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中考数学常见几何模型全归纳提分精练专题14圆中的重要几何模型-隐圆模型(原卷版+解析)
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这是一份中考数学常见几何模型全归纳提分精练专题14圆中的重要几何模型-隐圆模型(原卷版+解析)，共48页。试卷主要包含了动点定长模型，定边对直角模型，定边对定角模型，四点共圆模型等内容，欢迎下载使用。
模型1、动点定长模型（圆的定义）
若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径
圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．
寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
例1． (2023·四川中考真题）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（ ）
A．2B．2﹣2C．2+2D．2
例2． (2023·江苏连云港市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为________．
例3． (2023·北京市·九年级专题练习）如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则___，___．
例4． (2023·广东·汕头市一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．
模型2、定边对直角模型（直角对直径）
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径
寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
例1． (2023·湖北·武汉九年级阶段练习）如图，是的直径，，C为的三等分点（更靠近A点），点P是上一个动点，取弦的中点D，则线段的最大值为__________．
例2． (2023·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例3． (2023·内蒙古·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______．
模型3、定边对定角模型（定弦定角模型）
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆
根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．
寻找隐圆技巧：AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．
例1． (2023·广东·中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．
例2． (2023·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）
A．B．6C．D．
例3． (2023·广西贵港·中考真题）如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．的最小值为
模型4、四点共圆模型（对角互补模型与等弦对等角）
1）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．
条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角．
2）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．
条件：线段同侧张角相等．
例1． (2023·广东·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为______．
例2． (2023陕西中考模拟）如图，在等边中，，点P为AB上一动点，于点D，于点E，则DE的最小值为_____．
例3． (2023江苏九年级期末）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A．B．C．D．
课后专项训练
1． (2023·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．
2． (2023·湖北鄂州·中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ）
A．3B．C．D．
3． (2023·西藏中考真题）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把沿PE折叠，得到，连接CF．若AB＝10，BC＝12，则CF的最小值为_____．
4． (2023·北京·清华附中九年级阶段练习）如图，四边形中，，，则的度数为______．
5． (2023·河北·唐山九年级阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=26°，∠CAD=74°，则∠BCD=_______°，∠DBC_______°．
6． (2023·安徽蚌埠·一模）如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
7． (2023·成都市·九年级专题练习）如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
8． (2023·广东·九年级课时练习）如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．πB．πC．πD．2π
9． (2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）
A．2B．πC．2πD．π
10． (2023·山西·九年级课时练习）如图，在等腰Rt∆ABC中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）
A．B．2C．D．4
11． (2023·山东·烟台九年级期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是__________．
12． (2023·湖北·九年级期中）如图，中，，，若D是与点C在直线异侧的一个动点，且，则的最大值为__________________．
13． (2023·浙江·九年级专题练习）如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么___________________．
14． (2023·黑龙江·九年级阶段练习）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝_____．
15． (2023·四川成都·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝_____．
16． (2023·成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级阶段练习）如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为__________．
17． (2023·全国·九年级专题练习）如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______．
18． (2023·全国·九年级课时练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为_______．
19． (2023·江苏·九年级课时练习）如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为_________．
20． (2023·广东汕头·二模）如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为______．
21． (2023·重庆·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是 ________．
22． (2023·湖北·二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD．
（1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°；
（2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．①若AP＝2，求△APC的面积；
②若AP＝2BP，直接写出sin∠ACP的值为______．
23． (2023·四川眉山·一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．①证明是等边三角形；②若，求的长．
24． (2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，抛物线交x轴于点，，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，交直线l：于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．
专题14 圆中的重要几何模型-隐圆模型
隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见的有以下四种形式，动点定长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆（对角互补或等弦对等角），上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、动点定长模型（圆的定义）
若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径
圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．
寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
例1． (2023·四川中考真题）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（ ）
A．2B．2﹣2C．2+2D．2
【答案】B
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB＝4，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论．
【详解】解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，∴斜边AB＝4，
∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，
当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CM＝AB＝2，
∵PC＝2，∴PM＝CM﹣CP＝2﹣2，故选：B．
【点睛】本题考查线段最小值问题，涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离，解题的关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解．
例2． (2023·江苏连云港市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为________．
【答案】2
【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．
【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．
∵AC=CB，AM=OM，∴MC=OB=1，
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．
∵直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，
∴D（4，0），E（0，-3），∴OD=4，OE=3，∴，
∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴，∴，∴，
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值，故答案为2．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．
例3． (2023·北京市·九年级专题练习）如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则___，___．
【答案】 ；
