2025高考数学一轮复习-高考难点突破系列(一)导数中的综合问题-第二课时 构造函数证明不等式【课件】

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题型一　移项构造函数或直接利用函数的最值证明不等式
例1 (2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)讨论f(x)的单调性；
解　f′(x)＝aex－1，x∈R.当a≤0时，f′(x)0时，令f′(x)>0，得x>－ln a；令f′(x)0时，函数f(x)的最小值为f(－ln a)＝1＋a2＋ln a.
所以当a>1时，u′(a)2sin x，只需证当x>0时，ex>2x，即证ex－2x>0在(0，＋∞)上恒成立，设g(x)＝ex－2x(x>0)，则g′(x)＝ex－2，令g′(x)＝0解得x＝ln 2，∴g(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2(1－ln 2)>0，∴g(x)≥g(ln 2)>0，∴ex>2x成立，故当x>0时，ex>2sin x.
4.设函数f(x)＝ln(a－x)－x＋e.(1)求函数f(x)的单调区间；
∵x