中考数学复习重难点与压轴题型训练专题11相似三角形的综合问题(学生版+解析)

这是一份中考数学复习重难点与压轴题型训练专题11相似三角形的综合问题(学生版+解析)，共63页。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30950" 【直击中考】 PAGEREF _Tc30950 \h 1
\l "_Tc32616" 【考向一 (双)A字型相似】 PAGEREF _Tc32616 \h 1
\l "_Tc13618" 【考向二 (双)8字型相似】 PAGEREF _Tc13618 \h 8
\l "_Tc5970" 【考向三 母子型相似】 PAGEREF _Tc5970 \h 16
\l "_Tc2091" 【考向四 旋转相似】 PAGEREF _Tc2091 \h 24
\l "_Tc19169" 【考向五 K字型相似】 PAGEREF _Tc19169 \h 37
【直击中考】
【考向一 (双)A字型相似】
例题：（2022·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．
（1）求证：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．
【变式训练】
1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝__________．
2．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在中，、分别是、边上的高．求证：．
3．（2021秋·山东济宁·九年级校考阶段练习）
中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?
（2）若的面积为，求关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似?
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，中，点D在边上，且．
（1）求证：；
（2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数．
（3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长．
【考向二 (双)8字型相似】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．

（1）求证：CE＝AF；
（2）连接ME，若＝，AF＝2，求的长．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___．
3．（2022秋·北京房山·九年级统考期中）如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长．
4．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．
（1）求证：AN＝CM；
（2）若点D满足BD：AD＝2：1，求DM的长；
（3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD＝k，求证：EM＝k．
5．（2022·广东佛山·校考三模）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如图2，如果，且，求的值；
(3)如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．
【考向三 母子型相似】
例题：（2022秋·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．
【变式训练】
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为___________．
2．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．
3．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在中，，为边上的高，的平分线分别交，于点，．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积，
(3)若，请直接写出的值为______．
4．（2022·江苏·九年级专题练习）如图：在矩形ABCD中，，，动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．
（1）______m，______m，_____m（用含t的代数式表示）
（2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？
（3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
【考向四 旋转相似】
例题：（2022秋·贵州贵阳·九年级校考期中）如图1，在中，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
(1)问题发现
①当时，＝______；
②当时，＝______；
(2)拓展探究
试判断当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
(3)问题解决
当绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，求线段的长．
【变式训练】
1．（2023·浙江宁波·校考一模）如图1，在中，，点D，E分别是的中点．把绕点B旋转一定角度，连结．
(1)如图2，当线段在内部时，求证：．
(2)当点D落在直线上时，请画出图形，并求的长．
(3)当面积最大时，请画出图形，并求出此时的面积．
2．（2022·山东枣庄·校考模拟预测）如图1，在等腰直角三角形中，，．点是的中点，以为边作正方形，连接，．将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为（）．
(1)如图2，在旋转过程中，
①判断与是否全等，并说明理由；
②当时，与交于点，求的长．
(2)如图3，延长交直线于点．求证：；
3．（2022·山东济南·统考二模）（1）【方法尝试】
如图1，矩形是矩形以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，分别是它们的对角线．则与数量关系_______，位置关系________；
（2）【类比迁移】
