（人教版）数学八年级下册期中复习练习专题2.3勾股定理七大类型大题专练（分层培优42题）（2份，原卷版+解析版）

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类型一、勾股定理与折叠问题
1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，已知长方形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，分别交于点，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求的长．
2．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）如图，中，， AD是边上的高，将沿所在的直线翻折，使点 C落在 BC边上的点 E处．
(1)若，，，求的面积：
(2)求证：．
3．（2023秋·福建三明·八年级统考期末）如图，在中，，点E，F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的D点处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处．
(1)求的度数；
(2)若，，求线段的长；
(3)在（2）的条件下，求的面积．
4．（2022秋·江西鹰潭·八年级校考期中）如图，的三边分别为，，，将沿折叠，落在上．
(1)判断的形状，关说明理由；
(2)求折痕的长．
5．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，长方形中，，点在上，且，连结将长方形沿翻折，点恰好落在上的点处，求的长度．
6．（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，．在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求，两点的坐标．
类型二、勾股定理与面积问题
7．（2022秋·广东佛山·八年级统考期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．
(1)如图1，是一个重要的乘法公式的几何解释，请你写出这个公式______．
(2)如图2，在中，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，试猜想之间存在的等量关系为______．
(3)如图3，如果以的三边长，，为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为．
(1)求A，B，C，D四个正方形的面积之和．
(2)若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3：5，求正方形A，B，C，D的面积．
9．（2022秋·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
(1)求的长；
(2)请说明是直角三角形；
(3)求需要绿化的空地的面积．
10．（2021秋·山西晋中·八年级校考阶段练习）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请利用图二证明该定理；
S大正方形=_____，还可以表示为_____，
所以可得到_______=______，
化简后最终得到____．
(2)如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是______．
(3)如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______．
11．（2022秋·八年级单元测试）如图，分别以等腰的边AD，AC，CD为直径画半圆，所得的两个月形图案AGCE与DHCF（即阴影部分）的面积分别记为、，的面积记为S．
(1)求证：的值．
(2)当时，求S的值．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知△ABC中，∠ACB＝90°，如图，作三个等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，AB，AC，BC为斜边，阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4．
(1)当AC＝6，BC＝8时，
①求S1的值；
②求S4﹣S2﹣S3的值；
(2)请写出S1，S2，S3，S4之间的数量关系，并说明理由．
类型三、勾股数（树）
13．（2022·八年级单元测试）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
(1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是（9﹣1），（9＋1）；勾是五时，股和弦的算式分别是（25﹣1），（25＋1）．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；
(2)根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；
(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦．
14．（2022秋·山西晋中·八年级校考阶段练习）阅读下列材料，完成文后任务：
清朝皇帝康熙的数学专著中，有一文《积求勾股法》中记载了三边长为3，4，5的整数倍的三角形，如果已知面积，求三边长的方法，把这种方法翻译成我们今天的数学语言是：如果三角形的三边长分别是3，4，5的整数倍，设它的面积为，则第一步：求，设等于；第二步：求，设等于；第三步：分别用3，4，5乘以得三边长分别为，，．
任务：
(1)求当面积为96时，用康熙的“积求勾股法”求三角形的三边长．
(2)你能证明康熙这种“积求勾股法”的正确性吗？请写出你的理由．
15．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数， 称之为“勾股数”． 比如 3 ，4 ，5 或 11 ，60 ，61 等．
(1)请你写出另外两组勾股数：6，______，______；7 ，______，______；
(2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：
（I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数
（Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数
①如果在一组勾股数中，其中有一个数为 12，根据法则（I）求出另外两个数；
②请你任选其中一个法则证明它的正确性．
16．（2018秋·四川成都·八年级成都市青羊实验中学校考阶段练习）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
12+1＝2，S1＝，+1＝3，S2＝，+1＝4，S3＝
（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律．
（2）推算出OA10的长．
（3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值．
17．（2022春·甘肃武威·八年级校考期中）如图，Rt△OA1A2中，过A2作A2A3⊥OA2，以此类推．且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4…＝1，记△OA1A2的面积为S1，△OA2A3面积为S2，△OA3A4面积为S3，…，细心观察图，认真分析各题，然后解答问题：
①（）2+1＝2，S1＝；
②（）2+1＝3，S2＝；
③（）2+1＝4，S3＝
…
（1）请写出第n个等式；
（2）根据式子规律，线段OA10等于多少；
（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．
18．（2022春·山东德州·八年级校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有___________个．
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请写出，，的数量关系：___________．
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，d，则___________．
类型四、利用勾股定理解方程
19．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，连接四边形的对角线，已知，，，，．求证：是直角三角形．
20．（2022秋·江西萍乡·八年级统考期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知，设．
(1)用含x的代数式表示的值；
(2)探究：当点C满足什么条件时，的值最小？最小值是多少？
21．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，和为等腰直角三角形，，已知点在上，连纳．