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到、、在以为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：连接，
、分别是、的中垂线，，
、、在以为圆心，为半径的圆上，
，，
，，，，
，，
又，
．故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到、、在以为圆心，为半径的圆上是解题的关键．
例4． (2023·广东·汕头市一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．
【答案】##
【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可．
【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，
可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，
∴BF=BD－DF=，故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键．
模型2、定边对直角模型（直角对直径）
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径
寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
例1． (2023·湖北·武汉九年级阶段练习）如图，是的直径，，C为的三等分点（更靠近A点），点P是上一个动点，取弦的中点D，则线段的最大值为__________．
【答案】+1
【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OD，OC，
∵AD＝DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO＝90°，
∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，
∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，
在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK=，
∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故答案为：+1．
【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．
例2． (2023·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的园上，从而计算出答案．
【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形∴ ∵∴∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的园上 连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，∴∴ ∵故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
例3． (2023·内蒙古·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______．
【答案】
【分析】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点P的位置，进而求出点P的运动路径长．
【详解】解：为的直径，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，且在△ABC的内部，
如图，记以AB为直径的圆的圆心为，连接交于点，连接
∴当点三点共线时，即点P在点处时，CP有最小值，
∵∴ 在中，
∴∠∴∴两点距离最小时，点P的运动路径长为
【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点P的路径是解答本题的关键．
模型3、定边对定角模型（定弦定角模型）
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆
根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．
寻找隐圆技巧：AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．
例1． (2023·广东·中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．
【答案】
【分析】由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为．
【详解】如图： 以为半径作圆，过圆心作，
以为圆心为半径作圆，则点在圆上，
,
线段长度的最小值为: ． 故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
例2． (2023·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）
A．B．6C．D．
【答案】C
【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M、N作以点O为圆心，∠MON=90°的圆，则点P在所作的圆上，观察圆O所经过的格点，找出到点M距离最大的点即可求出．
【详解】作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，如图，
因为OQ为MN垂直平分线且OQ=MN，所以OQ=MQ=NQ，
∴∠OMQ=∠ONQ=45°，∴∠MON=90°，所以弦MN所对的圆O的圆周角为45°，
所以点P在圆O上，PM为圆O的弦，
通过图像可知，当点P在位置时，恰好过格点且经过圆心O，所以此时最大，等于圆O的直径，
∵BM＝4，BN＝2，∴，∴MQ=OQ=，
∴OM=，∴，故选 C．
【点睛】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键．
例3． (2023·广西贵港·中考真题）如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．的最小值为
【答案】D
【分析】先证明△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，得DF=CE，判断A项答案正确，由∠GCB+∠GBC=60゜，得∠BGC=120゜，判断B项答案正确，证△BEG△CEB得 ，即可判断C项答案正确，由，BC=1，得点G在以线段BC为弦的弧BC上，易得当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，由勾股定理求得AG=，即可判断D项错误．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，
∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，∴DF=CE，故A项答案正确，∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，∴∠GCB+∠GBC=60゜，
∴∠BGC=180゜-60゜=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B项答案正确，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，∴△BEG∽△CEB，
∴ ，∴，∵，∴，故C项答案正确，
∵，BC=1，点G在以线段BC为弦的弧BC上，
∴当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，如下图，
∵△ABC是等边三角形，BC=1，∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，
∴ 解得AG=，故D项错误，故应选：D
【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
模型4、四点共圆模型（对角互补模型与等弦对等角）
1）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．
条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角．
2）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．
条件：线段同侧张角相等．
例1． (2023·广东·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为______．
【答案】
【分析】先判断出四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠ACD=∠ABD=30°，根据题意知点E在以FG为直径的⊙P上，连接PD交⊙P于点E，此时DE长度取得最小值，证明∠APD=90°，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠BAD=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ACD=∠ABD=30°，∴∠ADB=60°，∵AD=2，∴BD=2AD=4，
分别取AB、AD的中点F、G，并连接FG，EF，EG，
∵E是AC的中点，∴EF∥BC，EG∥CD，∴∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD，
∴∠AEF+∠AEG =∠ACB+∠ACD=90°，即∠FEG =90°，∴点E在以FG为直径的⊙P上，如图：
当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值，连接PA，
∵F、G分别是AB、AD的中点∴FG∥BD，FG=BD=2，∴∠ADB=∠AGF=60°，
∵PA=PG，∴△APG是等边三角形，∴∠APG=60°，
∵PG=GD=GA，且∠AGF=60°，∴∠GPD=∠GDP=30°，∴∠APD=90°，
∴PD=，∴DE长度的最小值为() ．故答案为：()．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，得到点E在以FG为直径的⊙P上是解题的关键．
例2． (2023陕西中考模拟）如图，在等边中，，点P为AB上一动点，于点D，于点E，则DE的最小值为_____．
【答案】
【详解】如解图，，故四边形PDCE对角互补，故P、D、C、E四点共圆，，故，要使得DE最小，则要使圆的半径R最小，故直径PC最小，当时，PC最短为，故，故．
例3． (2023江苏九年级期末）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得A、B、C、P四点共圆，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值与PC有关，当PC最大时CQ即取最大值．
【详解】解：∵在中，，，，
∴A、B、C、P四点共圆，AB为圆的直径，AB=
∵∴∴△ABC∽△PQC
∴， ，即
∴当PC取得最大值时，CQ即为最大值
∴当PC=AB=5时，CQ取得最大值为故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．
课后专项训练
1． (2023·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．
【答案】 80 ##
【分析】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．
【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB =∠ECA，
在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（ SAS），∴∠EAC=∠DBC，
∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；设BF与AC相交于点H，如图：
∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，
∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四个点在同一个圆上，
∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，
即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，∴此时线段AF长度有最小值，
在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，
∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，
过点F作FG⊥DE于点G，∴DG=GE=，∴FE=DF==，