如图2，在和中，．将绕点A在平面内逆时针旋转，设旋转角为α（），连接．请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图3，在中，，过点A作，在射线上取一点D，连接，使得，请求线段的最大值．
4．（2023秋·河南南阳·九年级校考期末）如图，将绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”．
(1)知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 （填“是”或“不是”“旋转位似图形”；
如图1，与互为“旋转位似图形”，
①若，，，则 ；
②若，，，则 ；
(2)知识运用：
如图2，在四边形中，，于，，求证：和互为“旋转位似图形”；
(3)拓展提高：
如图3，为等腰直角三角形，点为中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求出和的值．
【考向五 K字型相似】
例题：（2022·山东济南·山东师范大学第二附属中学校考模拟预测）如图，在中，点D、E分别是边、上的点，且．
(1)如图1，若，求证：；
(2)若．
①如图2，当时，求的长；
②如图3，当时，直接写出的长是______．
【变式训练】
1．（2021秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）（1）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，求证：；
（2）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，，，，求的值；
（3）如图，中，点在边上，且，，，点在边上，连接，，，求的值．
2．（2022春·全国·九年级专题练习）如图1，在中，，点P为斜边上一点，过点P作射线，分别交、于点D，E．
(1)问题产生∶若P为中点，当时， ；
(2)问题延伸：在（1）的情况下，将若∠DPE绕着点P旋转到图2的位置，的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；
(3)问题解决：如图3，连接，若与相似，求的值．
3．（2022·山东济南·校考三模）已知ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且．
(1)点D与点B重合时，
①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 ；
②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；
(2)BD＝2CD时，
①如图3，k＝1时，若AE＝2，＝6，求FC的长度；
②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值．
专题11 相似三角形的综合问题
【中考考向导航】
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30950" 【直击中考】 PAGEREF _Tc30950 \h 1
\l "_Tc32616" 【考向一 (双)A字型相似】 PAGEREF _Tc32616 \h 1
\l "_Tc13618" 【考向二 (双)8字型相似】 PAGEREF _Tc13618 \h 8
\l "_Tc5970" 【考向三 母子型相似】 PAGEREF _Tc5970 \h 16
\l "_Tc2091" 【考向四 旋转相似】 PAGEREF _Tc2091 \h 24
\l "_Tc19169" 【考向五 K字型相似】 PAGEREF _Tc19169 \h 37
【直击中考】
【考向一 (双)A字型相似】
例题：（2022·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．
（1）求证：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证；
（2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证．
【详解】解：（1）∵DEBC，
∴，
∵，
∴，
∴DFBE；
（2）∵AF＝2，EF＝4，
∴由（1）可知，，AE=6，
∵AB＝6，
∴，
∴，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEB．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝__________．
【答案】2
【分析】过D作垂直于H点，过D作交BC于G点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用求出的长，最后得出答案．
【详解】解：如图：过D作垂直于H点，过D作交于G点，
∵在中，，
∴，
又∵，
∴ ，
∴在等腰直角三角形中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴ ，
即，
∴ ，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．
2．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在中，、分别是、边上的高．求证：．
【答案】见详解
【分析】先证明，即有，再结合，即可证明．
【详解】∵、分别是、边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键．
3．（2021秋·山东济宁·九年级校考阶段练习）
中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?
（2）若的面积为，求关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似?
【答案】（1）3秒或5秒；（2）；（3）或
【分析】（1）根据题意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根据三角形的面积公式列方程即可得答案；
（2）若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S=20t-4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围；
（3）分①和②，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】（1）解：由运动知，AP=4tcm，CQ=2t cm，
∵AC=20cm，
∴CP=（20-4t）cm，
在Rt△CPQ中，
，
即；
∴秒或秒
（2）由题意得，，则，
