2024年中考数学几何模型归纳训练(通用版)专题32圆中的重要模型之隐圆模型(原卷版+解析)

这是一份2024年中考数学几何模型归纳训练(通用版)专题32圆中的重要模型之隐圆模型(原卷版+解析)，共55页。试卷主要包含了动点定长模型，定边对直角模型，定边对定角模型，四点共圆模型等内容，欢迎下载使用。
模型1、动点定长模型（圆的定义）
若P为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径

圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．
寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3B．C．D．2
例2．（2023·广东清远·统考三模）如图，在，，E为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为 ．
例3．（2022·北京市·九年级专题练习）如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则___，___．
例4．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，正方形ABCD中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为 ．
模型2、定边对直角模型（直角对直径）
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径

寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
例1．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．

例2．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，作于点F．当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为（ ）

A．B．C．D．
例3．（2022·内蒙古·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______．
例4．（2023·广东·九年级课时练习）如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．πB．πC．πD．2π
模型3、定边对定角模型（定弦定角模型）
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆

根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．
寻找隐圆技巧：AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．
1.（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ）

A．B．C．D．
例2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在边长为6的等边中，点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接交于点P，连接，在运动过程中，点P的运动路径长为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图所示，在扇形中，，，点是上的动点，以为边作正方形，当点从点移动至点时，求点经过的路径长．

例4．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C是优弧AB上的一动点，BD⊥BC交直线AC于点D，当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，点D所经过的路径长为 ．
模型4、四点共圆模型
四点共圆模型我们在上一专题中已经详细讲解了，本专题就不在赘述了。在此就针对几类考查频率高的模型作相应练习即可。
1）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．
条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角．

2）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．
条件：线段同侧张角相等．
例1．（2023·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，则∠A与∠C的数量关系为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形中，，若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
例3．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，菱形的边长为，，点为边的中点．点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，连接，过点作于点．当点到达点时，点也停止运动，则点的运动路径长是（ ）
A．B．12C．D．
例4．（2023.江苏九年级期末）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·河南周口·校考三模）在中，，M是外一动点，满足，若，，，则的长度为 ．
课后专项训练
1．（2023上·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，等边三角形ABC与等边三角形EFB共端点B，BC＝2，BF＝，△EFB绕点B旋转，∠BCF的最大度数（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
2．（2023上·安徽六安·九年级校考期末）如图，是等边三角形，，点是内一点，且，连接，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·广西·中考模拟）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，点在线段上，，以为圆心，为半径作，点在上运动，连接，以为一边作等边，连接，则长度的最小值为（ ）

A．B．C．D．
5．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为，，，以点C为圆心，3为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为（ ）
A．7B．10C．D．
6．（2023上·浙江丽水·九年级统考期中）如图，是半圆的直径，点在半圆上，是弧上的一个动点，连结，过点点作于点，连结，在点移动的过程中．（1） ；（2）的最小值是 ．
7．（2023上·山东日照·九年级校考期中）如图，中，，过点作的平行线为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ．
8．（2023上·江苏连云港·九年级校考期中）如图，在矩形中，，N是矩形内一点，，点M是边上的动点，则的最小值为 ．
9．（2023.湖北九年级期中）如图，在中，，，，点在以为直径的半圆上运动，由点运动到点，连接，点是的中点，则点经过的路径长为 ．
10．（2023·广东·九年级课时练习）如图，扇形AOB，且OB=4，∠AOB=90°，C为弧AB上任意一点，过C点作CD⊥OB于点D，设△ODC的内心为E，连接OE、CE，当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为 ________．
11．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点点不与点，重合，连接，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为 ．
12．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点是边上一动点，连结，以为直径的圆交于点，则长度的最小值是 ．