∴AF=AE-FE=4-，故答案为：80；4-．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
2． (2023·湖北鄂州·中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解．
【详解】解： 取中点O，=
点P的轨迹为以O为圆心，长为半径的圆弧上
由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短
点P是BO的中点在中，是等边三角形
在中，．
【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．
3． (2023·西藏中考真题）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把沿PE折叠，得到，连接CF．若AB＝10，BC＝12，则CF的最小值为_____．
【答案】8
【分析】点F在以E为圆心、EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时FC的值最小，根据勾股定理求出CE，再根据折叠的性质得到BE＝EF＝5即可．
【详解】如图所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的值最小，
根据折叠的性质，△EBP≌△EFP，∴EF⊥PF，EB＝EF，
∵E是AB边的中点，AB＝10，∴AE＝EF＝5，
∵AD＝BC＝12，∴CE＝＝＝13，
∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8．故答案为8．
【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，灵活应用相关知识是解答本题的关键．
4． (2023·北京·清华附中九年级阶段练习）如图，四边形中，，，则的度数为______．
【答案】36°##36度
【分析】根据题意可得三点在以为圆心为半径的圆上，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，
∵，∴三点在以为圆心为半径的圆上，
∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
5． (2023·河北·唐山九年级阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=26°，∠CAD=74°，则∠BCD=_______°，∠DBC_______°．
【答案】 130 37
【分析】根据题意可得点B，C，D在以A为圆心的圆上，根据圆周角定理求得∠BDC，∠DBC，根据三角形内角和定理求得∠BCD．
【详解】∵AB=AC=AD，∴点B，C，D在以A为圆心的圆上，
∵∠BAC=26°∴∠BDC=∠BAC=13°， ∵∠CAD=74°，∴∠DBC=∠CAD=37°．
∴∠BCD=180∠DBC∠BDC=180°13°37°=130° 故答案为：130，37
【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．
6． (2023·安徽蚌埠·一模）如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】结合题意推导得，取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得，通过线段和差计算即可得到答案．
【详解】，，
，，，
取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP，
点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P，当点O、点P、点C三点共线时，PC最小
在中，，，，
，
最小值为故选：D．
【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
7． (2023·成都市·九年级专题练习）如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′．
【详解】如图，
由题意知，，在以为直径的的上（不含点、可含点，
最短时，即为连接与的交点（图中点点），
在中，，，则．
，长度的最小值，故选：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
8． (2023·广东·九年级课时练习）如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．πB．πC．πD．2π
【答案】A
【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，∴∠DOQ＝90°，
∴为⊙O的周长，∴线段BM的中点N运动的路径长为：π，故选：A．
9． (2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）
A．2B．πC．2πD．π
【答案】D
【详解】解：如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，
在△ADE和△CDF中 ，
∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE＝∠DCF，
∵∠AED＝∠CEG，∴∠ADE＝∠CGE＝90°，
∴A、C、G、D四点共圆，∴点G的运动轨迹为弧CD，
∵AB＝4，ABAC，∴AC＝2，∴OA＝OC，
∵DA＝DC，OA＝OC，∴DO⊥AC，∴∠DOC＝90°，
∴点G的运动轨迹的长为π．故选：D．
10． (2023·山西·九年级课时练习）如图，在等腰Rt∆ABC中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【详解】分析：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=BC=8，则OC=AB=4，OP=AB=4，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=4，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．
详解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∴AB=BC=8，∴OC=AB=4，OP=AB=4．
∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=4，∴M点运动的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长=•4π=2π． 故选B．
点睛：本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆．
11． (2023·山东·烟台九年级期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是__________．
【答案】
【分析】根据图形的特点证明∠BDC=∠BAO，故可出sin∠BDC的值．
【详解】∵BA⊥AD，BC⊥CD∴∠BAD=∠BCD=90°
∴A、B、C、D四点共圆∴∠BDA=∠BCA
∵∠BDA+∠DBA=∠BCA +∠CBO=90°∴∠DBA=∠CBO
∴∠DBA-∠CBA=∠CBO-∠CBA即∠DBC=∠ABO
又∠DBC+∠BDC=∠ABO+∠BAO=90°∴∠BDC=∠BAO
∵点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），
∴BO=4，OA=3，AB=∴sin∠BAO=
∴sin∠BDC= 故答案为：．
【点睛】此题主要考查三角函数的求解，解题的关键是熟知四点共圆的性质、勾股定理及三角函数的求解方法．
12． (2023·湖北·九年级期中）如图，中，，，若D是与点C在直线异侧的一个动点，且，则的最大值为__________________．
【答案】##
【分析】以为底边，在的下方作等腰三角形，则，根据，点与圆的位置关系可知，点D在以O为圆心，6为半径的圆上运动，当过圆心时，最大，根据，，利用勾股定理可求出的长，即可得．
【详解】解：如图所示，以为底边，在的下方作等腰三角形，
则，∵，
∴点D在以O为圆心，6为半径的圆上运动，当过圆心时，最大，
∵，，∴，
∴的最大值为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
13． (2023·浙江·九年级专题练习）如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么___________________．
【答案】13
【分析】先证明A、C、B、D四点共圆，得到∠DCB与∠BAD的是同弧所对的圆周角的关系，得到∠DCB的度数，再证∠ECB=45°，得出结论．
【详解】解：∵AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，E是AB中点，
∴AE=EB=EC=ED，∴A、C、B、D在以E为圆心的圆上，
∵∠BAD=32°，∴∠DCB=∠BAD=32°，
又∵AC=BC，E是Rt△ABC的中点，∴∠ECB=45°，
∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=13°．故答案为：13．
【点睛】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形性质、圆周角定理和四点共圆问题，综合性较强．
14． (2023·黑龙江·九年级阶段练习）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝_____．
【答案】17
【分析】用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，得到∠AFE=60°，延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT，得到△AFG是等边三角形，证明A、B、D、T四点共圆，设法证明△FAT≌△GAE（ASA），即可求得答案．
【详解】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，在△ABD和△BCE中，
，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；
延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT，
∵∠AFE=60°，∴△AFG是等边三角形，∴AG=AF=FG=50，∠AGF=∠FAG=60°，
∵∠BAF+∠EAF =∠CAG+∠EAF =60°，∴∠BAF=∠CAG，∵DT=CE，∴∠DBT=∠BTD，
∵∠BAD=∠CBE，∴∠BAD=∠BTD，∴A、B、D、T四点共圆，
∴∠BAD=∠DAT，∴∠FAT=∠GAE， 在△FAT和△GAE中，
，∴△FAT≌△GAE（ASA），∴FT= GE，
∵FG=50，TE=16，∴FT=(FG- TE)=17．故答案为：17．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等，作出辅助线，判断出△FAT≌△GAE是解本题的关键．
15． (2023·四川成都·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝_____．
【答案】
【分析】作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，根据三角形中位线定理分别求出OM、ON，根据勾股定理求出OE，根据相似三角形的性质求出FN，得到FC的长，证明△GFC∽△GOE，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】解：作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=90°，∠ABC=90°，∴OM∥AD，ON∥AB，
∵点O为AC的中点∴OM=AD=3，ON=AB=4.5，CM=4.5，CN=3，
∵CE=1.5，∴ME=CM+CE=6在Rt△OME中，OE==3，
∵∠MON=90°，∠EOF=90°，∴∠MOE+∠NOE=∠NOF+∠NOE=90°，
∴∠MOE=∠NOF，又∠OME=∠ONF=90°，∴△OME∽△ONF，
∴，即，解得，FN=9，∴FC=FN+NC=12，
∵∠FOE=∠FCE=90°，∴F、O、C、E四点共圆，
∴∠GFC=∠GOE，又∠G=∠G，∴△GFC∽△GOE，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
16． (2023·成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级阶段练习）如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为__________．
【答案】2