因此的面积为；
（3）分两种情况：
①当时，，即，解得；
②当时，，即，解得．
因此或时，以点、、为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，中，点D在边上，且．
（1）求证：；
（2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数．
（3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）＝60°；（3）AF＝11
【分析】（1）根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出，证得；
（2）作CH＝BE，连接DH，根据角的数量关系证得，再由三角形全等判定得△BDH≌△ABE，最后推出△DCH为等边三角形，即可得出＝60°；
（3）借助辅助线AO⊥CE，构造直角三角形，并结合平行线构造△BFE∽△BDH，建立相应的等量关系式，完成等式变形和求值，即可得出AF的值．
【详解】（1）证明：∵∠BDC＝90°＋∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，
∴ ∠A＝90°－∠ABD．
∵∠BDC＋∠BDA＝180°，
∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－∠ABD．
∴ ∠A＝∠BDA＝90°－∠ABD．
∴DB＝AB．
解：（2）如图1，作CH＝BE，连接DH，
∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，
∴∠BAE＝∠DBC．
∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，
又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，
∴∠CAE＝∠C．
∴AE＝CE．
∵BE＝CH，
∴BE＋EH＝CH＋EH．
即BH＝CE＝AE．
∵AB＝BD，
∴△BDH≌△ABE．
∴BE＝DH．
∵BE＝CD，
∴CH＝DH＝CD．
∴△DCH为等边三角形．
∴∠ACB ＝60°．
（3）如图2，过点A作AO⊥CE，垂足为O．
∵DH∥AE，
∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．
∴△ACE是等边三角形．
设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16－x，
∵DH∥AE，
∴△BFE∽△BDH．
∴．
∴，
．
∵△ABF的周长等于30，
即AB＋BF＋AF＝AB＋＋x－=30，
解得AB＝16－．
在Rt△ACO中，AC＝，AO＝，
∴BO＝16－．
在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，
即．
解得（舍去）．
∴AC＝．
∴AF＝11．
【点睛】本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三角形的能力．
【考向二 (双)8字型相似】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．

（1）求证：CE＝AF；
（2）连接ME，若＝，AF＝2，求的长．
【答案】（1）见解析（2）2
【分析】（1）通过已知条件，易证△ADF≌△CDE，即可求得；
（2）根据＝，易求得BE和BF，根据已知条件可得＝＝，证明△AMF∽△CMD，，再证明△ABC～△MEC,即可求出ME．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，
又∵∠ADE＝∠CDF，
∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，
∴∠ADF＝∠CDE，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE，
∴CE＝AF．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
由（1）得：CE＝AF＝2，
∴BE＝BF，
设BE＝BF＝x，
∵＝，AF＝2，
∴，解得x＝，
∴BE＝BF＝，
∵＝，且CE＝AF，
∴＝＝，
∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，
∴△AMF∽△CMD，
∴，
∴，且∠ACB＝∠ACB,
∴△ABC～△MEC,
∴∠CAB＝∠CME=∠ACB，
∴ME=CE=2．
【点睛】本题主要考查了三角形全等，三角形相似和菱形的判定和性质，熟练它们的判定和性质是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，
∴＝
∵△ABE∽△DFE，
∴＝，
∵AE＝2ED，
∴AB＝2DF，
∴＝，
∴＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．
2．（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___．
【答案】2
【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可．
【详解】解：延长CF、BA交于M，
∵E是CD的中点，F是AE的中点，
∴EF＝AF，CE＝DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，
在△CEF和△MAF中
，
∴△CEF≌△MAF（AAS），
∴CE＝AM，
∵CE＝AB，
∴BM＝3CE，
∵DC∥AB，
∴△CEG∽△MBG，
∴ ，
∵BE＝8，
∴ ，
解得：GE＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
3．（2022秋·北京房山·九年级统考期中）如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长．
【答案】1.5
【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，，即可求出CD的长．
【详解】解：∵AD与BC交于O点，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例列式．
4．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．
（1）求证：AN＝CM；
（2）若点D满足BD：AD＝2：1，求DM的长；
