四川省仁寿县铧强中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

这是一份四川省仁寿县铧强中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟；
一、单选题（共40分）
1. 若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围.
【详解】由，
得，
由该曲线表示圆，
可知，
解得或，
故选：B.
2. 已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断出的真子集，得到答案.
【详解】因为是的真子集，故是p的一个充分不必要条件，C正确；
ABD选项均不是的真子集，均不合要求.
故选：C
3. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每个问题都有问、答、术三部分组成，内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观和生活观.书中第九卷勾股部分记录了这么一个问题：问：今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？术曰：半锯道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径.如图，术曰所给出的求解公式为：，则答曰（ ）
A. 二尺六寸B. 二尺五寸C. 一尺三寸D. 一尺二寸
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意理解，分清楚“尺”与“寸”的关系，求出即可得出答案.
【详解】由题意可知​，“深一寸”是指为一寸，“锯道长一尺”是指为一尺，一尺为十寸，所以为十寸，
故为26（寸），即二尺六寸；
故选：A.
4. 下列命题正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 若给定命题：，使得，则：，均有
C. 若为假命题，则，均为假命题
D. 命题“若，则”的否命题为“若，则”
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用充分条件和必要条件的定义，存在量词命题的否定形式以及否命题的形式，逻辑联结词且复合型命题的真假与各个命题真假的关系，判断A、B、C、D的结论．
【详解】对于A：“”整理得：“”，故“”是“”的即不充分也不必要条件，故A错误；
对于B：若给定命题：，使得，则：，均有，故B正确；
对于C：若为假命题，则，均为假命题也可能为一真一假，故C错误；
对于D：命题“若，则”的否定为“若，则”，故D错误．
故选：B．
5. 储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的.现有一种“钢板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m和3m，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存300的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是（ ）
A. 6B. 9C. 10D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意求出一个“钢板仓”的体积，然后用300除以“钢板仓”的体积可得答案
【详解】因为圆锥的高为1，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，
所以圆锥的母线长为2，底面半径为，
所以一个“钢板仓”的体积为
，
因为
所以要储存300的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数为10个，
故选：C
6. 已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A. B. C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可.
【详解】解：设圆的圆心为，则，
设，则，
所以
，当且仅当时取得最大值，
所以．
故选：B．
7. 椭圆的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（ ）
A. （﹣，）B. （﹣，）C. （﹣，）D. （﹣，）
【答案】C
【解析】
【分析】
设P（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F1PF2是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22代入P坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围．
【详解】解：设P（x，y），由椭圆方程得椭圆焦点坐标为为F1（﹣，0），F2（，0），
且∠F1PF2是钝角⇔⇔（x+）2+y2+（x﹣）2+y2＜20
⇔x2+5+y2＜10⇔x2+4（1﹣）＜5⇔x2＜．所以．
故选：C．
【点睛】结论点睛：本题考查椭圆的标准方程的应用，中，为锐角，为直角，为钝角．
8. 若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 当点P不在x轴上时，的周长是6
B. 当点P不在x轴上时，面积的最大值为
C. 存在点P，使
D. 的取值范围是
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点位于上下顶点时，面积的最大即可判断选项B；当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大与比较即可判断选项C；当点为椭圆的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.
【详解】由椭圆方程可知，，从而．
对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确；
对于选项B：设点，因为，则．
因为，则面积的最大值为，故选项B正确；
对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大．
此时，，又，
则为正三角形，，
所以不存在点，使，故选项C错误；
对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时；
当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确．
故选：C
【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论
以椭圆上一点和焦点为顶点的中，若，则
（1）焦点三角形的周长为；
（2）当点为椭圆短轴一个端点时，为最大；
（3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为；
（4）.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 命题“”的否定是假命题
D. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，对和进行分类讨论即可判断；对于B，根据不等式的性质和充分必要条件的概念即可判断；对于C，根据易知命题“”的否定为真命题；对于D，对和进行分类讨论，结合充分必要条件的概念即可判断.
【详解】对于A，当时，恒成立，符合题意；
当时，则，解得.
综上，当时，不等式恒成立，则的取值范围是，故选项A正确；
对于B，若，当时可得或；当时可得，
即或或，
故“”是“”的充分不必要条件，选项B正确；
对于C，由于，
所以命题“”为假命题，其否定为真命题，故选项C错误；
对于D，当时，，
集合中只有一个元素，符合题意；
当时，若集合中只有一个元素，
则，解得
所以若集合中只有一个元素，则或.
故“集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件，选项D正确.