【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC=120°，根据定弦定角，可得点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，连接MA交于E′，此时AE′的值最小．
【详解】解：如图，连接CE．
∵AP∥BC，∴∠PAC=∠ACB=60°，∴∠CEP=∠CAP=60°，∴∠BEC=120°，
,为定值，则点E的运动轨迹为一段圆弧
如图，点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，过点作
∴中优弧度数为=240°，则劣弧度数为120°
∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°，
∵∠BCM=30°，BC=，
∴MB=MC=8，∴连接MA交于E′，此时AE′的值最小．
∵∠ACB=60°，∠BCO=30°，∴∠ACM=90°，
∴MA==，∴AE的最小值为=．故答案为：2
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题．
17． (2023·全国·九年级专题练习）如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______．
【答案】
【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得取最小值时，点H的位置，然后利用圆周角定理、线段的和差即可得．
【详解】如图，设AD的中点为点E，则
由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上
由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时取得最小值，连接BD
AB为半圆O的直径
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，依据题意，确定点H的运动轨迹，从而得出BH取最小值时，点H的位置是解题关键．
18． (2023·全国·九年级课时练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为_______．
【答案】
【详解】解：∵AQ⊥CQ，∴∠AQC＝90°，
∴当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长，
在Rt△ABC中，∵AB＝4，∠B＝30°，
∴ACAB＝2，∴点Q的运动路径长为π
19． (2023·江苏·九年级课时练习）如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为_________．
【答案】
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是，如图所示：连接OA、OC，作OD⊥AC于D，则AD＝CDAC＝1，
∵所对的圆心角＝2∠APC＝240°，∴劣弧AC所对的圆心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，
∵OA＝OC，∴∠OAD＝30°，
∵OD⊥AC，∴ODAD，OA＝2OD，
∴的长为π；故答案为：π．
20． (2023·广东汕头·二模）如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为______．
【答案】
【分析】根据，可得到点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，连接OC交圆O于点 ，从而得到当点E位于点 位置时，线段CE取最小值，再利用勾股定理即可求解
【详解】解：∵，
∴点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，如图所示，
连接OC交圆O于点 ，∴当点E位于点 位置时，线段CE取最小值，
在矩形中，∠ABC=90°，∵，∴OA=OB= =1，
∵，∴ ，
∴ 故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的基本性质及矩形的性质，勾股定理，根据，可得到点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆是解题的关键
21． (2023·重庆·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是 ________．
【答案】
【分析】如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．证明OE＝AC＝1，推出点E的在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大．
【详解】解：如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．
∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝2，
∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∵AO＝OC＝1，∴OE＝AC＝1，
∴点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，∴当FT与⊙O相切时，CF的值最大，
∵直线CF，直线EF都是⊙O的切线，∴FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°，∴∠CAE＝∠FCE，
∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°，∴∠FEC＝∠EAT，∴∠CAE＝∠EAT＝30°，
∵CF＝FE，OC＝OE，∴OF⊥EC，∵AD⊥CE，∵OF∥AD，∴∠COF＝∠CAD＝30°，
∴CF＝OC•tan30°＝，∴CF的最大值为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查直角三角形30°角的性质，直线与圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质等知识，解决本题的关键是发现点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大．
22． (2023·湖北·二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD．
（1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°；
（2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．①若AP＝2，求△APC的面积；
②若AP＝2BP，直接写出sin∠ACP的值为______．
【答案】（1）证明见解析；（2）①△APC的面积＝1；②．
【分析】（1）由题意可证点A，点B，点E，点C四点共圆，可得∠AEC＝∠ABC＝45°；
（2）①通过证明△APB∽△CEB，可求CE＝＝，由等腰直角三角形的性质可求CF＝1，即可求解；
②过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F，过点P作PH⊥AC于H，设AP＝2a，则BP＝a，可得CE＝＝a，CF＝EF＝a，BE＝PE＝a，由勾股定理可求AC2，CP2，利用面积法可求PH2，即可求解．
【详解】证明：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ABC＝∠CAB＝45°，AB＝BC，
∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°＝∠ACB，∴点A，点B，点E，点C四点共圆，∴∠AEC＝∠ABC＝45°；
（2）①如图2，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F，
∵∠BPD＝45°，BE⊥AD，∴∠PBE＝45°＝∠ABC，∴∠ABP＝∠CBE，
∵∠AEB＝90°＝∠ACB，∴点A，点B，点E，点C四点共圆，
∴∠BAE＝∠BCE，∠AEC＝∠ABC＝45°，∴△APB∽△CEB∴CE＝＝，
∵CF⊥AD，∠AEC＝45°，∴∠FCE＝∠CEF＝45°，
∴CF＝EF＝CE＝1，∴△APC的面积＝×AP×CF＝1；
②如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F，过点P作PH⊥AC于H，
设AP＝2a，则BP＝a 由①可知，CE＝＝a，CF＝EF＝a，
∵BP＝a，∠BPE＝45°，∠BEP＝90°，∴BE＝PE＝a，
∴AF＝AE﹣EF＝2a+a﹣a＝a+a，PF＝a﹣a，
∴CP2＝CF2+PF2＝a2+（a﹣a）2＝a2﹣a2，
AC2＝AF2+CF2＝a2+（a+a）2＝a2+a2，
∵S△ACP＝×AC×PH＝×AP×CF，∴（AC•PH）2＝（AP•CF）2，∴PH2＝a2，
∵（sin∠ACP）2＝＝＝，∴sin∠ACP＝，故答案为：．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了四点共圆，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
23． (2023·四川眉山·一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．
①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．①证明是等边三角形；②若，求的长．
【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：；拓展延伸：①详见解析；②
【分析】迁移应用：①如图2中，只要证明，即可根据解决问题；
②结论：．由，可知，在中，，由，，推出，由，即可解决问题；
拓展延伸：①如图3中，作于，连接．由，，推出、、、四点共圆，推出，推出，推出是等边三角形；
②由，，推出，，在中，由，可得，由此即可解决问题．
【详解】迁移应用：①证明：如图2
∵，∴，
在和中，，∴，
②解：结论：．理由：如图中，作于．
∵，∴，在中，，
∵，，∴，∴；
拓展延伸：①证明：如图3中，连接，
∵四边形是菱形，，∴是等边三角形，∴，
∵E、C关于对称，∴，∴A、D、E、C四点共圆，
∴，∴，∴是等边三角形；
②解：作于H，∵，∴，
在中，∵，∴，∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
24． (2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，抛物线交x轴于点，，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，交直线l：于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）运用待定系数法将，代入，即可求得答案；
（2）利用配方法可求得抛物线顶点坐标，由得，再根据与的面积相等，可得，故点F分别是AP、ED的中点，设，，结合中点坐标公式建立方程求解即可；
（3）根据题意，分别求出t的最大值和最小值：①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角，以为圆心，为半径作，交抛物线对称轴于点，过点作轴于点H，运用勾股定理即可求得答案，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作交抛物线对称轴于点M，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，运用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：（1）抛物线交x轴于点，，
将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：，解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）如图，
D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：，，
交直线l：于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，
，设，，
又的面积为，的面积为，，，
，，即点F分别是AP、ED的中点，
又，，，，
由中点坐标公式得：，
解得：（与“”不符，应舍去），，，，；
（3）①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，
以OB为斜边在第一象限内作等腰直角，则，，
以为圆心，为半径作，交抛物线对称轴于点，
过点作轴于点H，则，，，
，，
②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，
连接BC，以O为圆心，OB为半径作交抛物线对称轴于点M，
，经过点C，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，