（3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD＝k，求证：EM＝k．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【分析】（1）证明△ACN≌△CBM（AAS），由全等三角形的性质得出AN＝CM；
（2）证明△AND∽△BMD，由相似三角形的性质得出，设AN＝x，则BM＝2x，由（1）知AN＝CM＝x，BM＝CN＝2x，由勾股定理得出x＝，则可得出答案；
（3）延长ME，AN相交于点H，证明△AHE≌△BME（AAS），得出AH＝BM，证得HN＝MN，过点E作EG⊥BM于点G，由等腰直角三角形的性质得出答案．
【详解】（1）证明：∵AN⊥CD，BM⊥CD，
∴∠ANC＝90°，∠BMC＝90°，
又∠ACB＝90°，
∴∠ACN+∠BCM＝∠BCM+∠CBM＝90°，
∴∠ACN＝∠CBM，
又∵AC＝BC，
∴△ACN≌△CBM（AAS），
∴AN＝CM；
（2）解：∵∠AND＝∠BMD，∠ADN＝∠BDM，
∴△AND∽△BMD，
∴，
设AN＝x，则BM＝2x，
由（1）知AN＝CM＝x，BM＝CN＝2x，
∵AN2+CN2＝AC2，
∴x2+（2x）2＝12，
∴x＝，
∴CM＝，CN＝，
∴MN＝，
∴DM＝＝；
（3）解：延长ME，AN相交于点H，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠ANM＝90°，∠BMN＝90°，
∴AN∥BM，
∴∠HAE＝∠MBE，∠AHE＝∠BME，
∴△AHE≌△BME（AAS），
∴AH＝BM，
又∵BM＝CN，CM＝AN，
∴CN＝AH，
∴MN＝HN，
∴∠HMN＝45°，
∴∠EMB＝45°，
过点E作EG⊥BM于点G，
∵sin∠NAD＝k，∠NAD＝∠EBG，
∴sin∠EBG＝＝k，
又∵AC＝BC＝1，
∴AB＝，
∴BE＝，
∴EG＝k，
∴EM＝EG＝k＝k．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
5．（2022·广东佛山·校考三模）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如图2，如果，且，求的值；
(3)如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，或，
【分析】（1）由题意：，证明即可解决问题．
（2）延长交于点．证明，可得，，由，可得．
（3）因为与相似，，所以中必有一个内角为因为是锐角，推出．接下来分两种情形分别求解即可．
【详解】（1）证明：如图1中，
，
，，
平分，
，同理，
，，
，
．
（2）解：延长交于点．
，
，
平分，
，
，
，
，，
，
．
（3）与相似，，
中必有一个内角为
是锐角，
．
①当时，
，
，
，
，此时．
②当时，，
，
与相似，
，此时．
综上所述，，．，．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
【考向三 母子型相似】
例题：（2022秋·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．
【答案】(1)为的理想点,理由见解析
(2)或
【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”；
（2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上．
（1）
解：点是的“理想点”，理由如下：
是中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点是的“理想点”；
（2）
①在上时，如图：
是的“理想点”，
或，
当时，
，
，
，即是边上的高，
当时，同理可证，即是边上的高，
在中，，，，
，
，
，
②，，
有，
“理想点” 不可能在边上，
③在边上时，如图：
是的“理想点”，
，
又，
，
，即，
，
综上所述，点是的“理想点”， 的长为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．
【变式训练】
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为___________．
【答案】
【分析】延长到，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出．
【详解】解：如图所示，延长到，使，连接，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键．
2．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．
【答案】证明见解析．
【分析】根据AC=，CD＝4，BD＝2，可得，根据∠C =∠C，即可证明结论．
【详解】解：∵AC=，CD＝4，BD＝2
∴，
∴
∵∠C =∠C
∴△ACD∽△BCA．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键．
3．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在中，，为边上的高，的平分线分别交，于点，．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积，
(3)若，请直接写出的值为______．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用同角的余角相等可得，再由角平分线的定义可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先根据定理可证，推出，设，则，在中，利用勾股定理，然后根据相似三角形的性质求解即可得；
（3）由和推出，得到，再根据一元二次方程的解法求解即可得．
【详解】（1）证明：，为边上的高，
，，
，
是的平分线，
，
在和中，，
．
（2）解：在中，，
如图，过点作于，
是的平分线，，
，
在和中，，
，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
，
，
∴，即，
解得，
即的面积为．
（3）解：如上图，在和中，，
∴，
在和中，，
，
，即，
解得或（不符题意，舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、解直角三角形的应用、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