13．（2023·辽宁大连·九年级统考期末）如图，在中，，D为AB上一点，，E为AC上一点，，连接BE、CD交于点O，则的最大面积是 ．
14．（2021·广东·统考中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为 ．
15．（2023·浙江·一模）如图，在中，，．分别以、为斜边，向三角形外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，则和面积之和为 ；连接，则线段的最大值为 ．
16．（2022·广东·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为______．
17．（2023陕西中考模拟）如图，在等边中，，点P为AB上一动点，于点D，于点E，则DE的最小值为_____．
18．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图1，点是直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．(1)求的长．(2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值．(3)如图，过点作于，连接，求的最小值．

19．（2023下·广东广州·九年级校校考阶段练习）如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A，C重合），连接，过点A作直线的垂线段，垂足为点D，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．(1)求证：；(2)连接，延长交于点F，若的边长为2；①求的最小值；②求的最大值．
20．（2023·陕西延安·九年级统考期末）问题提出
（1）如图①，内接于半径为4的，是的中位线，则的最大值是_________；
问题探究（2）如图②，在等腰中，，，边上的中线，求等腰外接圆的半径；
问题解决（3）如图③，工人师傅现要在一张足够大的板材上剪裁出一个形状为的部件，已知的部件要满足，边上的中线，且边与边之和要最大，是否能剪裁出满足要求的三角形部件？若能，请求出的最大值；若不能，请说明理由．
专题32 圆中的重要模型之隐圆模型
隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、动点定长模型（圆的定义）
若P为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径

圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．
寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3B．C．D．2
【答案】A
【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为，
∴，∴，∴，
∵点M为中点，点A为中点，∴是的中位线，∴；
在中，，∴，
∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，
∵，∴的最小值为，∴的最小值为3，故选A．

【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
例2．（2023·广东清远·统考三模）如图，在，，E为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查翻折变换，最短路线问题，勾股定理，先确定点的运动路线，并确定最小时点所在位置，再求出的长度即可．确定点的运动路线是解题的关键．
【详解】解：∵沿折叠，得到，∴，
∴点F在以B为圆心6为半径的圆上，设以B为圆心6为半径的圆与交于点，
则，的最小值为的长；
在中，∵，，∴，
∴，∴的最小值为4，故答案为：4．
例3．（2022·北京市·九年级专题练习）如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则___，___．
【答案】 ；
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到、、在以为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：连接，
、分别是、的中垂线，，
、、在以为圆心，为半径的圆上，，，
，，，，
，，
又，．故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到、、在以为圆心，为半径的圆上是解题的关键．
例4．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，正方形ABCD中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于点，则，所以点在以为圆心，为半径的上运动，求出，则，由勾股定理得，由，所以当、、、四点共线时，的值最小，所以的最小值为．
【详解】解：取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于点，

正方形ABCD中，，E是的中点，，
点是的中点，点是的中点，，
点在以为圆心，为半径的上运动，
四边形是正方形，，，，
，，，，
当、、、四点共线时，的值最小，
的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查圆的有关性质的应用，正方形的性质，两点之间线段最短公理的应用，勾股定理，解题的关键是正确确定点的运动路径．
模型2、定边对直角模型（直角对直径）
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径

寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
例1．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．

【答案】/
【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可．
【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，

∵，∴，∴，
∵，∴，∴点F在以为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值，
∵，∴，，∴，
的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键．
例2．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，作于点F．当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，，，先由圆周角定理得到点F的运动轨迹是以为直径的圆上，且点O在圆上，进而得到当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为的长；根据勾股定理和锐角三角函数求得，，则所对的圆心角的度数为，利用弧长公式求得的长即可求解．
【详解】解：连接，，，

