中考数学复习重难点与压轴题型训练专题10用三角函数解决实际问题(学生版+解析)

这是一份中考数学复习重难点与压轴题型训练专题10用三角函数解决实际问题(学生版+解析)，共34页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7220" 【直击中考】 PAGEREF _Tc7220 \h 1
\l "_Tc13100" 【考向一 仰角俯角求距离问题】 PAGEREF _Tc13100 \h 1
\l "_Tc28939" 【考向二 情景模拟抽象出三角形求解】 PAGEREF _Tc28939 \h 9
【直击中考】
【考向一 仰角俯角求距离问题】
例题：（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）我市里运河风光带的国师塔，高大挺拔，古朴雄浑，别具一格．小明想知道国师塔的高度，在附近一高层小区顶楼A处，测得国师塔塔顶D处的俯角，塔底C处俯角，小明所在位置高度m．
(1)求两栋建筑物之间的水平距离；
(2)求国师塔高度．（结果精确到1m）（参考数据：）
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，保定市某中学在实施"五项管理"中，将学校的"五项管理"做成宣传牌（），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿该中学围墙边坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为．已知山坡的坡度为，m，m．
(1)求点B距水平面的高度；
(2)求宣传牌的高度．（结果保留根号）
2．（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）王珊同学用航拍无人机帮小区物管测二号楼高，如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面的中点垂直起飞到达点处，测得一号楼顶部的俯角为，测得二号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为米，已知一号楼的高为米，求二号楼的高结果精确到米参考数据，，，，
3．（2022·江苏泰州·模拟预测）如图，小明在大楼高（即，且）的窗口处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，已知该山坡的坡度（即）为（点，，，，在同一个平面上，点，，在同一条直线上）．
(1)的度数等于________度（直接填空）
(2)求，两点间的距离（结果精确到，参考数据：，）
4．（2022·浙江舟山·统考二模）我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．（参考数据：，，，，，）
(1)如图1，在无鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，海面上方的鱼线与海面成一定角度．求点B到海面的距离；
(2)如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．
5．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）交通安全心系千万家．高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为25°，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．
(1)求，两点之间的距离（结果精确到1m）；
(2)若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：，，，，，）
【考向二 情景模拟抽象出三角形求解】
例题：（2022·辽宁盘锦·校考一模）如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题；参考数据：≈1．41，≈1．73，≈2．45．
(1)求AC的长度（结果保留根号）；
(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江舟山·九年级校联考阶段练习）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于墨子备城门，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．
(1)求点A位于最高点时到地面的距离；
(2)当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1时，求此时水桶B上升的高度．
（考数据：）
2．（2022·江西赣州·统考二模）“为梦想战，决战中考”，如图①是寻乌县第三中学的中考倒计时牌，图②为它的侧面图，图③为它的侧面简意图，已知，．
(1)如图③，A处离地面多高？
(2)如图④，芳芳站在倒计时牌前的点H处观察倒计时牌（点D、C、H在同一水平线上），测得芳芳的身高为，当芳芳的视线恰好落在点B处时（忽略眼睛到头顶的距离）视线俯角为，求此时的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，）
3．（2022·九年级单元测试）风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在点测得点与塔底点的距离为，李华站在斜坡的坡顶处，已知斜坡的坡度，坡面长，李华在坡顶处测得轮毂点的仰角，请根据测量结果帮他们计算：
(1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离；
(2)风力发电机塔架的高度．结果精确到，参考数据，，，，
4．（2022·湖南株洲·统考模拟预测）有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB＝50cm，拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm，点A、B、C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒⊙A，⊙A与水平地面切于点D，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B距离水平地面38cm时，点C到水平地面的距离CE为59cm．设AFMN．
(1)求⊙A的半径长；
(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为80cm，．求此时拉杆BC的伸长距离．
5．（2022·湖南永州·校考模拟预测）某市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．
(1)求坐垫E到地面的距离；
(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求E的长．