4．（2022·江苏·九年级专题练习）如图：在矩形ABCD中，，，动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．
（1）______m，______m，_____m（用含t的代数式表示）
（2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？
（3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1），，；（2）或；（3）四边形ABQP与CPQ的面积不相等，理由见解析
【分析】（1）根据矩形和勾股定理的性质，计算得，结合题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，根据相似三角形的性质列方程并求解，即可得到答案；
（3）过点P作，交BC于点M，通过证明，根据相似比的性质，推导得，根据题意列一元二次方程，根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案．
【详解】（1）∵矩形ABCD中，，
∴m
∵动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，
∴，
∴
故答案为：，，；
（2）根据（1）的结论，得，，，
∵
∴当，或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似
当时，得
∴
∴；
当时，得
∴
∴；
（3）如图，过点P作，交BC于点M
∵，
∴
∴
∴
∴
∵四边形ABQP与CPQ的面积相等,四边形ABQP面积
∴
∴
∴
∵
∴无解，即四边形ABQP与CPQ的面积不相等．
【点睛】本题考查了代数式、相似三角形、一元二次方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．
【考向四 旋转相似】
例题：（2022秋·贵州贵阳·九年级校考期中）如图1，在中，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
(1)问题发现
①当时，＝______；
②当时，＝______；
(2)拓展探究
试判断当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
(3)问题解决
当绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，求线段的长．
【答案】(1)①；②
(2)当时，，大小没有变化，证明见解析
(3)线段的长为或
【分析】（1）①先利用勾股定理可得，再根据线段中点的定义可得，由此即可得；
②先画出图形，根据旋转的性质可得，再利用勾股定理可得，然后根据线段和差分别求出的长，由此即可得；
（2）根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质即可得；
（3）分①点在的延长线上和②点在线段上，利用勾股定理求出，从而可得的长，再根据求解即可得．
【详解】（1）解：①当时，
在中，，
，
点分别是边的中点，
，，
，
故答案为：；
②如图1，点分别是边的中点，，
，
，
，
如图，当时，
由旋转的性质得：的大小不变，仍等于，长度不变，仍等于2，的长度不变，仍等于，
，，
，
，
故答案为：．
（2）解：当时，，大小没有变化，证明如下：
由旋转的性质得：，
，
又，
，
．
（3）解：①如图，当点在的延长线上时，
在中，，
，
，
，
；
②如图，当点在线段上时，
在中，，
，
，
，
；
综上，线段的长为或．
【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江宁波·校考一模）如图1，在中，，点D，E分别是的中点．把绕点B旋转一定角度，连结．
(1)如图2，当线段在内部时，求证：．
(2)当点D落在直线上时，请画出图形，并求的长．
(3)当面积最大时，请画出图形，并求出此时的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析；
(3)见解析，
【分析】（1）根据点D，E分别是的中点，得到，再根据旋转，得到，即可得证；
（2）勾股定理定理求出的长，中位线定理得到，进而得到，根据旋转，得到，推出，利用勾股定理求出的长；
（3）设点E到的距离为h，判断出h最大，的面积最大，过点D作于H，证明，利用对应边对应成比例，求出的长，利用进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵点D，E分别是的中点，
∴
∴，
由旋转知，，
∴；
（2）解：如图，
∵，
∴，
由（1）图
∵点D，E分别是的中点，
∴，
∴，
∵点D落在上，
∴，
由（1）知，，
∴，
在中，，
根据勾股定理得，；
（3）解：如图，
设点E到的距离为h，则，
要的面积最大，则h最大，
即时，此时，h最大，
∵，
∴，
∴，
由旋转知，，
∴，
过点D作于H，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在题干图1中，
∵点D，E分别是的中点，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的中位线，勾股定理．本题的综合性较强，难度较大，解题的关键是根据题意，正确的画出图形．
2．（2022·山东枣庄·校考模拟预测）如图1，在等腰直角三角形中，，．点是的中点，以为边作正方形，连接，．将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为（）．
(1)如图2，在旋转过程中，
①判断与是否全等，并说明理由；
②当时，与交于点，求的长．
(2)如图3，延长交直线于点．求证：；
【答案】(1)①，理由见解析；②
(2)证明见解析
【分析】（1）①根据“边角边”，证明即可；②过点作于，根据①中，，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据勾股定理，得出，再根据，得出，再根据相似三角形的性质，计算即可得出答案；
（2）设交于，根据（1），得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据等量代换，得出，再根据垂线的定义，即可得出结论．
【详解】（1）解：①如图2中，结论：．
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
②如图2中，过点作于．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：如图3中，设交于．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三线合一的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、垂线的定义，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