则，，，，，
综上所述，．
【点睛】此题属于二次函数综合题，考查代数计算问题，涉及勾股定理，三角形全等，二元一次方程和一元二次方程的解及圆的相关知识，属于压轴题类型．
模型1、动点定长模型（圆的定义）
若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径
圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．
寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
例1． (2023·四川中考真题）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（ ）
A．2B．2﹣2C．2+2D．2
例2． (2023·江苏连云港市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为________．
例3． (2023·北京市·九年级专题练习）如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则___，___．
例4． (2023·广东·汕头市一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．
模型2、定边对直角模型（直角对直径）
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径
寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
例1． (2023·湖北·武汉九年级阶段练习）如图，是的直径，，C为的三等分点（更靠近A点），点P是上一个动点，取弦的中点D，则线段的最大值为__________．
例2． (2023·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例3． (2023·内蒙古·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______．
模型3、定边对定角模型（定弦定角模型）
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆
根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．
寻找隐圆技巧：AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．
例1． (2023·广东·中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．
例2． (2023·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）
A．B．6C．D．
例3． (2023·广西贵港·中考真题）如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．的最小值为
模型4、四点共圆模型（对角互补模型与等弦对等角）
1）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．
条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角．
2）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．
条件：线段同侧张角相等．
例1． (2023·广东·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为______．
例2． (2023陕西中考模拟）如图，在等边中，，点P为AB上一动点，于点D，于点E，则DE的最小值为_____．
例3． (2023江苏九年级期末）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A．B．C．D．
课后专项训练
1． (2023·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．
2． (2023·湖北鄂州·中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ）
A．3B．C．D．
3． (2023·西藏中考真题）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把沿PE折叠，得到，连接CF．若AB＝10，BC＝12，则CF的最小值为_____．
4． (2023·北京·清华附中九年级阶段练习）如图，四边形中，，，则的度数为______．
5． (2023·河北·唐山九年级阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=26°，∠CAD=74°，则∠BCD=_______°，∠DBC_______°．
6． (2023·安徽蚌埠·一模）如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
7． (2023·成都市·九年级专题练习）如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
8． (2023·广东·九年级课时练习）如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．πB．πC．πD．2π
9． (2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）
A．2B．πC．2πD．π
10． (2023·山西·九年级课时练习）如图，在等腰Rt∆ABC中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）
A．B．2C．D．4
11． (2023·山东·烟台九年级期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是__________．
12． (2023·湖北·九年级期中）如图，中，，，若D是与点C在直线异侧的一个动点，且，则的最大值为__________________．
13． (2023·浙江·九年级专题练习）如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么___________________．
14． (2023·黑龙江·九年级阶段练习）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝_____．
15． (2023·四川成都·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝_____．
16． (2023·成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级阶段练习）如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为__________．
17． (2023·全国·九年级专题练习）如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______．
18． (2023·全国·九年级课时练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为_______．
19． (2023·江苏·九年级课时练习）如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为_________．
20． (2023·广东汕头·二模）如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为______．
21． (2023·重庆·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是 ________．
22． (2023·湖北·二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD．
（1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°；
（2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．①若AP＝2，求△APC的面积；
②若AP＝2BP，直接写出sin∠ACP的值为______．
23． (2023·四川眉山·一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．①证明是等边三角形；②若，求的长．
24． (2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，抛物线交x轴于点，，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，交直线l：于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．
专题14 圆中的重要几何模型-隐圆模型
隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见的有以下四种形式，动点定长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆（对角互补或等弦对等角），上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、动点定长模型（圆的定义）
若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径
圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．
寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
例1． (2023·四川中考真题）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（ ）
A．2B．2﹣2C．2+2D．2
【答案】B
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB＝4，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论．
【详解】解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，∴斜边AB＝4，
∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，
当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CM＝AB＝2，
∵PC＝2，∴PM＝CM﹣CP＝2﹣2，故选：B．
【点睛】本题考查线段最小值问题，涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离，解题的关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解．
例2． (2023·江苏连云港市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为________．
【答案】2
【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．
【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．
∵AC=CB，AM=OM，∴MC=OB=1，
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．
∵直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，
∴D（4，0），E（0，-3），∴OD=4，OE=3，∴，
∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴，∴，∴，
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值，故答案为2．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．
例3． (2023·北京市·九年级专题练习）如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则___，___．
【答案】 ；
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到、、在以为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：连接，
、分别是、的中垂线，，
、、在以为圆心，为半径的圆上，
，，
，，，，
，，
又，