∵，∴，
∴点F的运动轨迹是以为直径的圆上，且点O在圆上，当点E在点B处时，，点F与O重合；
当点E在点D处时，∵以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，
∴即，点F与A重合，
∴当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为的长；
∵，，，∴，
∵，∴，，
∴，则所对的圆心角的度数为，
∴的长为，即点F所经过的路径长为，故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理、解直角三角形、弧长公式、坐标与图形等知识，正确得到点F的运动轨迹以及点F所经过的路径长为的长是解答的关键．
例3．（2022·内蒙古·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______．
【答案】
【分析】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点P的位置，进而求出点P的运动路径长．
【详解】解：为的直径，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，且在△ABC的内部，
如图，记以AB为直径的圆的圆心为，连接交于点，连接
∴当点三点共线时，即点P在点处时，CP有最小值，
∵∴ 在中，
∴∠∴∴两点距离最小时，点P的运动路径长为
【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点P的路径是解答本题的关键．
例4．（2023·广东·九年级课时练习）如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．πB．πC．πD．2π
【答案】A
【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，∴∠DOQ＝90°，
∴为⊙O的周长，∴线段BM的中点N运动的路径长为：π，故选：A．
在中，点、为、的中点，，，
，即，点在以为直径的半圆上，
，点的运动路径长为，故答案为：．
模型3、定边对定角模型（定弦定角模型）
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆

根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．
寻找隐圆技巧：AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．
1.（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，，得出的轨迹是圆，取点，则是的中位线，则求得的正弦的最大值即可求解，当与相切时，最大，则正弦值最大，据此即可求解．
【详解】解：如图所示，以为边向上作等边，过点作轴于点，则，
则的横坐标为，纵坐标为，∴，
取点，则是的中位线，∴，
∵，∴点在半径为的上运动，∵是的中位线，∴，
∴，当与相切时，最大，则正弦值最大，
在中，，
过点作轴，过点作于点，过点作于点， 则
∵与相切，∴，∴，
∴，∴，∴
设，,则∴∴
∴解得：∴
∴的最大值为，故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，等边三角形的性质。圆周角定理，得出点的轨迹是解题的关键．
例2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在边长为6的等边中，点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接交于点P，连接，在运动过程中，点P的运动路径长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点A作于A，作于，连接，交于，证明，得，再证明，可得，确定点的运动路径是以点为圆心，以为半径的弧，再由弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，过点A作于A，作于，连接，交于，
是等边三角形，，，，
，，，是的垂直平分线，，
在中，，，，
，，，
，，，
点的运动路径是以点为圆心，以为半径的弧，
点P的运动路径长为．故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积，动点的运动轨迹等知识，确定点的运动轨迹是解本题的关键．
例3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图所示，在扇形中，，，点是上的动点，以为边作正方形，当点从点移动至点时，求点经过的路径长．

【答案】点经过的路径长为．
【分析】如图，由此BO交⊙O于F，取的中点H，连接FH、HB、BD．易知△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90°，由∠FDB＝45°＝∠FHB，推出点D在⊙H上运动，轨迹是（图中红线），易知∠HFG＝∠HGF＝15°，推出∠FHG＝150°，推出∠GHB＝120°，易知HB＝3，利用弧长公式即可解决问题．
【详解】解：如图，由此BO交⊙O于F，取的中点H，连接FH、HB、BD．

