2024-2025学年江苏省盐城市高三上学期期中考试数学模拟检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省盐城市高三上学期期中考试数学模拟检测试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．设，均为单位向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知数列满足，若，则（ ）
A．2B．－2C．－1D．
5．已知实数a，b，c满足，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
7. 如图，在四边形中，的面积为3，则长为（ ）
B. C. D.
8. 若函数在上只有一个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知O为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
10. 已知，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11. 双纽线，也称伯努利双纽线．如图，双纽线经过原点，且上的点满足到点
的距离与到点的距离之积为1，则（ ）
A．直线与只有1个公共点
B．圆与有4个公共点
C．与轴的交点坐标为
D．上的点到轴的距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在二项式的展开式中，常数项为 .
13．已知复数与3i在复平面内用向量和表示（其中i是虚数单位，O为坐标原点），则与夹角为______．
14．函数在上的最大值为4，则m的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（本题满分13分）
已知的面积为，且满足,设和的夹角为，
求的取值范围；
求函数的值域．
16．（13分）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角A；
（2）已知，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在，并求出的面积．
条件①：；条件②：；条件③：AC边上中线的长为．
（注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．）
17. 已知公差d不为0的等差数列an的前n项和为.
（1）求an的通项公式；
（2）令，记为数列bn的前n项和，若，求n的最小值.
18. 已知函数.
（1）求方程在上的解集；
（2）设函数；
（i）证明：在有且只有一个零点；
（ii）在（i）的条件下，记函数的零点为，证明.
19．（17分）（1）若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值．
（2）①已知，都是正数，求证：；
②若干个正实数之和等于20，求这些正实数乘积的最大值．
答案
1.【正确答案】C
【详解】因为，所以，代入，可得，
所以方程变为，可解得或3，所以，故选：C.
2. B
3．【正确答案】C
∵“”，∴平方得，即，则，即，反之也成立．故选C．
4．【正确答案】C
因为，，所以，，，所以数列的周期为3，所以．故选C．
5．【正确答案】B
对于A，因为，所以，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，当，，时，，，，故C错误；
对于D，因为，，所以，故D错误．故选B．
6．【正确答案】B
，则，即，可得，解得或．那么．故选B．
7.
8．【正确答案】C
因为是奇函数，所以是偶函数，因为，
所以，令，，在R上单调递增．
又因为且是奇函数，
所以的周期为3，，则，
所以，则不等式，
因为在R上单调递增，所以，即．故选C．
9．【正确答案】AC
∵，，，，
∴，，，，
，，易知，故A正确；
∵，，∴，故B错误；
，，
∴，故C正确；
，，故D错误．故选AC．
10. 【正确答案】AD
【详解】设，原式为,
令，,A正确；
令，则，
同乘得，
，，故B错误
令，则，故C错误
两边同时求导得：，
再令，,故D正确.故选：AD.
11. 【正确答案】ACD
【详解】设曲线上的动点，则，
化简得，令，解得或，
因此双纽线与轴的交点坐标为，，C正确；
由，解得，因此直线与只有1个公共点，A正确；
由，解得或，因此圆与有2个公共点，B错误；
由，得，则，
令，则，
因此，当且仅当时取等号，即上的点到轴的距离的最大值为，D正确.故选：ACD
12.180
13．【正确答案】
由题知，，，∴．
故本题答案为．
14．【正确答案】
当时，函数的图象是由向上平移个单位后，再向下平移个单位，函数图象还是的图象，满足题意，当时，函数图象是由向下平移m个单位后，再把x轴下方的图象对称到上方，再向上平移m个单位，根据图象可知满足题意，时不合题意．
故本题答案为．
15、解：（1）由题，可得，
又，所以，得到或
因为，所以
6分
（2），化简得，
进一步计算得，因为，故
故可得
13分
16．（1）因为，
由正弦定理得．
即：，
所以，所以，
即，因为，所以，得；
（2）选条件②：．
在中，由余弦定理得：，即．
整理得，解得或．
当时，的面积为：，
当c=5时，的面积为：，
选条件③：AC边上中线的长为，
设AC边中点为M，连接BM，则，，
在中，由余弦定理得，
即．
整理得，解得或（舍）．
所以的面积为．
17.【正确答案】（1）
（2）6
【分析】（1）利用等差数列前n项和及通项公式求基本量，即可写出通项公式；
（2）由（1）及题设，应用等比数列前n项和公式、分组求和得，结合不等式能成立及单调性求正整数n的最小值．
【小问1详解】
由题设，
所以，而，
所以
【小问2详解】
由题设，
则，
所以，又在上单调递增，
当时，，
当时，，
所以，求n的最小值6．
18.【正确答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可；
（2）（i）根据三角函数的性质分区间研究函数的性质，利用零点存在定理可证明；（ii）然后利用换元法求值域即可证明.
【小问1详解】
所以.
所以或
当时，，则，又，所以或，
当，则，又.
所以或，所以或，
所以方程在上解集为.
【小问2详解】
（i）设.
当，则，
此时在区间上单调递增，
又在区间上也单调递增，所以在区间上单调递增，
又
所以在时有唯一零点，
当，所以，
所以在上没有零点，
综上，在有唯一零点.
（ii）记函数的零点为，
所以，且，所以，
所以，
令，因为，所以，
又，则，
所以.
19．（1）将20分成正整数之和，即，假定乘积已经最大．若，则将与合并为一个数，其和不变，乘积由增加到，说明原来的p不是最大，不满足假设，故，同理．
将每个大于2的拆成2，之和，和不变，乘积．
故所有的只能取2，3，4之一，而，所以将取2和3即可．
如果2的个数≥3，将3个2换成两个3，这时和不变，乘积则由8变成9，故在p中2的个数不超过2个．那只能是，最大乘积为；
（2）①证明：先证：．
令，则，，且，
故，其中，
∴，
即，，∴．
②让n固定，设n个正实数之和为20，
由①可知，，
要是最大，最大即可，
令，其中，，
∴时，单调递增，时，单调递减，
而，
所以这些正实数乘积的最大值为．