．故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到、、在以为圆心，为半径的圆上是解题的关键．
例4． (2023·广东·汕头市一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．
【答案】##
【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可．
【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，
可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，
∴BF=BD－DF=，故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键．
模型2、定边对直角模型（直角对直径）
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径
寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
例1． (2023·湖北·武汉九年级阶段练习）如图，是的直径，，C为的三等分点（更靠近A点），点P是上一个动点，取弦的中点D，则线段的最大值为__________．
【答案】+1
【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OD，OC，
∵AD＝DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO＝90°，
∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，
∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，
在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK=，
∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故答案为：+1．
【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．
例2． (2023·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的园上，从而计算出答案．
【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形∴ ∵∴∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的园上 连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，∴∴ ∵故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
例3． (2023·内蒙古·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______．
【答案】
【分析】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点P的位置，进而求出点P的运动路径长．
【详解】解：为的直径，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，且在△ABC的内部，
如图，记以AB为直径的圆的圆心为，连接交于点，连接
∴当点三点共线时，即点P在点处时，CP有最小值，
∵∴ 在中，
∴∠∴∴两点距离最小时，点P的运动路径长为
【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点P的路径是解答本题的关键．
模型3、定边对定角模型（定弦定角模型）
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆
根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．
寻找隐圆技巧：AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．
例1． (2023·广东·中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．
【答案】
【分析】由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为．
【详解】如图： 以为半径作圆，过圆心作，
以为圆心为半径作圆，则点在圆上，
,
线段长度的最小值为: ． 故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
例2． (2023·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）
A．B．6C．D．
【答案】C
【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M、N作以点O为圆心，∠MON=90°的圆，则点P在所作的圆上，观察圆O所经过的格点，找出到点M距离最大的点即可求出．
【详解】作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，如图，
因为OQ为MN垂直平分线且OQ=MN，所以OQ=MQ=NQ，
∴∠OMQ=∠ONQ=45°，∴∠MON=90°，所以弦MN所对的圆O的圆周角为45°，
所以点P在圆O上，PM为圆O的弦，
通过图像可知，当点P在位置时，恰好过格点且经过圆心O，所以此时最大，等于圆O的直径，
∵BM＝4，BN＝2，∴，∴MQ=OQ=，
∴OM=，∴，故选 C．
【点睛】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键．
例3． (2023·广西贵港·中考真题）如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．的最小值为
【答案】D
【分析】先证明△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，得DF=CE，判断A项答案正确，由∠GCB+∠GBC=60゜，得∠BGC=120゜，判断B项答案正确，证△BEG△CEB得 ，即可判断C项答案正确，由，BC=1，得点G在以线段BC为弦的弧BC上，易得当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，由勾股定理求得AG=，即可判断D项错误．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，
∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，∴DF=CE，故A项答案正确，∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，∴∠GCB+∠GBC=60゜，
∴∠BGC=180゜-60゜=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B项答案正确，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，∴△BEG∽△CEB，
∴ ，∴，∵，∴，故C项答案正确，
∵，BC=1，点G在以线段BC为弦的弧BC上，
∴当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，如下图，
∵△ABC是等边三角形，BC=1，∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，
∴ 解得AG=，故D项错误，故应选：D
【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
模型4、四点共圆模型（对角互补模型与等弦对等角）
1）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．
条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角．
2）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．
条件：线段同侧张角相等．
例1． (2023·广东·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为______．
【答案】
【分析】先判断出四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠ACD=∠ABD=30°，根据题意知点E在以FG为直径的⊙P上，连接PD交⊙P于点E，此时DE长度取得最小值，证明∠APD=90°，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠BAD=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ACD=∠ABD=30°，∴∠ADB=60°，∵AD=2，∴BD=2AD=4，
分别取AB、AD的中点F、G，并连接FG，EF，EG，
∵E是AC的中点，∴EF∥BC，EG∥CD，∴∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD，
∴∠AEF+∠AEG =∠ACB+∠ACD=90°，即∠FEG =90°，∴点E在以FG为直径的⊙P上，如图：
当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值，连接PA，
∵F、G分别是AB、AD的中点∴FG∥BD，FG=BD=2，∴∠ADB=∠AGF=60°，
∵PA=PG，∴△APG是等边三角形，∴∠APG=60°，
∵PG=GD=GA，且∠AGF=60°，∴∠GPD=∠GDP=30°，∴∠APD=90°，
∴PD=，∴DE长度的最小值为() ．故答案为：()．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，得到点E在以FG为直径的⊙P上是解题的关键．
例2． (2023陕西中考模拟）如图，在等边中，，点P为AB上一动点，于点D，于点E，则DE的最小值为_____．
【答案】
【详解】如解图，，故四边形PDCE对角互补，故P、D、C、E四点共圆，，故，要使得DE最小，则要使圆的半径R最小，故直径PC最小，当时，PC最短为，故，故．
例3． (2023江苏九年级期末）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得A、B、C、P四点共圆，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值与PC有关，当PC最大时CQ即取最大值．
【详解】解：∵在中，，，，
∴A、B、C、P四点共圆，AB为圆的直径，AB=
∵∴∴△ABC∽△PQC
∴， ，即
∴当PC取得最大值时，CQ即为最大值
∴当PC=AB=5时，CQ取得最大值为故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．
课后专项训练
1． (2023·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．
【答案】 80 ##
【分析】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．
【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB =∠ECA，
在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（ SAS），∴∠EAC=∠DBC，
∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；设BF与AC相交于点H，如图：
∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，
∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四个点在同一个圆上，
∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，
即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，∴此时线段AF长度有最小值，
在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，
∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，
过点F作FG⊥DE于点G，∴DG=GE=，∴FE=DF==，
∴AF=AE-FE=4-，故答案为：80；4-．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
2． (2023·湖北鄂州·中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解．