易知△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90°，
∵∠FDB＝45°＝∠FHB，∴点D在⊙H上运动，轨迹是（图中红线），
易知∠HFG＝∠HGF＝15°，∴∠FHG＝150°，∴∠GHB＝120°，易知HB＝3，
∴点D的运动轨迹的长为＝2π．
【点睛】本题考查轨迹、弧长公式、圆的有关知识、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点D的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
例4．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C是优弧AB上的一动点，BD⊥BC交直线AC于点D，当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，点D所经过的路径长为 ．
【答案】π
【分析】如图，以AB为边向上作等边三角形△ABF，连接OA，OB，OF，DF，OF交AB于H．说明点D的运动轨迹是以F为圆心，FA为半径的圆，再利用弧长公式求解即可．
【详解】如图，以AB为边向上作等边三角形△ABF，连接OA，OB，OF，DF，OF交AB于H．
∵FA=FB，OA=OB，∴OF⊥AB，AH=BH=，∴sin∠BOH=，
∴∠BOH=∠AOH=60°，∴∠AOB=120°∴∠C=∠AOB=60°，
∵DB⊥BC，∴∠DBC=90°，∴∠CDB=30°，
∵∠AFB=60°，∴∠ADB=∠AFB，∴点D的运动轨迹是以F为圆心，FA为半径的圆，
∵当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，BC绕点B顺时针旋转了30°，
∴BD绕点B也旋转了30°，∴点D的轨迹所对的圆心角为60°，
∴运动路径的长，故答案为：．
【点睛】本题考查轨迹，垂径定理，等边三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
模型4、四点共圆模型
四点共圆模型我们在上一专题中已经详细讲解了，本专题就不在赘述了。在此就针对几类考查频率高的模型作相应练习即可。
1）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．
条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角．

2）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．
条件：线段同侧张角相等．
例1．（2023·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，则∠A与∠C的数量关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得四边形为的圆内接四边形，即可求解．
【详解】解∶∵O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，
∴点A，B，C，D到点O的距离相等，
∴点A，B，C，D在以O为圆心的圆上，即四边形为的圆内接四边形，
∴．故选：D
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
例2．（2023·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形中，，若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据题意得到点A，B，C，D四点共圆，然后证明出，进而得到，然后利用直角三角形的性质得到，进而求解即可．
【详解】如图所示，∵ ∴点A，B，C，D四点共圆，

∵∴∵∴∴
∵，∴ ∴∴．故选：D．
【点睛】此题考查了四点共圆，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
例3．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，菱形的边长为，，点为边的中点．点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，连接，过点作于点．当点到达点时，点也停止运动，则点的运动路径长是（ ）
A．B．12C．D．
【答案】D
【分析】如图，连接、、，设、交于点，交于点，连接，设中点为，连接、，根据菱形及等边三角形得性质可得，，可得出，可得必经过点，根据，可得点在以为直径的圆上，根据、的速度及菱形性质可得当点达到点时，点达到点，，可得点点运动路径长是的长，利用勾股定理可求出的长，根据圆周角定理可得，利用弧长公式即可得答案．
【详解】如图，连接、、，设、交于点，交于点，连接，设中点为，连接、，
∵菱形的边长为，，∴，是等边三角形，
∵点为边的中点，∴，，，
∵点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位，∴，
∵，∴，∴，
∴，，∴必经过点，
∵，，∴点在以为直径的圆上，且、、、四点共圆，
∵当点达到点时，点达到点，，∴点点运动路径长是的长，
∵，，∴，
∴，即点点运动路径长是．故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆的证明、勾股定理、圆周角定理及弧长公式，正确得出点的运动轨迹是解题关键．
例4．（2023.江苏九年级期末）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得A、B、C、P四点共圆，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值与PC有关，当PC最大时CQ即取最大值．
【详解】解：∵在中，，，，
∴A、B、C、P四点共圆，AB为圆的直径，AB=
∵∴∴△ABC∽△PQC
∴， ，即
∴当PC取得最大值时，CQ即为最大值
∴当PC=AB=5时，CQ取得最大值为故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．
例5．（2023·河南周口·校考三模）在中，，M是外一动点，满足，若，，，则的长度为 ．
【答案】/
【分析】过点B作交的延长线于点H，过点D作于点E，过点D作于点F，点A,M,B,C四点共圆，得，解直角三角形，，面积法求解，，得．
【详解】解析：过点B作交的延长线于点H，过点D作于点E，过点D作于点F，如图所示：
∵∴点A,M,B,C四点共圆
∵∴∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴
【点睛】本题考查四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，角平分线性质定理，添加辅助构造直角三角形是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023上·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，等边三角形ABC与等边三角形EFB共端点B，BC＝2，BF＝，△EFB绕点B旋转，∠BCF的最大度数（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【分析】由旋转的性质可得点F在以点B为圆心，BF长为半径的圆上，可得当CF'与⊙B相切时，∠BCF'的度数有最大值，由三边关系得△CBF′是含30度角的直角三角形，即可求解．
【详解】解：如图，
∵△EFB绕点B旋转，∴点F在以点B为圆心，BF长为半径的圆上，
∴当CF'与⊙B相切时，∠BCF'的度数有最大值，连接BF'，∴∠CF'B＝90°，
∵BC＝2，BF′＝BF＝，∴CF′＝＝1＝BC，
∴∠CBF′＝30°，∴∠BCF'＝60°，故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及直线与圆的位置关系，确定点F的运动轨迹是本题的关键．
2．（2023上·安徽六安·九年级校考期末）如图，是等边三角形，，点是内一点，且，连接，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质得到，，继而推出，可得点P在以为直径的圆上，得知当C，D，P三点共线时，最小，再利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，∴，，
∵，∴，
整理得：，则，∴点P在以为直径的圆上，
如图，设的中点为D，连接，即长度不变，