（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cs64°≈0.44，tan64°≈2.05）
6．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，m，m．
(1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到0.1m）；
(2)下雨时收拢“天幕”，从65°减少到45°，求点下降的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：，，，）
7．（2022·江苏盐城·统考中考真题）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m．
(1)求、两点之间的距离；
(2)求长．
（结果精确到0.1m，参考数据：，，，）
8．（2022·河南·统考中考真题）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
(1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°．
(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．
专题10 用三角函数解决实际问题
【中考考向导航】
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7220" 【直击中考】 PAGEREF _Tc7220 \h 1
\l "_Tc13100" 【考向一 仰角俯角求距离问题】 PAGEREF _Tc13100 \h 1
\l "_Tc28939" 【考向二 情景模拟抽象出三角形求解】 PAGEREF _Tc28939 \h 9
【直击中考】
【考向一 仰角俯角求距离问题】
例题：（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）我市里运河风光带的国师塔，高大挺拔，古朴雄浑，别具一格．小明想知道国师塔的高度，在附近一高层小区顶楼A处，测得国师塔塔顶D处的俯角，塔底C处俯角，小明所在位置高度m．
(1)求两栋建筑物之间的水平距离；
(2)求国师塔高度．（结果精确到1m）（参考数据：）
【答案】(1)190m
(2)63m
【分析】（1）延长交于点，根据题意得：，从而在中，利用，求得两建筑物底部之间水平距离；
（2）在中利用，求得，然后即可求得的长．
【详解】（1）解：延长交于点，根据题意得：，
在中，，
，
，
m，
答：两建筑物底部之间水平距离的长度为m；
（2）解：在中，，
，
m，
（m）．
答：国师塔高度为m．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，保定市某中学在实施"五项管理"中，将学校的"五项管理"做成宣传牌（），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿该中学围墙边坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为．已知山坡的坡度为，m，m．
(1)求点B距水平面的高度；
(2)求宣传牌的高度．（结果保留根号）
【答案】(1)2米
(2)米
【分析】(1)根据得到，设，利用勾股定理计算即可．
(2)过点B作，垂足为F，判定四边形是矩形，解直角三角形计算计算即可．
【详解】（1）∵，
∴，
设，
∵m，
∴，
解得（舍去），
∴（m）．
（2）如图，过点B作，垂足为F，
则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴；
∵，，，
∴
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的基本要领是解题的关键．
2．（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）王珊同学用航拍无人机帮小区物管测二号楼高，如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面的中点垂直起飞到达点处，测得一号楼顶部的俯角为，测得二号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为米，已知一号楼的高为米，求二号楼的高结果精确到米参考数据，，，，
【答案】二号楼的高约为米
【分析】过点，分别作，，垂足分别为，，由题意可得米，在中，求出，从而求出，然后在中，求出，从而求出，即可解答．
【详解】解：过点、分别作、，垂足分别为、，

由题意得，米，，，，米，
米，
在中，，
（米），
米，
在中，，
（米），
米，
答：二号楼的高约为米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
3．（2022·江苏泰州·模拟预测）如图，小明在大楼高（即，且）的窗口处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，已知该山坡的坡度（即）为（点，，，，在同一个平面上，点，，在同一条直线上）．
(1)的度数等于________度（直接填空）
(2)求，两点间的距离（结果精确到，参考数据：，）
【答案】(1)
(2)A、B两点间的距离约为52.0米
【分析】（1）根据坡度求得，结合题意，得出，进而得出
（2）根据，得出，解即可求解．
【详解】（1）如解图所示；过点A作于点F，
∵山坡的坡度i（即）为，
∴，
∴，
∵在窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为，山脚B处的俯角为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：90；
（2）∵
∴，
∵米，，
解得：，
故 （米），
答：A、B两点间的距离约为52.0米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的性质应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
4．（2022·浙江舟山·统考二模）我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．（参考数据：，，，，，）
(1)如图1，在无鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，海面上方的鱼线与海面成一定角度．求点B到海面的距离；
(2)如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．
【答案】(1)点B到海面的距离为3米
(2)
【分析】（1）过点B作，垂足为F，延长交于E，垂足为E，首先根据求出的长度，然后加上的长度即可求出点B到海面的距离；
（2）过点B作，垂足为N，延长交于点M，垂足为M，由求出，即得， 由求出，从而求出的长，利用勾股定理求出，利用即可求解．
