2025年高考数学一轮复习讲义专题46直线与圆、圆与圆的位置关系(原卷版+解析)

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义专题46直线与圆、圆与圆的位置关系(原卷版+解析)，共51页。
【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】4
【考点1】直线与圆的位置关系4
【考点2】圆的切线、弦长问题5
【考点3】圆与圆的位置关系7
【分层检测】8
【基础篇】8
【能力篇】10
【培优篇】10
考试要求：
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
知识梳理
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0))消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req \\al(2,1)，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req \\al(2,2)，
则圆心距d＝|C1C2|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).
则两圆C1，C2有以下位置关系：
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（xM＋xN）2－4xM·xN).
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
3．（2023·全国·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
4．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题
5．（2024·全国·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
三、填空题
6．（2023·全国·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
7．（2022·全国·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
8．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
考点突破
【考点1】直线与圆的位置关系
一、单选题
1．（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
2．（2024·湖北·模拟预测）已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ）
A．B．C．2D．
二、多选题
3．（2024·河北衡水·模拟预测）已知，动点满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点的轨迹围成的图形面积为
B．的最小值为
C．是的任意两个位置点，则
D．过点的直线与点的轨迹交于点，则的最小值为
4．（23-24高三上·河北廊坊·期中）如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．圆的圆心都在直线上
B．圆的方程为
C．若圆与轴有交点，则
D．设直线与圆在第二象限的交点为，则
三、填空题
5．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为 .
6．（19-20高一下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直角△中，直角顶点A在直线上，顶点在圆上，则点A横坐标的取值范围是 ．
反思提升：
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
【考点2】圆的切线、弦长问题
一、单选题
1．（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·辽宁·模拟预测）过点作圆的切线，A为切点，，则的最大值是（ ）
A．B．C．4D．3
二、多选题
3．（2022·福建泉州·模拟预测）已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．点到的最大距离为
B．若被圆所截得的弦长最大，则
C．若为圆的切线，则的取值范围为
D．若点也在圆上，则到的距离的最大值为
4．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，.则下列说法正确的是（ ）
A．最短为
B．最短时，弦所在直线方程为
C．存在点，使得
D．直线过定点为
三、填空题
5．（2022·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是 ．
6．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，的坐标满足，，已知圆，过作圆的两条切线，切点分别为，当最大时，圆关于点对称的圆的方程为 ．
反思提升：
弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
【考点3】圆与圆的位置关系
一、单选题
1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）两圆与的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题
3．（22-23高二上·浙江绍兴·阶段练习）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．椭圆上的点到直线的最大距离为
B．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，AB为切点，直线AB经过定点
C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则m＝4
D．圆上存在4个点到直线l：的距离都等于1
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知圆，则下列结论正确的有（ ）
A．若圆和圆外离，则
B．若圆和圆外切，则
C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线
D．当时，圆和圆相交
三、填空题
5．（2024·浙江丽水·二模）已知圆，若对于任意的，存在一条直线被圆所截得的弦长为定值，则 .
6．（2023·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 .
反思提升：
1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若直线与圆有交点，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
3．（2024·贵州六盘水·三模）已知直线与圆相交于A，B两点，若，则（ ）
A．B．1C．D．﹣2
4．（2021·江西·模拟预测）已知圆，过点向这个圆作两条切线，则两切线的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2024·辽宁沈阳·三模）设椭圆的左､右焦点分别为是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为8
B．椭圆的离心率
C．面积的最大值等于12
D．以线段为直径的圆与圆相切
6．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知圆和圆，则（ ）
A．圆的半径为4
B．轴为圆与的公切线
C．圆与公共弦所在的直线方程为
D．圆与上共有6个点到直线的距离为1
7．（2023·河北·三模）在平面直角坐标系中，已知圆与圆，分别为圆和圆上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．过点作圆M的切线有且只有一条
B．若圆和圆恰有3条公切线，则
C．若PQ的最小值为1，则
D．若，则直线的斜率的最大值为
三、填空题
8．（2024·天津·二模）设直线和圆相交于两点.若，则实数 .
9．（2023·天津武清·模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则 ．
10．（23-24高三下·天津南开·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且，则实数
四、解答题
11．（2020·云南保山·模拟预测）已知圆经过，，三点．
（1）求圆的标准方程；
（2）求经过点且和圆相切的直线的方程．
12．（22-23高二上·天津和平·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求：
(1)求圆心为的圆的标准方程；
(2)设点在圆上，点在直线上，求的最小值；
(3)若过点的直线被圆所截得弦长为，求该直线的方程．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·山东聊城·二模）若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2024·山东青岛·三模）已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（ ）
A．圆的半径为3
B．圆和圆相离
C．的最小值为
D．过点做圆的切线，则切线长最短为
三、填空题
3．（2024·天津武清·模拟预测）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 .
四、解答题
4．（2025·安徽·一模）椭圆的上顶点为，圆在椭圆内．
(1)求的取值范围；
(2)过点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为．是否存在圆，使得直线与之相切，若存在求出圆的方程，若不存在，说明理由．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·四川雅安·三模）若拋物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，，圆为的外接圆，直线与圆相切于点，点为圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·辽宁丹东·一模）已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（ ）
A．弦有最小值为B．有最小值为
C．面积的最大值为D．的最大值为9
三、填空题
3．（2022·青海·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，，，圆Q过坐标原点O且与圆L外切．若抛物线与圆L，圆Q均恰有一个公共点，则p＝ ．
位置关系
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ0
几何观点
d>r
d＝r
dr1＋r2
d