∴，∴当C，D，P三点共线时，最小，此时，
∵，∴，，
∴的最小值为，故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是根据已知条件推出，得到点P在以为直径的圆上．
3．（2023·广西·中考模拟）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．
∵AB=AC=AD=2，∴D，C在圆A上，
∵DC∥AB，∴弧DF=弧BC，∴DF=CB=1，BF=AB+AF=2AB=4，
∵FB是⊙A的直径，∴∠FDB=90°，∴BD= = 故选B
4．（2023上·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，点在线段上，，以为圆心，为半径作，点在上运动，连接，以为一边作等边，连接，则长度的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以为边，在的上面作等边，使，，连接，，，根据全等三家巷的性质得到，连接并延长，交于点，则的最小值为，过作于，根据勾股定理即可得到答案．
【详解】解：如图，以为边，在的上面作等边，使，，连接，，，
，
，，
在和中，，，
，点的运动轨迹为以点为圆心，2为半径的圆，
连接并延长，交于点，则的最小值为，过作于，
，，
，，
，长度的最小值为，故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
5．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为，，，以点C为圆心，3为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为（ ）
A．7B．10C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握垂径定理，勾股定理，两点间的距离公式，直角三角形斜边上中线的性质，三点共线等知识是解决问题的关键．
连接，，由垂径定理得出，由直角三角形的性质得出，进而得出点M在以O为圆心，以3为半径的上，得出当O、M、N三点共线时，有最小值，由，求出，进而求出，即线段的最小值为7．
【详解】解：如图1，连接，，

，，，O是的中点，
是的中点，，，，
∴点M在以O为圆心，以3为半径的上，如图2，当O、M、N三点共线时，有最小值，
，，，，∴线段的最小值为7，故选：A．
6．（2023上·浙江丽水·九年级统考期中）如图，是半圆的直径，点在半圆上，是弧上的一个动点，连结，过点点作于点，连结，在点移动的过程中．（1） ；（2）的最小值是 ．
【答案】 2 /
【分析】（1）连接，因为是直径，则，所以，所以；
（2）以为直径作圆，连接、，在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动，当、、共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，连接，是直径，，
，，．故答案为：2；

