最新中考数学重难点与压轴题型训练（讲义） 专题11 相似三角形的综合问题（重点突围）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题11 相似三角形的综合问题
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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30950" 【直击中考】 PAGEREF _Tc30950 \h 1
\l "_Tc32616" 【考向一 (双)A字型相似】 PAGEREF _Tc32616 \h 1
\l "_Tc13618" 【考向二 (双)8字型相似】 PAGEREF _Tc13618 \h 8
\l "_Tc5970" 【考向三 母子型相似】 PAGEREF _Tc5970 \h 16
\l "_Tc2091" 【考向四 旋转相似】 PAGEREF _Tc2091 \h 24
\l "_Tc19169" 【考向五 K字型相似】 PAGEREF _Tc19169 \h 37
【直击中考】
【考向一 (双)A字型相似】
例题：（2022·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．
（1）求证：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．
【变式训练】
1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝__________．
2．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在中，、分别是、边上的高．求证：．
3．（2021秋·山东济宁·九年级校考阶段练习）
中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?
（2）若的面积为，求关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似?
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，中，点D在边上，且．
（1）求证：；
（2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数．
（3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长．
【考向二 (双)8字型相似】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．

（1）求证：CE＝AF；
（2）连接ME，若＝，AF＝2，求的长．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___．
3．（2022秋·北京房山·九年级统考期中）如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长．
4．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．
（1）求证：AN＝CM；
（2）若点D满足BD：AD＝2：1，求DM的长；
（3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD＝k，求证：EM＝k．
5．（2022·广东佛山·校考三模）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如图2，如果，且，求的值；
(3)如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．
【考向三 母子型相似】
例题：（2022秋·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．
【变式训练】
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为___________．
2．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．
3．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在中，，为边上的高，的平分线分别交，于点，．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积，
(3)若，请直接写出的值为______．
4．（2022·江苏·九年级专题练习）如图：在矩形ABCD中，，，动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．
（1）______m，______m，_____m（用含t的代数式表示）
（2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？
（3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
【考向四 旋转相似】
例题：（2022秋·贵州贵阳·九年级校考期中）如图1，在中，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
(1)问题发现
①当时，＝______；
②当时，＝______；
(2)拓展探究
试判断当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
(3)问题解决
当绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，求线段的长．
【变式训练】
1．（2023·浙江宁波·校考一模）如图1，在中，，点D，E分别是的中点．把绕点B旋转一定角度，连结．
(1)如图2，当线段在内部时，求证：．
(2)当点D落在直线上时，请画出图形，并求的长．
(3)当面积最大时，请画出图形，并求出此时的面积．
2．（2022·山东枣庄·校考模拟预测）如图1，在等腰直角三角形中，，．点是的中点，以为边作正方形，连接，．将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为（）．
(1)如图2，在旋转过程中，
①判断与是否全等，并说明理由；
②当时，与交于点，求的长．
(2)如图3，延长交直线于点．求证：；
3．（2022·山东济南·统考二模）（1）【方法尝试】
如图1，矩形是矩形以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，分别是它们的对角线．则与数量关系_______，位置关系________；
（2）【类比迁移】
如图2，在和中，．将绕点A在平面内逆时针旋转，设旋转角为α（），连接．请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图3，在中，，过点A作，在射线上取一点D，连接，使得，请求线段的最大值．
4．（2023秋·河南南阳·九年级校考期末）如图，将绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”．
(1)知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 （填“是”或“不是”“旋转位似图形”；
如图1，与互为“旋转位似图形”，
①若，，，则 ；
②若，，，则 ；
(2)知识运用：
如图2，在四边形中，，于，，求证：和互为“旋转位似图形”；
(3)拓展提高：
如图3，为等腰直角三角形，点为中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求出和的值．
【考向五 K字型相似】
例题：（2022·山东济南·山东师范大学第二附属中学校考模拟预测）如图，在中，点D、E分别是边、上的点，且．
(1)如图1，若，求证：；
(2)若．
①如图2，当时，求的长；
②如图3，当时，直接写出的长是______．
【变式训练】
1．（2021秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）（1）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，求证：；
（2）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，，，，求的值；
（3）如图，中，点在边上，且，，，点在边上，连接，，，求的值．
2．（2022春·全国·九年级专题练习）如图1，在中，，点P为斜边上一点，过点P作射线，分别交、于点D，E．
(1)问题产生∶若P为中点，当时， ；
(2)问题延伸：在（1）的情况下，将若∠DPE绕着点P旋转到图2的位置，的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；
(3)问题解决：如图3，连接，若与相似，求的值．
3．（2022·山东济南·校考三模）已知ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且．
(1)点D与点B重合时，
①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 ；
②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；
(2)BD＝2CD时，
①如图3，k＝1时，若AE＝2，＝6，求FC的长度；
②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值．