【详解】（1）解：过点B作，垂足为F，延长交于E，
则，
∵，
∴，
∴ ，即，
∴，
答：点B到海面HC的距离为3米
（2）解：过点B作，垂足为N，延长交于点M，
由，
∴，
∴ ，
即，
∴，
∵，
∴，
∴ ，即，
∴，
∴，
∴，
即点O到岸边的距离为．
【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解决关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．
5．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）交通安全心系千万家．高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为25°，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．
(1)求，两点之间的距离（结果精确到1m）；
(2)若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：，，，，，）
【答案】(1)760米
(2)未超速，理由见解析
【分析】（1）分别解，求得，根据即可求解；
（2）根据路程除以速度，进而比较即可求解．
【详解】（1）
四边形是平行四边形
四边形是矩形，
在中，
在中，
答：，两点之间的距离为760米；
（2），
小汽车从点行驶到点未超速．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
【考向二 情景模拟抽象出三角形求解】
例题：（2022·辽宁盘锦·校考一模）如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题；参考数据：≈1．41，≈1．73，≈2．45．
(1)求AC的长度（结果保留根号）；
(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过作于，解直角三角形即可得到结论；
（2）过作交的延长线于，根据等腰直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：过作于
∴
∵，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
（2）解：过作交的延长线于
∴，
∴
∵，
∴
答：拉杆箱点到水平滑杆的距离为
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，主要是三角形函数的基本概念和运算，关键是用数学知识解决和实际问题．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江舟山·九年级校联考阶段练习）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于墨子备城门，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．
(1)求点A位于最高点时到地面的距离；
(2)当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1时，求此时水桶B上升的高度．
（考数据：）
【答案】(1)点A位于最高点时到地面的距离为米；
(2)水桶上升的高度为米．
【分析】（1）作出如图的辅助线，在中，利用正弦函数求解即可；
（2）作出如图的辅助线，在中和在中，分别利用三角函数求出和的长即可．
【详解】（1）解：过O作，过A作于G，
∵米，，
∴米，米，
∵，，
∴，
在中，（米），
点A位于最高点时到地面的距离为（米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为米；
（2）解：过O作，过B作于C，过作于D，
∵，
∴，，
∵（米），
在中，（米），
在中，（米），
∴（米），
∴此时水桶B上升的高度为1.6米．
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，读懂题意，构造直角三角形是解题的关键．
2．（2022·江西赣州·统考二模）“为梦想战，决战中考”，如图①是寻乌县第三中学的中考倒计时牌，图②为它的侧面图，图③为它的侧面简意图，已知，．
(1)如图③，A处离地面多高？
(2)如图④，芳芳站在倒计时牌前的点H处观察倒计时牌（点D、C、H在同一水平线上），测得芳芳的身高为，当芳芳的视线恰好落在点B处时（忽略眼睛到头顶的距离）视线俯角为，求此时的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，先证明，在中，再根据即可求解；
（2）过点B作于点E，过点B作于点F，则可得四边形是矩形，即有，，根据，，可得，即有，在中，，根据即可求解．
（1）
解：连接，图，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴在中，
，
即A处离地面；
（2）
解：过点B作于点E，过点B作于点F，图②，
根据题意有：，则可得四边形是矩形，
即有，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴ ．
答：的长度约为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，明确题意，找准对应关系，灵活运用三角函数是解答本题的关键．
3．（2022·九年级单元测试）风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在点测得点与塔底点的距离为，李华站在斜坡的坡顶处，已知斜坡的坡度，坡面长，李华在坡顶处测得轮毂点的仰角，请根据测量结果帮他们计算：
(1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离；
(2)风力发电机塔架的高度．结果精确到，参考数据，，，，
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）在中，，可得，根据解直角三角形进行求解即可；
（2）根据求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，，
则为坡顶B到所在直线的距离，
则，，
在中，，
∴，
∵，
∴；
（2）由题意得，四边形是矩形，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
答：塔架高度约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用以及勾股定理，根据题意构造直角三角形是解本题的关键．