（2）如图，以为直径作圆，连接，，，
在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动，
在中，，，，
，，在中，，
，当、、共线时，的值最小，最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理、点与圆的位置关系，两点之间线段最短，解题的关键是确定点的运动路径是以为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题．
7．（2023上·山东日照·九年级校考期中）如图，中，，过点作的平行线为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题．
如图，连接．首先证明，由此推出点在以为圆心，为半径的上运动，连接交于，此时的值最小．
【详解】解：如图，连接．
∵，∴，∴，
∴，∴点在以为圆心，为半径的上运动，
连接交于，此时的值最小．此时与交点为．
∵∴所对圆周角为，∴，
∵是等腰三角形，，∴，
∵，∴，
故答案为：．
8．（2023上·江苏连云港·九年级校考期中）如图，在矩形中，，N是矩形内一点，，点M是边上的动点，则的最小值为 ．
【答案】9
【分析】根据矩形的性质得到，求得，得到点N在以为直径的半圆上运动，设半圆的圆心为O，作点B关于直线的对称点，连接交于M，交半圆于N，则此时的值最小，最小值，过O作于H，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴点N在以为直径的半圆上运动，设半圆的圆心为O，
作点B关于直线的对称点，连接交于M，交半圆于N，则此时的值最小，最小值，
过O作于H，则，，
∴，∴的最小值，故答案为：9．

【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
9．（2023.湖北九年级期中）如图，在中，，，，点在以为直径的半圆上运动，由点运动到点，连接，点是的中点，则点经过的路径长为 ．
解：，，，，
连接，，是直径，，即，
取，的中点和，连接，，，
在中，，为、的中点，，，
10．（2023·广东·九年级课时练习）如图，扇形AOB，且OB=4，∠AOB=90°，C为弧AB上任意一点，过C点作CD⊥OB于点D，设△ODC的内心为E，连接OE、CE，当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为 ________．
【答案】
【分析】根据题意先利用内心的性质求出∠OEC的度数和∠COE=∠BOE，易证△COE≌△BOE，利用全等三角形的性质得∠OEB=∠OEC=135°，从而确定出点E的运动轨迹，则劣弧OB的长即为所求．
【详解】解：∵CD⊥OB∴∠ODC=90°
∵点E是△ODC的内心∴∠OEC=90°+∠ODC=135°，∠COE=∠BOE
又∵OE=OE，OB=OC ∴△COE≌△BOE ∴∠OEB=∠OEC=135°
∴点E的运动轨迹为：以OB为弦，并且弦OB所对圆周角为135°的一段劣弧．
设经过点O、B、E三点的圆M如图所示，
则∠N=180°-∠OEB=45° ∴∠M=2∠N=90° ∴OM=BM=OB=2
∴劣弧OB的长∴内心E所经过的路径长为．故答案为：．
【点睛】本题考查弧长计算，熟练掌握圆的内心的性质和全等三角形的性质是解题的关键.
11．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点点不与点，重合，连接，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的最值，轴对称的性质，矩形的性质．连接，得到，进而得到点在以点为圆心，为半径的圆上，当，，三点共线时，线段的长度最小，求出此时的长度即可．解题的关键是确定点的运动轨迹．
【详解】解：连接，点和关于对称，，
在以圆心，为半径的圆上，当，，三点共线时，最短，
，，，故答案为：．
12．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点是边上一动点，连结，以为直径的圆交于点，则长度的最小值是 ．

【答案】/
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质，确定点的运动轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题是解答本题的关键．
连接，根据圆周角定理，由为直径，得到，由得到点在以为直径的⊙上，当点、、共线时，最小，利用勾股定理求出，进而求得线段长度的最小值．
【详解】解：如图，连接，