故选：ABD.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. ，
B. ，，
C. 若恰有2个零点，则
D. 若存在互不相等的实数，使得，则的最大值为25
【答案】BD
【解析】
【分析】由时函数值域判断AB；探讨函数的性质，结合直线与函数的图象交点情况判断CD.
【详解】对于A，函数的值域为R，A错误；
对于B，当时，，函数在上单调递增，
当时，，因此，，，B正确；
对于C，函数在上单调递减，函数值集合为，
在上单调递增，函数值集合为，
在上单调递增，函数值集合为R，
则当直线与函数的图象有两个交点时，或，C错误；
对于D，由选项C知，当直线与函数的图象有3个交点时，，
此时存在互不相等的实数，使得，不妨令，
则，，所以的最大值为25，D正确.
故选：BD
11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 若是上的增函数，则
B. 当时，函数有两个极值
C. 当时，函数有两零点
D. 当时，在点处的切线与只有唯一个公共点
【答案】AB
【解析】
【分析】对A：借助导数，令导函数大于等于零恒成立即可得；对B：借助导数研究函数的单调性即可得；对C：举出反例即可得；对D：计算出在点处的切线方程后，联立，解出方程即可得.
【详解】对A：，由是上的增函数，
则有恒成立，即，解得，故A正确；
对B：由，则当时，，
故有两个不等实根，设这两个根分别为且，
则当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
故函数有两个极值，故B正确；
对C：令，
对，有，若，则，
此时有两个非零不等实根，即有三个零点，故C错误；
对D：当时，，则，
，由，则在点处切线为，
令，即有，解得或，
故在点处的切线与有两个公共点，故D错误.
故选：AB.
三、填空题（共15分）
12. 若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据两圆外切半径之和等于圆心距即可求解.
【详解】两圆有三条公切线，则两圆外切，∴∴
故答案为：3
13. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
【答案】
【解析】
分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.
【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
14. 一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为______cm.
【答案】13
【解析】
【分析】结合圆台的图形，利用勾股定理即可求得母线的长.
【详解】如图，由题意可得，，，，过点A作，交OB于点C.在中，，，
∴.
故答案为13
【点睛】本题考查圆台的结构特征，考查圆台母线的求法，属于基础题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，用铁皮作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，容器的高为10cm，制作该容器需要多少面积的铁皮？（不计耗损，结果精确到整数）
【答案】需要的铁皮
【解析】
【分析】根据圆锥侧面积公式即可求解.
【详解】根据题意，圆锥的高，
又因为圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°
所以底面圆半径,母线长，
所以．
答：需要的铁皮．
16. 如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明.
【小问1详解】
如图，连接，∵分别是的中点，∴.
又∵平面，平面，∴直线平面.
【小问2详解】
连接SD，∵分别是 的中点，
∴.又∵平面，平面，
∴平面，由(1)知，平面，
且平面，平面，，
∴平面∥平面.
17. 在正四棱柱中，已知，，E为棱的中点．
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即证明面；
（2）首先证明平面平面，说明为所求角，再根据余弦定理求解.
【小问1详解】
连结AC交BD于点O，连结．
在正四棱柱中，面ABCD，
又∵ABCD，∴
∵四边形ABCD为正方形，∴
又∵，，面，∴面，又∵面
∴
【小问2详解】
由（1）知：面，又平面，∴平面平面，
又面面，
∴为直线与平面所成的平面角，
∵正四棱柱中，，，
分别在，，中，
解得，，
所以，
故与平面所成角的余弦值为．
18. 已知椭圆过点，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为椭圆的两焦点，若点在椭圆上，且，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据点在椭圆上求得方程，结合椭圆、的关系求出椭圆的方程；
（2）利用椭圆的定义及余弦定理可得，再由三角形面积公式求面积.
【小问1详解】
因为在上，则，可得，
所以椭圆的方程为，故长轴长为，离心率为，
设椭圆的方程为，
故中，且，则，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由题意，在中，而，
又，
所以，故，
所以.

19. 已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）直线与曲线交于两点，且中点为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由椭圆的定义求解，
（2）由点差法得直线斜率后求解，
【小问1详解】
由题可知，
则
由椭圆定义知的轨迹是以、为焦点，且长轴长为的椭圆，
∴，∴
∴的轨迹方程为：
【小问2详解】
设,∵ 都在椭圆上，
∴ ，，相减可得，
又中点为，∴ ，
∴ ，即直线的斜率为，
∴直线的方程为，即,
因为点在椭圆内，所以直线与椭圆相交于两点，满足条件.
故直线的方程为.