4．（2022·湖南株洲·统考模拟预测）有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB＝50cm，拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm，点A、B、C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒⊙A，⊙A与水平地面切于点D，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B距离水平地面38cm时，点C到水平地面的距离CE为59cm．设AFMN．
(1)求⊙A的半径长；
(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为80cm，．求此时拉杆BC的伸长距离．
【答案】(1)⊙A的半径长为8cm
(2)此时拉杆BC的伸长距离为30cm
【分析】（1）如图所示，过点B作BH⊥MN于H交AF于K，设⊙A的半径长为xcm，证明△ABK∽△ACG，得到，即，由此求解即可；
（2）先解直角三角形ACG求出AC的长即可求出BC的长．
（1）
解：如图所示，过点B作BH⊥MN于H交AF于K，设⊙A的半径长为xcm，
∵，AD⊥MN，
∴，四边形ADHK和四边形ADEG都是矩形，
∴AD=HK=GE=xcm，
∵BH=38cm，CE=59cm，
∴BK=（38-x）cm，CG=（59-x）cm，
∵，
∴△ABK∽△ACG，
∴，即，
解得，
∴⊙A的半径长为8cm；
（2）
解：在Rt△ACG中，CG=CE-GE=72cm，
∵，
∴，
∴BC=AC-AB=30cm，
∴此时拉杆BC的伸长距离为30cm．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，切线的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
5．（2022·湖南永州·校考模拟预测）某市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．
(1)求坐垫E到地面的距离；
(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求E的长．
（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cs64°≈0.44，tan64°≈2.05）
【答案】(1)99.5cm
(2)3.9cm
【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解即可；
（2）根据坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，由小明的腿长约为80cm,求出BE′，进而求出即可．
（1）
如图1，过点E作EM⊥CD于点M，
由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，
∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），
则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；
（2）
如图2所示，过点E′作⊥CD于点H，
由题意知＝80×0.8＝64，
则E′C＝＝≈71.1（cm），
∴＝CE﹣＝75﹣71.1＝3.9（cm）．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义．
6．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，m，m．
(1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到0.1m）；
(2)下雨时收拢“天幕”，从65°减少到45°，求点下降的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：，，，）
【答案】(1)遮阳宽度约为
(2)点下降的高度约为
【分析】（1）在中，利用正弦可得的长，由此即可得；
（2）设点下降到点，过点作于点，过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，从而可得，再分别解直角三角形可得的长，然后根据线段和差即可得．
【详解】（1）解：由题意得：是轴对称图形，
，
，，
，
，
答：遮阳宽度约为．
（2）解：如图，设点下降到点，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
，
，即，
当时，，
当时，，
则，
答：点下降的高度约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、轴对称图形、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
7．（2022·江苏盐城·统考中考真题）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m．
(1)求、两点之间的距离；
(2)求长．
（结果精确到0.1m，参考数据：，，，）
【答案】(1)6.7m
(2)4.5m
【分析】（1）连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
（2）过点作，垂足为，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）解：如图2，连接，过点作，交的延长线于．
在中，，
，所以，
，所以，
在中，m，m，
根据勾股定理得m，
答：、两点之间的距离约6.7m．
（2）如图2，过点作，垂足为，
则四边形为矩形，m，，
所以m，
在中，m，m，
根据勾股定理得m．
m．
答：的长为4.5m．
【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解
8．（2022·河南·统考中考真题）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
(1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°．
(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)50 cm
【分析】（1）根据切线的性质可得，，根据，可得，过点作，根据平行线的性质可得，，进而即可得证；
（2）过点作的平行线，交于点，交于点，由（1）得到，在，中，求得,进而求得，根据即可求解．
【详解】（1）证明：⊙O与水平地面相切于点C，
，
，
，
AB与⊙O相切于点B，
，
，
过点作，
，
，
，
即∠BOC＋∠BAD＝90°．
（2）如图，过点作的平行线，交于点，交于点，
，则四边形是矩形，
， ，
，
在中，，，
（cm)，
在中，，cm，
(cm)，
(cm)，
(cm)，
cm，
(cm)．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，解直角三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键．