为直径，，，点在以为直径的⊙上，
⊙的半径为，当点、、共线时，最小，
在中，，，，
，即线段长度的最小值为．故答案为：．
13．（2023·辽宁大连·九年级统考期末）如图，在中，，D为AB上一点，，E为AC上一点，，连接BE、CD交于点O，则的最大面积是 ．
【答案】
【分析】过点作，根据平行线分线段成比例定理可得则，根据已知，可得，在以为直径的圆上，设圆心为，当时，的面积最大为：，即可求出此时的最大面积．
【详解】解：如图，过点作，则，
，，，，
，，，
，在以为直径的圆上，设圆心为，
当时，的面积最大为：，
此时的面积最大为：．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
14．（2021·广东·统考中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为．
【详解】如图： 以为半径作圆，过圆心作，
以为圆心为半径作圆，则点在圆上，
,
线段长度的最小值为: ．故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
15．（2023·浙江·一模）如图，在中，，．分别以、为斜边，向三角形外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，则和面积之和为 ；连接，则线段的最大值为 ．
【答案】 1
【分析】（1）设两等腰直角三角形的腰长，然后用勾股定理，三角形面积公式即可求解；
（2）取AB中点F，设的外接圆为，因为A、F为定点，又可知为定值，所以D为圆上一动点，可知为一定圆，设点C在上时，可以确定圆心O的位置，然后BD的最大值迎刃而解．
【详解】（1）、均是等腰直角三角形，设，，
，，即，=1．故答案为：1．
（2）如图1，取AB中点F，连接DF，CF，
则AF=CF=BF=1，又AD=CD，DF垂直平分AC，，
设的外接圆为，A、F为圆上两定点，点D为动点，又为定值，
为一位置与大小确定的定圆，当点C运动到上时（如图2），
，，，，
为等腰直角三角形，四边形AFCD为正方形，
的圆心O在此时正方形AFCD的中心处，
取AF中点G，连接OG，则OG=GF=，的半径r=OF=，
，当BD过点O时（如图3），BD最大，
此时BD的最大值为BO+r=+=．故答案为：．
【点睛】此题考查以直角三角形为背景的一道几何综合题，熟练运用勾股定理与三角形面积公式是解第一问的关键．第二问考查综合运用几何知识解决问题的能力，如何确定经过A、D、F三点的是一个定圆，且如何确定圆心O的位置，这是难点，而且难度较大．
16．（2022·广东·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为______．
【答案】
【分析】先判断出四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠ACD=∠ABD=30°，根据题意知点E在以FG为直径的⊙P上，连接PD交⊙P于点E，此时DE长度取得最小值，证明∠APD=90°，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠BAD=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ACD=∠ABD=30°，∴∠ADB=60°，∵AD=2，∴BD=2AD=4，
分别取AB、AD的中点F、G，并连接FG，EF，EG，
∵E是AC的中点，∴EF∥BC，EG∥CD，∴∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD，
∴∠AEF+∠AEG =∠ACB+∠ACD=90°，即∠FEG =90°，∴点E在以FG为直径的⊙P上，如图：
当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值，连接PA，
∵F、G分别是AB、AD的中点∴FG∥BD，FG=BD=2，∴∠ADB=∠AGF=60°，
∵PA=PG，∴△APG是等边三角形，∴∠APG=60°，
∵PG=GD=GA，且∠AGF=60°，∴∠GPD=∠GDP=30°，∴∠APD=90°，
∴PD=，∴DE长度的最小值为() ．故答案为：()．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，得到点E在以FG为直径的⊙P上是解题的关键．
17．（2023陕西中考模拟）如图，在等边中，，点P为AB上一动点，于点D，于点E，则DE的最小值为_____．
【答案】
【详解】如解图，，故四边形PDCE对角互补，故P、D、C、E四点共圆，，故，要使得DE最小，则要使圆的半径R最小，故直径PC最小，当时，PC最短为，故，故．
18．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图1，点是直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．(1)求的长．(2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值．(3)如图，过点作于，连接，求的最小值．

【答案】(1)8(2)的长度不发生变化；(3)
【分析】（1）连接，根据，，确定圆的半径为5，结合，据垂径定理，得到，得．（2）连接，据垂径定理，得到，利用三角形外角性质，圆周角定理，证明即可．（3）根据题意，点H的运动轨迹是以为直径的上的，当D、H、N三点共线时，取得最小值，计算即可．
【详解】（1）如图，连接，∵，，∴，∴圆的半径为5，