3．（2022·山东济南·统考二模）（1）【方法尝试】
如图1，矩形是矩形以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，分别是它们的对角线．则与数量关系_______，位置关系________；
（2）【类比迁移】
如图2，在和中，．将绕点A在平面内逆时针旋转，设旋转角为α（），连接．请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图3，在中，，过点A作，在射线上取一点D，连接，使得，请求线段的最大值．
【答案】（1）；（2），，理由见解析；（3）．
【分析】（1）延长交于点H．由旋转的性质可得出，．从而即可求出，即；
（2）延长交于点Q，交于点O，易证，又可求，即证明，得出，．进而可求出，即，；
（3）过点A作，使得，取的中点R，连接．由平行线的性质可证，从而可证．再根据，即得出，从而可证，得出．根据直角三角形斜边中线的性质可求出．再根据勾股定理可求出，最后由三角形三边关系即得出，从而得出，即得出的最大值．
【详解】解：（1）如图，延长交于点H．
由旋转的性质可得：，．
又∵，
∴，即．
故答案为：，；
（2），，理由如下，
延长交于点Q，交于点O，如图2．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，；
（3）如图，过点A作，使得，取的中点R，连接．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵点R为中点，，
∴．
∵，
∴．
∵,
∴，
∴最大值为．
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，三角形相似的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形三边关系的应用等知识．熟练掌握旋转的性质和三角形相似的判定定理，并正确的作出辅助线是解题关键．
4．（2023秋·河南南阳·九年级校考期末）如图，将绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”．
(1)知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 （填“是”或“不是”“旋转位似图形”；
如图1，与互为“旋转位似图形”，
①若，，，则 ；
②若，，，则 ；
(2)知识运用：
如图2，在四边形中，，于，，求证：和互为“旋转位似图形”；
(3)拓展提高：
如图3，为等腰直角三角形，点为中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求出和的值．
【答案】(1)是；①；②
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）根据旋转位似图形的定义；
旋转位似图形的性质，得，根据三角形的内角和，即可；
根据相似三角形的性质，即可；
（2）如图，根据，，，得，；根据对顶角相等，得，；再根据，即可；
（3）连接，根据勾股定理，求出，过作于，由，；根据等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，求出，再根据勾股定理，即可求出的长．
【详解】（1）两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形，把其中一个三角形绕公共顶点旋转后构成位似图形，故它们互为“旋转位似图形”，
故答案为：是；
①∵与互为“旋转位似图形”
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴；
②∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为：是；①；②．
（2）如图：
∵，，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴和互为“旋转位似图形”．
（3）连接
∵为等腰直角三角形，点为中点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
过作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述：，．
【点睛】本题考查相似三角形，勾股定理的知识，解题的关键是理解旋转位似图形的定义，相似三角形的判定和性质．
【考向五 K字型相似】
例题：（2022·山东济南·山东师范大学第二附属中学校考模拟预测）如图，在中，点D、E分别是边、上的点，且．
(1)如图1，若，求证：；
(2)若．
①如图2，当时，求的长；
②如图3，当时，直接写出的长是______．
【答案】(1)见解析
(2)①；②​​​​​​​
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）①如图，作的垂直平分线交于F，连接，证明，利用全等三角形的性质和，进行求解即可；②延长到，使，求出，作于，利用等腰三角形的判定和性质，求出的长，进而得到的余弦，作中垂线交于，于，
证明，利用相似三角形的性质，进行求解即可．
【详解】（1）证明：在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴=，
∴；
（2）解：①如图2，作的垂直平分线交于F，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，​​​​​​​
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②​​​​​​​如图：延长到，使，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于，则，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
作中垂线交于，于，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，
，
解得 ，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，线段垂直平分线的性质等知识．通过添加辅助线，证明三角形全等和相似是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）（1）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，求证：；