【详解】解： 取中点O，=
点P的轨迹为以O为圆心，长为半径的圆弧上
由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短
点P是BO的中点在中，是等边三角形
在中，．
【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．
3． (2023·西藏中考真题）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把沿PE折叠，得到，连接CF．若AB＝10，BC＝12，则CF的最小值为_____．
【答案】8
【分析】点F在以E为圆心、EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时FC的值最小，根据勾股定理求出CE，再根据折叠的性质得到BE＝EF＝5即可．
【详解】如图所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的值最小，
根据折叠的性质，△EBP≌△EFP，∴EF⊥PF，EB＝EF，
∵E是AB边的中点，AB＝10，∴AE＝EF＝5，
∵AD＝BC＝12，∴CE＝＝＝13，
∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8．故答案为8．
【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，灵活应用相关知识是解答本题的关键．
4． (2023·北京·清华附中九年级阶段练习）如图，四边形中，，，则的度数为______．
【答案】36°##36度
【分析】根据题意可得三点在以为圆心为半径的圆上，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，
∵，∴三点在以为圆心为半径的圆上，
∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
5． (2023·河北·唐山九年级阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=26°，∠CAD=74°，则∠BCD=_______°，∠DBC_______°．
【答案】 130 37
【分析】根据题意可得点B，C，D在以A为圆心的圆上，根据圆周角定理求得∠BDC，∠DBC，根据三角形内角和定理求得∠BCD．
【详解】∵AB=AC=AD，∴点B，C，D在以A为圆心的圆上，
∵∠BAC=26°∴∠BDC=∠BAC=13°， ∵∠CAD=74°，∴∠DBC=∠CAD=37°．
∴∠BCD=180∠DBC∠BDC=180°13°37°=130° 故答案为：130，37
【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．
6． (2023·安徽蚌埠·一模）如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】结合题意推导得，取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得，通过线段和差计算即可得到答案．
【详解】，，
，，，
取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP，
点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P，当点O、点P、点C三点共线时，PC最小
在中，，，，
，
最小值为故选：D．
【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
7． (2023·成都市·九年级专题练习）如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′．
【详解】如图，
由题意知，，在以为直径的的上（不含点、可含点，
最短时，即为连接与的交点（图中点点），
在中，，，则．
，长度的最小值，故选：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
8． (2023·广东·九年级课时练习）如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．πB．πC．πD．2π
【答案】A
【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，∴∠DOQ＝90°，
∴为⊙O的周长，∴线段BM的中点N运动的路径长为：π，故选：A．
9． (2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）
A．2B．πC．2πD．π
【答案】D
【详解】解：如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，
在△ADE和△CDF中 ，
∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE＝∠DCF，
∵∠AED＝∠CEG，∴∠ADE＝∠CGE＝90°，
∴A、C、G、D四点共圆，∴点G的运动轨迹为弧CD，
∵AB＝4，ABAC，∴AC＝2，∴OA＝OC，
∵DA＝DC，OA＝OC，∴DO⊥AC，∴∠DOC＝90°，
∴点G的运动轨迹的长为π．故选：D．
10． (2023·山西·九年级课时练习）如图，在等腰Rt∆ABC中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【详解】分析：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=BC=8，则OC=AB=4，OP=AB=4，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=4，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．
详解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∴AB=BC=8，∴OC=AB=4，OP=AB=4．
∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=4，∴M点运动的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长=•4π=2π． 故选B．
点睛：本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆．
11． (2023·山东·烟台九年级期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是__________．
【答案】
【分析】根据图形的特点证明∠BDC=∠BAO，故可出sin∠BDC的值．
【详解】∵BA⊥AD，BC⊥CD∴∠BAD=∠BCD=90°
∴A、B、C、D四点共圆∴∠BDA=∠BCA
∵∠BDA+∠DBA=∠BCA +∠CBO=90°∴∠DBA=∠CBO
∴∠DBA-∠CBA=∠CBO-∠CBA即∠DBC=∠ABO
又∠DBC+∠BDC=∠ABO+∠BAO=90°∴∠BDC=∠BAO
∵点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），
∴BO=4，OA=3，AB=∴sin∠BAO=
∴sin∠BDC= 故答案为：．
【点睛】此题主要考查三角函数的求解，解题的关键是熟知四点共圆的性质、勾股定理及三角函数的求解方法．
12． (2023·湖北·九年级期中）如图，中，，，若D是与点C在直线异侧的一个动点，且，则的最大值为__________________．
【答案】##
【分析】以为底边，在的下方作等腰三角形，则，根据，点与圆的位置关系可知，点D在以O为圆心，6为半径的圆上运动，当过圆心时，最大，根据，，利用勾股定理可求出的长，即可得．
【详解】解：如图所示，以为底边，在的下方作等腰三角形，
则，∵，
∴点D在以O为圆心，6为半径的圆上运动，当过圆心时，最大，
∵，，∴，
∴的最大值为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
13． (2023·浙江·九年级专题练习）如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么___________________．
【答案】13
【分析】先证明A、C、B、D四点共圆，得到∠DCB与∠BAD的是同弧所对的圆周角的关系，得到∠DCB的度数，再证∠ECB=45°，得出结论．
【详解】解：∵AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，E是AB中点，
∴AE=EB=EC=ED，∴A、C、B、D在以E为圆心的圆上，
∵∠BAD=32°，∴∠DCB=∠BAD=32°，
又∵AC=BC，E是Rt△ABC的中点，∴∠ECB=45°，
∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=13°．故答案为：13．
【点睛】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形性质、圆周角定理和四点共圆问题，综合性较强．
14． (2023·黑龙江·九年级阶段练习）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝_____．
【答案】17
【分析】用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，得到∠AFE=60°，延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT，得到△AFG是等边三角形，证明A、B、D、T四点共圆，设法证明△FAT≌△GAE（ASA），即可求得答案．
【详解】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，在△ABD和△BCE中，
，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；
延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT，
∵∠AFE=60°，∴△AFG是等边三角形，∴AG=AF=FG=50，∠AGF=∠FAG=60°，
∵∠BAF+∠EAF =∠CAG+∠EAF =60°，∴∠BAF=∠CAG，∵DT=CE，∴∠DBT=∠BTD，
∵∠BAD=∠CBE，∴∠BAD=∠BTD，∴A、B、D、T四点共圆，
∴∠BAD=∠DAT，∴∠FAT=∠GAE， 在△FAT和△GAE中，
，∴△FAT≌△GAE（ASA），∴FT= GE，
∵FG=50，TE=16，∴FT=(FG- TE)=17．故答案为：17．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等，作出辅助线，判断出△FAT≌△GAE是解本题的关键．
15． (2023·四川成都·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝_____．
【答案】
【分析】作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，根据三角形中位线定理分别求出OM、ON，根据勾股定理求出OE，根据相似三角形的性质求出FN，得到FC的长，证明△GFC∽△GOE，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】解：作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=90°，∠ABC=90°，∴OM∥AD，ON∥AB，
∵点O为AC的中点∴OM=AD=3，ON=AB=4.5，CM=4.5，CN=3，
∵CE=1.5，∴ME=CM+CE=6在Rt△OME中，OE==3，
∵∠MON=90°，∠EOF=90°，∴∠MOE+∠NOE=∠NOF+∠NOE=90°，
∴∠MOE=∠NOF，又∠OME=∠ONF=90°，∴△OME∽△ONF，
∴，即，解得，FN=9，∴FC=FN+NC=12，
∵∠FOE=∠FCE=90°，∴F、O、C、E四点共圆，
∴∠GFC=∠GOE，又∠G=∠G，∴△GFC∽△GOE，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
16． (2023·成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级阶段练习）如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为__________．
【答案】2
【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC=120°，根据定弦定角，可得点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，连接MA交于E′，此时AE′的值最小．
【详解】解：如图，连接CE．
