意义；

当时，，

此时，所以有，

当时，；

当时，，

故答案为：

【点睛】关键点睛：考虑到分母不为零解题的关键.

16．设是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且.若存在，使得与垂直，且，则的最小值为__________.

【答案】

【分析】根据向量的线性运算，令 ，，从而得出有共线，结合题设推出 ，当且仅当时， 取最大值2，此时面积最大，则O到的距离最远，此时 取到最小值，即可求解.

【详解】如图示，是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且，

由题意得： ，

令 ，则三点共线

，则三点共线

故有共线，

由题意与垂直,,

知,且为定值，

在中， ，当且仅当时， 取最大值2，

此时面积最大，则O到的距离最远，而，

故当且仅当即 关于y轴对称时，最小，

此时O到的距离为 ，

所以 ,故 ，即的最小值为，

故答案为：

【点睛】方法点睛：根据向量的线性运算，可令 ，  ，从而得出共线,由此根据题设可推出，即当且仅当即 关于y轴对称时，最小，从而问题可解.

四、解答题

17．已知等差数列的各项均为正数.若分别从下表的第一､二､三列中各取一个数，依次作为，且中任何两个数都不在同一行.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前项和为.求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由等差数列的性质和定义即可求出；

（2）求出，利用裂项相消法求出，即可证明.

【详解】（1）由题可得，

故.

（2）且，

则

于是

.

18．如图，在中，角的对边分别为.已知.

(1)求角；

(2)若为线段延长线上一点，且，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)运用正弦定理以及诱导公式求解；

(2)根据条件运用正弦定理求解.

【详解】（1）由条件及正弦定理可得：

，

即

故，则有，

又，故有，

或（舍去），或（舍去），

则，又，

所以；

（2）设，在和中，由正弦定理可得

于是，又，

则，，

；

综上，，.

19．如图，三棱柱中，侧面为矩形，且为的中点，．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接与交于点，连接，则，利用线面平行的判定定理即可证明；

（2）由已知条件得面，则，由得.以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由面得平面的一个法向量为，设平面的法向量为，由求得，然后利用向量夹角公式求解即可.

【详解】（1）连接与交于点，连接

为三棱柱，为平行四边形，点为的中点

又为的中点，则，

又平面平面，平面．

（2）解法1：

，面

面，

，，即

以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

面，则平面的一个法向量为

设平面的法向量为，则，即

令

设平面与平面的夹角为，

平面与平面的夹角的余弦值是．

解法2：设点为的中点，点为的中点，

连接交于点，连接，

设点为的中点，连接

点为的中点，点为的中点

且，点为的中点

为矩形，

又平面，

在中，，可得

为等腰直角三角形，其中

而点为的中点，且

点为的中点，点为的中点

且，

又在Rt中，，点为的中点，

在中，，且点为的中点

且

即为平面与平面的夹角

在中，

．

平面与平面的夹角的余弦值是．

20．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为.

(1)当时，求；

(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值.

【答案】(1)

(2)1250

【分析】(1)根据二项分布公式计算；

(2)运用二项分布公式算出 和 ，再根据题意求出 中a的表达式，最后利用切比雪夫不等式求解.

【详解】（1）由已知，

所以

；

（2）由已知，所以，

若，则，即，

即.

由切比雪夫不等式，

要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在与之间，则，

解得，所以估计信号发射次数的最小值为1250；

综上， ，估计信号发射次数的最小值为1250.

21．设抛物线方程为，过点的直线分别与抛物线相切于两点，且点在轴下方，点在轴上方.

(1)当点的坐标为时，求；

(2)点在抛物线上，且在轴下方，直线交轴于点.直线交轴于点，且.若的重心在轴上，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设，根据导数的几何意义可得切线方程，利用切线方程与抛物线方程可得，，进而即得；或利用条件可得切点所在直线，利用韦达定理法即得；

（2）设，根据三角形面积公式结合条件可表示，然后根据二次函数的性质结合条件即得.

【详解】（1）解法一：设，，，

由，可得，

所以，直线PA的斜率，

直线PA：，又在上，

，

所以，又，

所以，

同理可得，

，

；

解法二：设，，，

由，可得，

所以，直线PA的斜率，

直线PA：，又在上，

故，即，

因为，所以，同理可得，

故直线的方程为，

联立消去，得，

故，

故；

（2）设，由条件知，

，

，

∴，

，当时，，AC重合，不合题意，

或，

的取值范围为.

22．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)设是两个不相等的正数，且，证明：.

【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增.

(2)证明见解析

【分析】（1）先求函数的定义域，对函数求导，令导数为0，解出，然后在定义域范围内分析即可.

（2）利用分析法证明，变形要证明的式子，结合构造新函数利用函数的导数进行证明.

【详解】（1）的定义域为，

，

令，得：，

当变化时的关系如下表：

在上单调递减；在上单调递增.

（2）证明：要证，

只需证：

根据，只需证：

不妨设，由得：；

两边取指数，，化简得：

令：，则，

根据（1）得在上单调递减；

在上单调递增（如下图所示），

由于在上单调递减，在上单调递增，

要使且，

则必有，即

由得：.

要证，只需证：，

由于在上单调递增，要证：，

只需证：，

又，只需证：，

只需证：，

只需证：，

只需证：，

只需证：，

即证，

令，

只需证：，

，

令，

在上单调递减，

所以，

所以

所以在上单调递减，所以

所以

所以：.

【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，

难度相当大，主要考向有以下几点：

1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；

2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；

3、求函数的极值（最值）；

4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；

5、证明不等式；

解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，

在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，

对新函数求导再结合导数与单调性等解决.