(1)求证：．
(2)苦，求的长．
22．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
23．（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，将正方形中的绕点B顺时针旋转到的位置，且，．
(1)求的长；
(2)连接，若，求的度数．
24．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图1，在中，，，点D在BC上（不与点B，C重合）．
(1)若是直角三角形．
①当时，求的长；
②当时，求的长．
(2)如图2，点E在上（不与点A，B重合），且，若是直角三角形，求的长．
类型五、勾股定理逆定理及应用
25．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）金塔县绿化环卫部门为美化环境，要在如图所示的一块四边形空地种植草皮，工人师傅量得，，，，，若每平方米草皮需要300元，则需要投资多少元？
26．（2020秋·江苏南京·八年级校考期中）如图，在中，是边上的高，，，．
(1)求的长．
(2)是直角三角形吗？请说明理由．
27．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，每个小正方形的边长都为1．
(1)四边形的周长=________；
(2)四边形的面积=________；
(3)是直角吗？判断并说明理由．
28．（2021春·河南新乡·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在第一象限，过点C作x轴的垂线，垂足为B，已知点C的坐标为，长为2．
(1)求的长．
(2)请你判断的形状，并说明理由．
29．（2022秋·河南平顶山·八年级校考期中）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
30．（2022秋·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在中，，，.
(1)试判断的形状，并证明：
(2)当时，点从A出发，以1个单位/秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒，
①当平分时，求的值：
②当点落在边的垂直平分线上时，求的值；
③在整个运动过程中，直接写出为等腰三角形时的值.
类型六、勾股定理的证明
31．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）在一次数学实践活动中，小明同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，如图所示．设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，大正方形边长为c．请你直接写出a，b，c之间的关系；并说明理由．
32．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期中）在学习勾股定理时，我们学会运用图(I)验证它的正确性：图中大正方形的面积可表示为：，也可表示为：，即由此推出勾股定理，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
(1)请你用图(Ⅱ)(2002年国际数字家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等)；
(2)请你用(Ⅲ)提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证
33．（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，，在同一条直线上，，，，．
(1)填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积______．
(2)求证：．
34．（2022秋·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足，，，，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）
35．（2022秋·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）公股定理神奇而美丽，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板 和直角三角板 ，顶点F在边止，项点C、D重合，连接 、．设、交于点G．， ， （ ），． 请你回答以下问题：
(1)请猜想与的位置关系，并加以证明．
(2)填空： =___________（用含有c的代数式表示）
(3)请尝试利用此图形证明勾股定理．
36．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然．
(1)请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______．
(3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
类型七、勾股定理与弦图问题
37．（2022秋·江西抚州·八年级统考期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
(1)如图是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理
(2)如图，在中，，是边上的高，，，求的长度
(3)如图①，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值．
38．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）在中，，，，．将绕点O依次旋转、和，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
(1)请利用这个图形证明勾股定理；
(2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转得到的，如果中间小正方形的面积为，这个图形的总面积为，，则徽标的外围周长为________．
39．（2022秋·江苏·八年级统考期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ．
(1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图1，试验证勾股定理；
(2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廊（粗线）的周长为24，，求该“勾股风车”图案的面积；
(3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则 ．
40．（2022春·广西河池·八年级统考期中）我国三国时期数学家赵爽在《周髀算经》中利用了“弦图”．如图，由4个全等的直角三角形( )和与一个小正方形恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为．
(1)根据题意，写出下列数量关系（用，表示）：
， ， ；
(2)现假设你未知勾股定理，请证明：．
41．（2022春·北京西城·八年级北京师大附中校考期中）阅读材料：面积是几何图形中的重要度量之一，在几何证明中具有广泛应用．出入相补原理是中国古代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，它包含以下基本内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积保持不变，总面积等于所有分割成的小图形的面积之和．基于以上原理，回答问题：
(1)把边长为8的正方形按图1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把图形重新拼成图2中长为13，宽为5的长方形；
(2)如图3，a，b，c分别表示直角三角形的三边，比较大小：a2＋b2________c2；（a＋b）2________2ab；
(3)观察图4，写出（ac＋bd）2与（a2＋b2）（c2＋d2）的大小关系：______．
42．（2021秋·山东威海·七年级校联考期中）阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗?
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
从而得数学等式：，化简证得勾股定理：．
【初步运用】
(1)如图1，若，则小正方形面积：大正方形面积=________
(2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，求空白部分的面积．
(3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积．
(4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，若，则__________．