∵AP∥BC，∴∠PAC=∠ACB=60°，∴∠CEP=∠CAP=60°，∴∠BEC=120°，
,为定值，则点E的运动轨迹为一段圆弧
如图，点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，过点作
∴中优弧度数为=240°，则劣弧度数为120°
∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°，
∵∠BCM=30°，BC=，
∴MB=MC=8，∴连接MA交于E′，此时AE′的值最小．
∵∠ACB=60°，∠BCO=30°，∴∠ACM=90°，
∴MA==，∴AE的最小值为=．故答案为：2
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题．
17． (2023·全国·九年级专题练习）如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______．
【答案】
【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得取最小值时，点H的位置，然后利用圆周角定理、线段的和差即可得．
【详解】如图，设AD的中点为点E，则
由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上
由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时取得最小值，连接BD
AB为半圆O的直径
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，依据题意，确定点H的运动轨迹，从而得出BH取最小值时，点H的位置是解题关键．
18． (2023·全国·九年级课时练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为_______．
【答案】
【详解】解：∵AQ⊥CQ，∴∠AQC＝90°，
∴当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长，
在Rt△ABC中，∵AB＝4，∠B＝30°，
∴ACAB＝2，∴点Q的运动路径长为π
19． (2023·江苏·九年级课时练习）如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为_________．
【答案】
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是，如图所示：连接OA、OC，作OD⊥AC于D，则AD＝CDAC＝1，
∵所对的圆心角＝2∠APC＝240°，∴劣弧AC所对的圆心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，
∵OA＝OC，∴∠OAD＝30°，
∵OD⊥AC，∴ODAD，OA＝2OD，
∴的长为π；故答案为：π．
20． (2023·广东汕头·二模）如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为______．
【答案】
【分析】根据，可得到点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，连接OC交圆O于点 ，从而得到当点E位于点 位置时，线段CE取最小值，再利用勾股定理即可求解
【详解】解：∵，
∴点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，如图所示，
连接OC交圆O于点 ，∴当点E位于点 位置时，线段CE取最小值，
在矩形中，∠ABC=90°，∵，∴OA=OB= =1，
∵，∴ ，
∴ 故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的基本性质及矩形的性质，勾股定理，根据，可得到点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆是解题的关键
21． (2023·重庆·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是 ________．
【答案】
【分析】如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．证明OE＝AC＝1，推出点E的在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大．
【详解】解：如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．
∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝2，
∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∵AO＝OC＝1，∴OE＝AC＝1，
∴点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，∴当FT与⊙O相切时，CF的值最大，
∵直线CF，直线EF都是⊙O的切线，∴FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°，∴∠CAE＝∠FCE，
∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°，∴∠FEC＝∠EAT，∴∠CAE＝∠EAT＝30°，
∵CF＝FE，OC＝OE，∴OF⊥EC，∵AD⊥CE，∵OF∥AD，∴∠COF＝∠CAD＝30°，
∴CF＝OC•tan30°＝，∴CF的最大值为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查直角三角形30°角的性质，直线与圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质等知识，解决本题的关键是发现点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大．
22． (2023·湖北·二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD．
（1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°；
（2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．①若AP＝2，求△APC的面积；
②若AP＝2BP，直接写出sin∠ACP的值为______．
【答案】（1）证明见解析；（2）①△APC的面积＝1；②．
【分析】（1）由题意可证点A，点B，点E，点C四点共圆，可得∠AEC＝∠ABC＝45°；
（2）①通过证明△APB∽△CEB，可求CE＝＝，由等腰直角三角形的性质可求CF＝1，即可求解；
②过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F，过点P作PH⊥AC于H，设AP＝2a，则BP＝a，可得CE＝＝a，CF＝EF＝a，BE＝PE＝a，由勾股定理可求AC2，CP2，利用面积法可求PH2，即可求解．
【详解】证明：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ABC＝∠CAB＝45°，AB＝BC，
∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°＝∠ACB，∴点A，点B，点E，点C四点共圆，∴∠AEC＝∠ABC＝45°；
（2）①如图2，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F，
∵∠BPD＝45°，BE⊥AD，∴∠PBE＝45°＝∠ABC，∴∠ABP＝∠CBE，
∵∠AEB＝90°＝∠ACB，∴点A，点B，点E，点C四点共圆，
∴∠BAE＝∠BCE，∠AEC＝∠ABC＝45°，∴△APB∽△CEB∴CE＝＝，
∵CF⊥AD，∠AEC＝45°，∴∠FCE＝∠CEF＝45°，
∴CF＝EF＝CE＝1，∴△APC的面积＝×AP×CF＝1；
②如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F，过点P作PH⊥AC于H，
设AP＝2a，则BP＝a 由①可知，CE＝＝a，CF＝EF＝a，
∵BP＝a，∠BPE＝45°，∠BEP＝90°，∴BE＝PE＝a，
∴AF＝AE﹣EF＝2a+a﹣a＝a+a，PF＝a﹣a，
∴CP2＝CF2+PF2＝a2+（a﹣a）2＝a2﹣a2，
AC2＝AF2+CF2＝a2+（a+a）2＝a2+a2，
∵S△ACP＝×AC×PH＝×AP×CF，∴（AC•PH）2＝（AP•CF）2，∴PH2＝a2，
∵（sin∠ACP）2＝＝＝，∴sin∠ACP＝，故答案为：．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了四点共圆，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
23． (2023·四川眉山·一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．
①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．①证明是等边三角形；②若，求的长．
【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：；拓展延伸：①详见解析；②
【分析】迁移应用：①如图2中，只要证明，即可根据解决问题；
②结论：．由，可知，在中，，由，，推出，由，即可解决问题；
拓展延伸：①如图3中，作于，连接．由，，推出、、、四点共圆，推出，推出，推出是等边三角形；
②由，，推出，，在中，由，可得，由此即可解决问题．
【详解】迁移应用：①证明：如图2
∵，∴，
在和中，，∴，
②解：结论：．理由：如图中，作于．
∵，∴，在中，，
∵，，∴，∴；
拓展延伸：①证明：如图3中，连接，
∵四边形是菱形，，∴是等边三角形，∴，
∵E、C关于对称，∴，∴A、D、E、C四点共圆，
∴，∴，∴是等边三角形；
②解：作于H，∵，∴，
在中，∵，∴，∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
24． (2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，抛物线交x轴于点，，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，交直线l：于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）运用待定系数法将，代入，即可求得答案；
（2）利用配方法可求得抛物线顶点坐标，由得，再根据与的面积相等，可得，故点F分别是AP、ED的中点，设，，结合中点坐标公式建立方程求解即可；
（3）根据题意，分别求出t的最大值和最小值：①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角，以为圆心，为半径作，交抛物线对称轴于点，过点作轴于点H，运用勾股定理即可求得答案，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作交抛物线对称轴于点M，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，运用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：（1）抛物线交x轴于点，，
将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：，解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）如图，
D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：，，
交直线l：于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，
，设，，
又的面积为，的面积为，，，
，，即点F分别是AP、ED的中点，
又，，，，
由中点坐标公式得：，
解得：（与“”不符，应舍去），，，，；
（3）①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，
以OB为斜边在第一象限内作等腰直角，则，，
以为圆心，为半径作，交抛物线对称轴于点，
过点作轴于点H，则，，，
，，
②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，
连接BC，以O为圆心，OB为半径作交抛物线对称轴于点M，
，经过点C，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，
则，，，，，
综上所述，．
【点睛】此题属于二次函数综合题，考查代数计算问题，涉及勾股定理，三角形全等，二元一次方程和一元二次方程的解及圆的相关知识，属于压轴题类型．
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