（2）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，，，，求的值；
（3）如图，中，点在边上，且，，，点在边上，连接，，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）要证，可证，根据可得，即可证得；
（2）根据，，可得到，从而求出相应的线段长度，得到的值；
（3）根据，可得到，可求出的长，再根据已知条件证得即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵，
，，
∴，
∵，
∴，
∴．
(2)解：如解图，与交于点，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，∴，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如解图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，
∵，，，
∴，∴，
∵，，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形得性质和判定，根据相似三角形对应边成比例求出相关的线段长度，最后一问以EC为腰作等腰三角形为解题关键．
2．（2022春·全国·九年级专题练习）如图1，在中，，点P为斜边上一点，过点P作射线，分别交、于点D，E．
(1)问题产生∶若P为中点，当时， ；
(2)问题延伸：在（1）的情况下，将若∠DPE绕着点P旋转到图2的位置，的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；
(3)问题解决：如图3，连接，若与相似，求的值．
【答案】(1)
(2)不变，证明见解析；
(3)或
【分析】（1）通过P为中点，，可以得到：，进而得到是的中位线，利用中位线定理即可得解；
（2）过点作，得到是的中位线，得到，证明，得到，即可得证；
（3）当，利用，得到点C、D、P、E共圆，得到，证明，利用相似比即可得解，当时，可以得到点是的中点，即可得解．
【详解】（1）解：∵
∴，
∵，
∴，
∵P为中点，
∴，
∴；
（2）不变，理由如下：
过点作，
则，
∵P为中点，
∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的值不变；
（3）如图2，连接 ，
∵，
∴ ，
当时，则，
∵，
∴点C、D、P、E共圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图3，当时，则，
∵，
∴点C、D、P、E共圆，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
综上所述：或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．通过添加合适的辅助线证明三角形相似是解题的关键．同时，本题考查了三角形的中位线定理，以及利用四点共圆证明角相等，是一道综合题．
3．（2022·山东济南·校考三模）已知ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且．
(1)点D与点B重合时，
①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 ；
②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；
(2)BD＝2CD时，
①如图3，k＝1时，若AE＝2，＝6，求FC的长度；
②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值．
【答案】(1)①AE＝FC；AE⊥FC；②AE＝2CF，AE⊥CF，见解析
(2)①6；②
【分析】（1）①如图1中，结论：AE＝FC；AE⊥FC；证明可得结论．
②如图2中，结论：AE＝2CF，AE⊥CF，证明△ABE∽△CBF可得结论．
（2）①如图3中，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T，首先证明DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m，再证明△EDT≌△FDC（SAS），推出S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC，构建方程求出m即可解决问题．
②如图4，连接DM，CM，根点M作于K，交AC于J，证明，推出点是在DC的垂直平分线MK上，当时，MN的值最小．
【详解】（1）解：（1）① AE＝FC ， AE⊥FC ；
理由：由题意知BA＝BC，BE=BE，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：AE＝FC，AE⊥FC．
②AE＝2CF，AE⊥CF，
理由如下：
∵，，
∴△ABE∽△CBF，
∴，∠A＝∠BCF，
∴AE＝2CF，
∵∠A+∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACB＝90°，
∴AE⊥CF；
（2）①如图3，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T，
由题意知AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∵DT∥AB，∴∠DTC＝∠DCT＝45°，∴DT＝DC，
∵DH⊥CT，∴HT＝HC，
∴DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m，
∴DT∥AB，∴，
∴AT＝4m，
∵AE＝2，∴ET＝4m﹣2，
∵DE＝DF，DT＝DC，∠EDF＝∠TDC＝90°，
∴∠EDT＝∠FDC，∴△EDT≌△FDC（SAS），
∴S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC，
∴，
解得m＝2或﹣（舍去），
∴CF＝ET＝4m﹣2＝6；
②如图4，连接DM，CM，根点M作于K，交AC于J，
同法可证：，
∵，
∴，
∴点M是在DC的垂直平分线MK上，DC的长度不会变化，
当时，MN的值最小，
由题意：AB=10，BC=5，，，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵时，，
∴，
∴，
∴，
MN的最小值为．
【点睛】本题考查了相似三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握双子型基本模型是解题的关键．