∵，∴，∴．
（2）的长度不发生变化；．理由如下：如图，连接，
∵直径，，，弦，，
∴，∴，
∵的角平分线交于点，∴，
∵，，
∴，∴，∴，故的长度不发生变化；．
（3）如图，连接，∵，
∴点H的运动轨迹是以为直径的上的，当D、H、N三点共线时，取得最小值，
连接，交于点M，故当H与M重合时，取得最小值，
∵，，，∴，
∴，过点N作于点F，则，∴，
∵，∴，，，
∴，∴，故最小值为．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形外角性质，直角所对的弦是直径，点圆最值，中位线定理，熟练掌握垂径定理，圆的最值性质是解题的关键．
19．（2023下·广东广州·九年级校校考阶段练习）如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A，C重合），连接，过点A作直线的垂线段，垂足为点D，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．(1)求证：；(2)连接，延长交于点F，若的边长为2；①求的最小值；②求的最大值．
【答案】(1)见解析(2)①，②2
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，，进而得出，即可求证，即可求证；
（2）①根据题意可得，则点D在以为直径的圆上运动，连接，与相交于点D，此时最小，求解即可；②过点C作，交的延长线于点G，通过证明得出点F是中点，再根据，得出点A，点F，点C，点E四点在以为直径的圆上，即可求解，当为直径时，取得最大值，即可求解．
【详解】（1）证明：∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，∴，，
∵为等边三角形，∴，，
∴，即，
在和中，，∴，∴．
（2）解：①∵，∴，∴点D在以为直径的圆上运动，
连接，与相交于点D，此时最小，
∵为等边三角形，为直径，∴，
根据勾股定理可得：，∴．

②如图，过点C作，交的延长线于点G，
∵，，∴，
∵，∴，由（1）可得，
∴，∴，
∴，∴，∴，且，
∴，∴，即点F是中点，
连接∵是等边三角形，∴，∴，
∴，∴点A，点F，点C，点E四点在以为直径的圆上
∴最大为直径，即最大值为2．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，直径所对的圆周角为直角，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
20．（2023·陕西延安·九年级统考期末）问题提出
（1）如图①，内接于半径为4的，是的中位线，则的最大值是_________；
问题探究（2）如图②，在等腰中，，，边上的中线，求等腰外接圆的半径；
问题解决（3）如图③，工人师傅现要在一张足够大的板材上剪裁出一个形状为的部件，已知的部件要满足，边上的中线，且边与边之和要最大，是否能剪裁出满足要求的三角形部件？若能，请求出的最大值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）4；（2）等腰外接圆的半径为4；（3）的最大值为
【分析】（1）利用三角形的中位线定理解决问题即可．
（2）由题意AD垂直平分线段BC，推出△ABC的外接圆的圆心在线段AD上，设圆心为O，连接OB，OC．由题意∠BOC=2∠BAC=90°，设OA=OB=OC=r，则BC=r，OD=BD=CD=r，根据，构建方程求出r即可．（3）延长AD到E，使得DE=AD，连接EC，延长AC到F，使得CF=CE，连接EF，证明∠F=60°，因为，推出AE=30，推出点F的运动轨迹是图中优弧AE，由题意，推出当AF是直径时，AB+AC的值最大，由此即可解决问题．
【详解】解：（1）∵是的中位线，∴MN=BC，
∵BC是⊙O的弦，且圆的半径为4，∴BC≤8，
∴BC是最大值为8，∴MN的最大值为4．故答案为：4；
（2）∵，是边上的中线，
∴垂直平分线段．∴的外接圆的圆心在线段上．
如图，设圆心为，连接，．∴，
设，则，，
∵，∴，解得．∴等腰外接圆的半径为4；

（3）如图，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接．
∵，，，∴．
∴，，∴，∴．
∵，∴是等边三角形．∴．
∵，∴．∴点的运动轨迹是解图中的优弧．
∵，∴当为直径时，的值最大，
此时．∴，∴．∴，即，
∴，∴．∴的最大值为．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了三角形的中位线定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．