江苏省镇江市2024~2025学年高三上学期期末数学模拟测试卷

这是一份江苏省镇江市2024~2025学年高三上学期期末数学模拟测试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1.已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2.已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（ ）
A．的共轭复数为B．的虚部为
C．D．在复平面内对应的点在第一象限
3.已知平面向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4.已知，则（ ）
A．B．C．D．
5.已知某圆台的上､下底面半径分别为，且，若半径为的球与圆台的上､下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
6.数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有（ ）
A．48种B．40种C．32种D．24种
7.定义域为的函数满足，的导函数为连续函数，函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A．3B．C．1D．
8．如图，已知双曲线的左右焦点分别为，
过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，
且有轴，则离心率为（ ）
A．3B．C．D．2
二、多选题
9.某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（ ）
A．事件与事件互斥 B．事件与事件B相互独立 C． D．
10.已知在上有且仅有2个极值点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若的图象关于直线对称，则的最小正周期
C．若的图象关于点对称，则在上单调递增
D．，使得在上的最小值为
11.如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（不包括端点），则（ ）
A．存在点，使得 B．存在点，使得平面
C．对于任意点Q，均不成立 D．三棱锥的体积是定值
三、填空题
12．已知随机变量，且正数满足，则的最小值为 .
13．已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 .
14．如图，已知过抛物线（）的焦点的直线与抛物线交于两点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为，抛物线的准线与轴交于点，为坐标原点，记，，分别为△AOB，△A1FM，△A1FA的面积.若，则直线的斜率为 .
四、解答题
15．△ABC的内角的对边分别为，已知向，满足.
(1)求； (2)若角的平分线交边于点长为2，求△ABC的面积的最小值.
16．已知数列满足.
(1)求证：数列是等差数列； (2)令，求数列的前项和.
17．已知函数.
(1)当时，证明：; (2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.
18．如图，在四棱锥中， .为棱的中点，异面直线与所成角的大小为.
(1)求证：平面；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知椭圆的左焦点为，离心率为，为上一点，为圆上一点，的最大值为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若圆与轴正半轴交于点，过作直线，与相交于不同的两点，，求面积的最大值．
参考答案：
1．B【详解】由题知集合，， ∴，
2．D【详解】，，A选项错误，
的虚部是，B选项错误；，C选项错误，
在复平面内对应的点为，在第一象限，D选项正确.
3．B【详解】计算可得，由，两边平方化简，得，
将代入，可得在上的投影向量为.
4．A【详解】.
5．D【详解】
如图，设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处，
设球与母线切于点，所以，则，
，则，同理，所以，
过点作，垂足为，则，，
又，即，解得，则，
所以该圆台的体积为.
6．C【详解】第1步：先将相邻的进行“捆绑”排列，
首先排，由题意可将两人看作一个整体，先站到正中间，共有种站法；
第2步：将不能相邻的插入合适的位置进行排列，
其次再排，因为两人不能相邻，所以只能排到的两侧，
若在左侧，则有种站法，此时只能在右侧，有种站法，
共种站法，同理在的右侧，在左侧，有种站法，
故共有8种站法；
第3步：将剩下的进行排列并计算所求，
剩下的有种站法，所以不同的站法共有种．
7．A【详解】因为，则函数的图象关于点中心对称，
且．由，，得，
所以函数的图象关于直线对称．根据图象变换规律，
由的图象关于点2,1中心对称，得的图象关于点中心对称，
又函数为连续函数，所以．
由于的图象既关于直线对称，又关于点对称，则是周期函数，周期为
所以，故．
8．C【详解】圆的圆心，半径，
双曲线中，令，解得，则，
由直线与圆相切于点，得，又，
则，，
于是，即，有，而，所以.
9.ACD【详解】由题意知，不可能同时发生，所以互斥，故A正确；
，，故C正确；
所以，，
所以，则，
所以事件与事件B不相互独立，故B错误，D正确.
10．BC【详解】对于选项A：因为，所以，
要使在上有且仅有2个极值点，
则，解得，故选项A错误；
对于选项B： 因为的图象关于直线对称，所以，
解得，，又因为，所以，，故选项B正确；
对于选项C：因为的图象关于点对称，所以，
解得：，因为，所以，
所以当时，，则在上单调递增，故选项C正确；
对于选项D： 当时，，
因为，所以，
在上的最小值小于，故选项D错误.
11．BC【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，
则，，
令，则点，，
对于A，，若，则，必有，即与矛盾，A错误；
对于B，，若平面，则，
即，解得，则点是中点时，，
而平面，因此平面，B正确；
对于C，，即对任意，向量与都不垂直，C正确；
对于D，，设平面的法向量，
则，令，得，
于是点到平面的距离，，不是常数，
又点是三个定点，面积是定值，因此三棱锥的体积不是定值，D错误.
故选：BC
12．9【详解】因为随机变量，正数满足，
有对称性可知，即，
所以
；
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：9
13．【详解】由得，时，，两式相减得，
所以当时，是公比为3的等比数列，而，则，
由不满足上式得.
故答案为：.
14．【详解】设直线倾斜角为，，
可知：，
且，解得，
则，
同理可得，
可知：，
，
，
因为，则，
整理得，解得或，
且，则，可得，
所以直线的斜率为.
故答案为：.
15．【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理得，所以，
所以，因为，故.
（2）∵平分，∴，
∵，
∴，
即，∴，
由基本不等式可得：，
∴，当且仅当时取“=”，
∴，
即的面积的最小值为.
16．【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，
又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）可知
令，
对照系数可得（其中），
.
17．【详解】（1）证明：因为函数的定义域为，当时，.
要证，只需证：当时，.
令，则，则在单调递增，
所以，即，所以.
（2）由，
令，
则.
所以在单调递增，，
①时，，.
则在为增函数，在上无极值点，矛盾.
②当时，.由（1）知，，
，则，则使.
当时，，，则在上单调递减；
当时，，，则在上单调递增.
因此，在区间上恰有一个极值点，
所以的取值范围为.
18．【详解】（1）因为为棱的中点，
所以且，所以四边形是平行四边形.
所以，又平面不在平面上，
由线面平行的判定定理知，平面.
（2）解法一：因为，即，且异面直线与所成的角为，即，
又平面平面，
又，由三垂线定理可得，
因此是二面角的平面角，，所以，
不妨设，则，
以为坐标原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，（其中，
则，
设平面的一个法向量为，
则，可得，
令，则，可得，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
解法二：过作，交的延长线于，连接，
由（1）知： ，
因为，所以，
因为，即，
又平面，所以平面，
因为平面，所以，
又是在平面上的射影，由三垂线定理知，，
又，所以平面，
再过作，交于，
因为平面平面，所以，
又，所以平面，所以即为直线与平面的所成角，
因为平面，由三垂线定理，
因此是二面角的平面角，，
设，则，
因为所以四边形为正方形，
所以，
所以，所以，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为.
19．【详解】（1）因为为椭圆上一点，为圆上一点，
由的最大值为，得，所以．
又，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）在中令，得，所以，
显然直线的斜率不能为0，设直线的方程为，
由，消去得，
所以，则，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，，
所以，
所以．
令，则，
则，当且仅当，即时取得等号，
所以面积的最大值为．